数学甲子園２０１４準々決勝、全問コメント＆問題１０の解答・別解

（☆１６年４月の追記：　関連する最新記事をアップ。

　　数学甲子園２０１５準々決勝、全問コメント＆解き方　） 　

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

いつの間にか、数学甲子園の公式ＨＰで、２０１４年の本選・準々決勝の問題

が公表されてたので、軽い記事をアップしとこう。記事自体は軽いけど、その

準備は意外と重かった♪　解くのはすぐとして、問題１０の別解を力づくで書く

のが大変だったのだ。

日本語表現で１０問、高校数学の標準問題。英語表現で５問、やや簡単な問

題。合わせて１５問をチーム全員で３０分で解くということだから、優勝した灘

高校・おめがチームみたいに５人のメンバーがいれば、１人あたり３問で３０分。

１問１０分。最終的な答のみが採点対象みたいだから、通過した上位１５チー

ムにはおそらく、満点チームが多かったんだろうと想像する。

以下ではまず、日本語の問題１～９と英語の問題１１～１５に一言ずつコメント。

その後で、問題１０の解答と別解（途中まで）を示すことにする。問題文は、１０

番以外は掲載しないので、公式サイトを御覧あれ。

ちなみに予選問題については先月既に、１問だけ解説してある。

　　四角形の外接円の半径の求め方～数学甲子園２０１４予選問題１３の解説

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

問題１　ｘ＝－３＋２ｉ の時、５次式の値を計算する。直接代入してもいいし、

　　　　　５次式をｘ－（－３＋２ｉ）で割ってもいい（組立除法も可）。ただ、普通

　　　　　は虚数の計算が面倒だから、（ｘ＋３）²＝－４と見て、５次式を（ｘ＋３）²

　　　　　で割る所か。

問題２　階差数列が（等差数列）×（等比数列）となってる漸化式から、一般項

　　　　　を求める。１からｎ－１まで式を書き並べて辺々足し算、簡単にした後、

　　　　　セオリー通り、「公比」に着目すればいい。

問題３　四面体で、上の頂点から底面に下ろした垂線ベクトルを求める。垂線

　　　　　の足が底面上にあることと、２つの底辺ベクトルとの直交条件（内積０）

　　　　　を用いればいい。

問題４　絶対値記号付きの定積分で与えられた関数の最小値。絶対値記号の

　　　　　中の２次式が因数分解できるので、０以上か負かで、場合分けすれば

　　　　　いい。折り曲げられた放物線のグラフをさらっと書いてもいいけど、参

　　　　　考程度にしかならないはず。

問題５　ちょっと面白い整数問題で、ある意味、「覆面算」とも言える。ただ、場

　　　　　合分けは少ないし、勘が鋭い生徒なら、５つの文字が１～５のどれな

　　　　　のか、直感的に見抜くかも。

問題６　∞－∞（無限大マイナス無限大）の不定形の極限値。（１／３）乗になっ

　　　　　てるから、直ちに３乗－３乗の形に変形する所か。

問題７　ｃｏｓ３θの方程式、つまりｃｏｓθの３次方程式を与えて、４次式の値を

　　　　　計算する。すぐに方程式が解けてしまって、角度も分かるけど、もっと

　　　　　上手いやり方があるということだろうか。

問題８　数Ⅲの置換積分。ｌｏｇ ｘをｔと置くだけ。

問題９　複素数平面で、与えられた２つの頂点から、三角定規（３０度・６０度・

　　　　　９０度）の残り１つの頂点を求める。点Ａをまず原点に平行移動して、

　　　　　ＡＢを回転拡大（複素数の掛け算利用）。逆向きに平行移動して終了。

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

問題１１　ちょっと英文の後半が気になるけど、５回のテストの平均点を一定

　　　　　　範囲にするための得点計算。中学校レベルの不等式。

問題１２　文字（パラメーター）が入った２次方程式の２解の条件から、解と文字

　　　　　　を求める。解と係数の関係を利用すれば、暗算レベル。

問題１３　凸多角形の辺の数と対角線の数の関係。中学の図形＆計算。　

問題１４　三角形ＡＢＣの内部の点Ｐで、「中心角」１２０度で３分割した後、

　　　　　　ＡＰ²＋ＢＰ²＋ＣＰ²を計算。余弦定理と面積公式を利用。余弦定理

　　　　　　だけで解こうとすると厄介。

問題１５　自然数２５の階乗（！）で、右端にゼロがいくつ並ぶか。つまり、

　　　　　　（２×５）が何組あるか。２は溢れてるので、５の数だけが問題。

　　　　　　最後の２５が、５×５となってる所が軽いひっかけ♪

　　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　

