「日本消滅」、超巨大噴火の確率計算～対数正規分布とＢＰＴ分布

今後１００年間で、日本が消滅するほどの超巨大噴火が発生する確率は、

約１％。神戸大学大学院の巽好幸教授と鈴木桂子准教授が衝撃的発表を

行ってから、１週間が経過したが、社会の反応はかなり小さい気がする。

これには、色んな理由があるだろう。そもそも、正式な論文発表はまだ少し

先（１１月１１日、日本学士院紀要）であること。気象庁・火山噴火予知連絡

会が翌日すぐ、データが不十分だから巨大噴火の発生確率は当面検討し

ない、と記者会見で述べたこと。

さらに、もっと身近なリスクである巨大地震の確率が、３０年で数十％のレベ

ルだから、１００年で１％という数字がかなり小さく感じられることも挙げられる。

３０年以内に７０％と言われてる南海地震でさえ、いまだに世間的反応は弱い

のが現実。そもそも、１００年も経たない内に、ほとんどの人は死んでるので、

日本が消滅しても直接的影響は受けない。

他にも、実はその超巨大噴火の確率だけなら、専門家レベルだと遥か前か

ら分かってた事だという理由を挙げられる。確率の値だけでなく、計算方法

もおそらく普通のものだろう。ただ、巽氏は火山学の狭い世界で重鎮の１人

みたいだから、派手な発表をたしなめるのも難しい。そうなると、軽くスルー

するのが妥当な所なのかも知れない。。

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私は単なる素人の数学好き、科学好きとして、確率の計算方法が気になった

のだ。過去２回、当サイトで地震と噴火の確率計算に用いたポアソン分布な

のかどうか。

神戸大ＨＰの発表を見ると、ワイブル関数（または分布）というものを使って

るような感じだし、巽氏の２年前の著書『地震と噴火は必ず起こる』（新潮社）

を書店で見ると、ＢＰＴ分布というものを使ってるようにも感じた。ところが、そ

の２つの聞き慣れない確率分布は、ネット、書店、図書館で適当な解説を探

してもなかなか見つからない状況。特にＢＰＴには苦戦。

ただし、わりと近いものに対数正規分布というものがあるようで、これなら高

校数学の正規分布に似たものだろうし、カシオの計算サイトで具体的計算も

実行できる。

そこで、今日の記事ではとりあえず、対数正規分布を使う試みをメインにし

て、ＢＰＴ分布にも少し触れてみよう。結論から言うと、どちらで計算しても

確かに今後１００年で１％程度になった。ただ、それは最も単純な算数レベ

ルの計算結果と（たまたま？）同じでもある。つまり、１万年で１回だから、

１００年で０．０１回。要するに、１％なのだ。。

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ではまず、対数正規分布について。簡単に言うと、対数をとると正規分布に

従うような確率変数の分布のこと。つまり、その変数を時間 ｔ とするなら、

ｌｏｇ ｔ の確率が正規分布になるのだ。正規分布とは何かという話は、今回

は省略して、また別の機会に書くことにしよう。

ここでのｌｏｇは、ｅを底とする自然対数だから、ｌｎとも言える。ウィキペディア

　　の「対数正規分布」の項

　　目にある、確率密度関

　　数の式（変数はｘ）でも、

　　ｌｎと書いてた。

ちなみに、普通の正規分布と違って右辺の先頭の分母にｘが入ってるのは、

置換積分で変数をｌｏｇ ｘから ｘ へと置換する際、ｌｏｇ ｘの微分を掛けることに

なるから。また、ここでのμ（ミュー）は平均ではないし、σ（シグマ）も標準偏

差ではない。似て非なるパラメーターなのだ。

原理的には、上の難しい式の定積分で確率を求めるわけだが、実際は表を

使ったりコンピューター計算したりするだけで、手作業の計算は必要ない。高

校の教科書の場合、最後に付いてる標準正規分布表の値を使って計算す

ることになる。

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さて、「巨大カルデラ噴火」とも呼ばれる、超巨大噴火（噴火マグニチュード