では、上で飛ばした問題１０について。まずは問題と普通の解き方を提示しよう。

　　ｘに関する不等式√（２－ｘ） ＞ ａｘ＋ｂの解が１＜ｘ≦２となるための、 

　　ａ、ｂに関する必要十分条件を求めなさい。

解答　ｘｙ平面で図形的に考える。ｙ＝√（２－ｘ）のグラフ（横向き放物線の上

　　　　半分）が直線ｙ＝ａｘ＋ｂの上側にあるようなｘの範囲が、ちょうど

　　　　１＜ｘ≦２になるための条件を求めればよい。

　　左図を参照する

　　と、そのための

　　必要十分条件は、

　　直線が点（１，１）

　　を通り、点（２，０）

　　の下側を通ること。

　　∴　１＝ａ・１＋ｂ　かつ　ａ・２＋ｂ＜０

　　∴　ａ＋ｂ＝１　かつ　２ａ＋ｂ＜０　　・・・・・・　（答）

　　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　

解説＆感想　　高校時代、この種の無理不等式の問題はグラフを利用する

　　　　　　　　　ようにという話を見聞きして、納得できなかったから、普通に

　　　　　　　　　場合分けと計算で解いてた覚えがある♪

　　　　　　　　　実際、多くの場合、パラメーターは０個か１個だから、わざわざ

　　　　　　　　　グラフを書く必要性を感じなかったのだ。ただ、この問題みたい

　　　　　　　　　にパラメーターが２つ入ってしまうと、グラフを使わずに解くのは

　　　　　　　　　非常に面倒で複雑。ほとんど初めてグラフの有難さが分かった。

　　　　　　　　　最後の答は、変形して、「ｂ＝－ａ＋１　かつ　ｂ＜－２ａ」とか、

　　　　　　　　　「ｂ＝－ａ＋１　かつ　ａ＜－１」と書いてもいいが、趣味の問題

　　　　　　　　　だろう。もし点（ａ，ｂ）の存在範囲を図示するのなら、最後の答

　　　　　　　　　が一番わかりやすいと思うけど、ここでは条件を求めるだけだ。

　　　　　　　　　高校・大学レベルのテストだと、上の解答で十分のはず。ただ、

　　　　　　　　　ひそかに図形の性質（特に放物線の形）を使ってることもあって、

　　　　　　　　　論理構成的にはちょっと微妙な感もある。

　　　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

　　　　　　　　　そこで私は、グラフなしでやってみたけど、全部ここに書く気に

　　　　　　　　　ならないくらい大変だった。一応、前半の部分だけ書いておく

　　　　　　　　　ので、腕に自信のある方は、後半の難所をお試しあれ♪

　　　（別解）　まず、ａ、ｂの条件で場合分けして、不等式の解（ｘの範囲）を

　　　　　　　　求め、その解が１＜ｘ≦２と一致するための必要十分条件を

　　　　　　　　考える。（根号の中の式）≧０という実数条件から、解の大前

　　　　　　　　提として、２－ｘ≧０、すなわち　ｘ≦２が常に必要となる。

　　　（１－１）　ａ＝０　かつ　ｂ＜０の場合

　　　　　　　　　　与式は　√（２－ｘ）＞ｂ　　これは直ちに成立。

　　　　　　　　　　よって大前提より、　解は　ｘ≦２　。

　　　（１－２）　ａ＝０　かつ　ｂ≧０の場合

　　　　　　　　　与式は両辺２乗しても同値で、　２－ｘ＞ｂ²　　∴　ｘ＜２－ｂ²

　　　　　　　　　この時、大前提ｘ≦２も成り立つから、解は　ｘ＜２－ｂ²　。

　　　（２）　ａ＞０　の場合

　　　　　　　不等式の右辺の符号によって、解を左右２つの範囲（小さい方と

　　　　　　　大きい方）に分けて求め、後で左右を連結して最終的な解とする。

　　　　　　　（ア）　まず、（不等式の右辺）ａｘ＋ｂ＜０の範囲で考える。

　　　　　　　　　　　この時、不等式は直ちに成立。

　　　　　　　　　　　つまり、ｘ＜－ｂ／ａなら、後は大前提ｘ≦２を考慮するのみ。　　

　　　　　　　　　　　ここで　（－ｂ／ａ）≦２　を解くと、ｂ≧－２ａ　。

　　　　　　　　　　　よって、「ａ＞０　かつ　ｂ≧－２ａ」の場合、

　　　　　　　　　　　　　　　　　解の左側は　ｘ＜－ｂ／ａ　。

　　　　　　　　　　　また、「ａ＞０　かつ　ｂ＜－２ａ」の場合、

　　　　　　　　　　　　　　　　　解の左側は　ｘ≦２　。

　　　　　　　　　　　　　　　　　これは大前提そのものだから、この右側に解は無い。

　　　　　　　　　　　よって、最終的な解が　ｘ≦２　となる。

　　　　　　　（イ）　次に、ａｘ＋ｂ≧０の範囲、すなわちｘ≧－ｂ／ａで考える。

　　　　　　　　　　　与式両辺は０以上だから、両辺２乗しても同値。

　　　　　　　　　　　∴　２－ｘ＞（ａｘ＋ｂ）²

　　　　　　　　　　　∴　ａ²ｘ²＋（２ａｂ＋１）ｘ＋ｂ²－２＜０

　　　　　　　　　　　左辺をｆ（ｘ）とおくと、条件は

　　　　　　　　　　　　Ｄ＞０ かつ　α＜ｘ＜β

　　　　　　　　　　　　　　（ただし、Ｄはｆ（ｘ）＝０の判別式、αとβは異なる２実解）

　　　　　　　　　　　　Ｄ＞０より、（２ａｂ＋１）²－４ａ²（ｂ²－２）＞０

　　　　　　　　　　　　　　　　∴　４ａｂ＋８ａ²＋１＞０

　　　　　　　　　　　　また、α＜ｘ＜βより、

　　　　　　　　　　{－（２ａｂ＋１）－√Ｄ}／２ａ² ＜ ｘ ＜　{－（２ａｂ＋１）＋√Ｄ}／２ａ²

　　　　　　　　　　ここで、α、βと－ｂ／ａの大小関係を考える。

　　　　　　　　　　α＝－ｂ／ａ－（１＋√Ｄ）／２ａ²だから、α＜－ｂ／ａ。

　　　　　　　　　　また、ｆ（－ｂ／ａ）＝・・・＝－（２ａ＋ｂ）／ａ　　

　　　　　　　　　　既に今、２ａ＋ｂ≧０の時だけ考えればいいので、ｆ（－ｂ／ａ）≦０

　　　　　　　　　　更に、ｆ（２）＝・・・＝（２ａ＋ｂ）²≧０だから、

　　　　　　　　　　ｆ（ｘ）のグラフと横軸の関係を考えれば

　　　　　　　　　　－ｂ／ａ≦β≦２

　　　　　　　　　以上より、ａ＞０かつｂ≧－２ａの場合、

　　　　　　　　　　　解の右側は－ｂ／ａ≦ｘ＜β

　　　　　　　　　　　よって、解の左側であるｘ＜－ｂ／ａと連結すると、

　　　　　　　　　　　最終的な答は、　ｘ＜β　。　

　　　　　（３）　ａ＜０の場合　　　（☆以下、この場合の議論は２日後の追記）

　　　　　　　　　ａ＞０の場合と同様、不等式の右辺の符号によって、解を左右

　　　　　　　　　２つの範囲に分けて求め、後で左右連結して最終的な解とする。

　　　　　　　（ア）　まず、（不等式の右辺）ａｘ＋ｂ＜０の範囲で考える。

　　　　　　　　　　　この時、不等式は直ちに成立。

　　　　　　　　　　　つまり、ｘ＞－ｂ／ａなら、後は大前提ｘ≦２を考慮するのみ。　　

　　　　　　　　　　　ここで　（－ｂ／ａ）＜２　を解くと、ｂ＜－２ａ　。

　　　　　　　　　　　よって、「ａ＜０　かつ　ｂ＜－２ａ」の場合、

　　　　　　　　　　　　　　解の右側は　（－ｂ／ａ）＜ｘ≦２

　　　　　　　　　　　また、「ａ＜０　かつ　ｂ≧－２ａ」の場合、

　　　　　　　　　　　　　　解の右側は存在しない。

　　　　　　（イ）　次に、ａｘ＋ｂ≧０の範囲、すなわちｘ≦－ｂ／ａで考える。　

　　　　　　　　　　与式両辺は０以上だから、両辺２乗しても同値。

　　　　　　　　　　　ａ＞０の時と同様に考えて、条件は　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　Ｄ＝４ａｂ＋８ａ²＋１＞０　かつ　

　　　　　　　　　　{－（２ａｂ＋１）－√Ｄ}／２ａ² ＜ ｘ ＜　{－（２ａｂ＋１）＋√Ｄ}／２ａ²

　　　　　　　　　　　　　　以下、省略。

　　　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

グラフなら明らかな、ａ≧０の場合の処理だけで、普通の場合分けだとこれほ

ど大変な作業になる（上ではａ＜０の場合も少し追記してある）。分けるのも大

変。後でつなぐのも、まとめるのも大変だ。もう疲れたし、ほとんど読者がいな

い話だろうから、この辺にしとこう♪

解き方によって、これほど手間や効果が違ってしまうというのが、数学の奇妙

な所でもあり、面白い所でもある。まあ、いずれ高性能のコンピューターを全

面的に数学で使い始めると、高校・大学レベルの場合、解き方の工夫という

のは人間的な趣味ということになるのだろう。

ちなみにコンピューター将棋だと、今現在、専門家たちが工夫を重ねてるし、

それでもまだ必勝法や結論のようなものには達してない。まあ、囲碁も含め

て時間の問題だとは思うけど。。

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　数学甲子園２０１５、全２０問の問題、解き方、感想　

　　　数学甲子園２０１３予選のポイント、問題１５の解説＆解答

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　　　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　　Ｚ会「超難問コロシアム２０１４」、数学・例題４の解答

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～４次方程式の解と係数の関係

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　４１９２字）

　　　　　　　　　　　（追記　２１字　；　合計　４２１３字）