７以上）の基本データは、神戸大ＨＰの手短な発表によると、千年で０．１０

回、つまり１万年で１回の累積頻度となってる。累積とは７以上の合計だろ

うと解釈した。それと併記する形で、ワイブル関数による近似値０．７３回と

いうデータも示されてたが、ここではそれは使わない。

問題はパラメーターμとσの求め方。詳しい噴火データで「分散」（散らばり

具合）が分かれば、英語版ウィキの変換式を使って正確に求められる。しか

し今、次の超巨大噴火までの時間が平均で１万年というデータと、直近の鬼

界アカホヤ噴火から７３００年経過したというデータしか手元にない。

そこで、２００１年に地震調査委員会が発表した２つのｐｄｆファイル、「長期的 

な地震発生確率の評価手法について」、「長期的な地震発生確率について 

の解説」を読むと、数百～数千年に一度の大地震の場合、σは０．２～０．３

程度の値になってる。

よって以下では、σ＝０．２５と仮定しよう。すると、次の計算でμが決定する。

ウィキの平均の式を、μについて解き直しただけだ。

　　　μ＝ｌｏｇ（平均）－σ²／２

　　　　　＝ｌｏｇ１００００－（０．２５）²／２

　　　　　＝９．２１－０．０３１２５

　　　　　≒９．１８

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　　これで２つのパラメー

　　ターの値が揃ったの

　　で、カシオの計算サ

　　イトで対数正規分布

　　の計算を実行できる。

　　下側累積確率（赤い

　　面積）と上側累積確

　　率（青い面積）の値を

　　見ればいい。

（次の噴火が前回から７３００年以内の確率）＝０．１２８　　・・・赤い領域の面積

（７４００年以内の確率）＝０．１３９

∴　（７３００～７４００年の確率）＝０．１３９－０．１２８＝０．０１１　

　　　（７３００年以後の確率）＝１－０．１２８＝０．８７２　　・・・青い領域の面積

∴　（今後１００年の確率）＝０．０１１／０．８７２

　　　　　　　　　　　　　　　　≒０．０１

ということで、確率は約０．０１。確かに、約１％ということになる。結論には影

響しないが、理論的に、０．０１１を０．８７２で割ることは重要。要するに、「こ

れまでの７３００年には発生しなかった」という条件を考慮した上での、条件付

き確率なのだ。。　　　

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一方、ＢＰＴ（Ｂｒｏｗｎｉａｎ　Ｐａｓｓａｇｅ　Ｔｉｍｅ）分布について。前述のｐｄｆファイ

ルに確率密度関数ｆ（ｔ）の式が一応載ってた。平均がμ、分散が（μα）²として、　

ただ、これでどう計算すればいいのか困ってしまう。おそらく理数系の専用ソ

フトなら計算できるのだろうけど、カシオのサイトだと大変で、差し当たりは

やる気がしない（しばらく後で試す予定・・）。

代わりに、ｐｄｆファイルに載ってた表とグラフを見てみよう。次の表で、横軸

１００００年、縦軸０．７（７３００÷１００００）の箇所を見ると、今後１００年以内

の確率が１％になってる（右端、下から２段目）。もちろん、地震でも噴火でも、

同じ変数値とパラメーター値（α＝０．２４と仮定）なら同じ答だろう。

同じ計算の異なる表現として、グラフも掲載されてた。下の右端の太い黒線

が、平均活動期間１００００年の場合で、最新活動からの経過期間（横軸）が

７３００年くらいの点の確率（縦軸）を見ると、確かに１％程度だと読み取れる。

上の表やグラフは、他の場合でも、ＢＰＴ分布の計算に役立つはずだ。ちなみ

に、経過期間が平均の１．５倍程度なら、ＢＰＴ分布も対数正規分布もほぼ同

じ値になるらしい。つまり、今後まだ８０００年程度は、ＢＰＴ分布の代わりに対

数正規分布を使っても、似たような答になる。ただ、どうしてそんな分布になる

のかという科学的説明を考えると、ＢＰＴ分布の方が納得しやすいらしい。

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それにしても、ポアソン分布の時もそうだったが、特別な確率分布など仮定し

なくても、普通に計算した値で十分のような気がしてしまう。どうせ、元のデー

タにせよ、確率の受けとめ方にせよ、非常に大まかな話だから、精密な話を

する必要性をあまり感じない。

今回なら、１００年で０．０１回だから１％。これで、対数正規分布やＢＰＴ分

布とほぼ同じ値になるのは、「単なる偶然」と「言い切れる」のかどうか。今後

の課題としとこう。直感的には、「ほぼ同じになる確率がわりと高い」ような気

がするのだ。もちろん、かなり異なる場合もある。

なお、日本が消滅するという巽氏らの説は、別に「日本沈没」を予想しての事

ではない。列島が海に沈むのではなく、九州の噴火の灰が偏西風に乗って

全国に積もり、実質的に麻痺してしまうという話だ。道路、電線、水がどうな

るのか、人類が経験したことのない状況なので、私にはまだよく分からない。

７３００年以上前の超巨大噴火とでは、全く状況が異なるのだから。

とりあえず、今日はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　ポアソン分布（過程）による地震の確率計算（ｂｙ政府・委員会）

　　　富士山の噴火の確率計算～二項分布とポアソン分布

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　３４７１字）