Ｚ会「超難問コロシアム２０１４」、数学・例題４の解答～４次方程式の解と係数の関係

たまたまエキサイトＨＰで、「Ｚ会、全国の天才高校生に超難問を公開」と題す

る記事が目に留まった（配信はリセマム）。私は天才高校生ではなく、マニアッ

ク・ブロガーだが、数学好きではあるし、数学甲子園の記事なら既に数本書い

てる。そこで早速、「超難問コロシアム２０１４」の決勝（１１月９日）の例題をＺ

会ＨＰで拝見した。

昨日、１０月３１日の「天才の日」（笑）に公開された例題４は、例題１～３と違っ

て、まだ解答と解説が公表されてない。そこで早速、こっそりチャレンジ♪　解

けなかったら知らんぷりするつもりだったが、すぐ解けてしまったので、今日の

分の記事にしてしまおう。

ちなみに私は、確か高校１年から２年にかけて、１年間くらいＺ会の通信添削

を受けてた気がする。ただしサボリまくりで、机の引き出しに問題用紙を溜め

るだけだから、母親が度々激怒♪　たまに出す時も、締切を大幅に過ぎてか

ら (^^ゞ　とはいえ、数学の問題はほぼ完答してた気がする。

添削の赤ペンにはよく、「解答が長過ぎます」とか書かれてたかも（笑）。書き

切れないから、勝手に自分で紙を足して書いたりしてたんだけど、私に言わ

せれば、世間の解答なるものが短過ぎるのだ。特に、レベルの高い問題や

参考書の解答は、私が採点者なら減点するようなものを時々見かける。ま

あ、試験とかテストというものが時間との闘いだから、仕方ない側面もある

のかも。。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

では、問題だけコピペさせて頂こう。ネットの公開挑戦状だし、「解けました」

ツイートを希望してるくらいだから、ブログへの引用も許されるはず。

解答の目安時間は１０分とのこと。「超難問」のはずなのに、どうしてそんな

に短いのかね？　普通の大学入試の難問でさえ、３０分レベルなのに。その

辺りの時間設定は、実は重要なことだと思う。１０分というのは、計算や論理

の積み重ね、試行錯誤には時間がかからず、ひらめき重視ということなのだ。。

（解答）

与えられた方程式の見方を逆転して、ｘ、ｙ、ｚ、ｗの解（文字はそのまま利用）

を定数と考え、ａ、ｂ、ｃ、ｄを、次の ｔ の方程式の相異なる４つの解と考える。

　｛１／（ｘｔ＋１）｝＋｛１／（ｙｔ＋１）｝＋｛１／（ｚｔ＋１）｝＋｛１／（ｗｔ＋１）｝＝１

両辺に、４つの分母の積をかけると、

　（ｙｔ＋１）（ｚｔ＋１）（ｗｔ＋１）＋（ｘｔ＋１）（ｚｔ＋１）（ｗｔ＋１）

　　　　＋（ｘｔ＋１）（ｙｔ＋１）（ｗｔ＋１）＋（ｘｔ＋１）（ｙｔ＋１）（ｚｔ＋１）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（ｘｔ＋１）（ｙｔ＋１）（ｚｔ＋１）（ｗｔ＋１）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ただし右辺≠０）

ｔ について降べきの順に整理し、２次以下を省略して書くと、

　　　　　ｘｙｚｗ ｔ⁴ ＋０ ｔ³ ＋・・・・・・＝０

これが ｔ の４次方程式で、異なる４解ａ、ｂ、ｃ、ｄを持つはずだから、４次の係

数ｘｙｚｗ≠０であり、４次方程式における解と係数の関係（後述）より、

　　　　ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝－０／ｘｙｚｗ

　　　　　　　　　　　　＝０　・・・・・・　（答）　　

なお、一般にｔの４次方程式ｐｔ⁴＋ｑｔ³＋ｒｔ²＋ｓｔ＋ｕ＝０（ｐ≠０）が異なる４解

ａ、ｂ、ｃ、ｄを持つ時、因数定理より、左辺はｔ－ａ、ｔ－ｂ、ｔ－ｃ、ｔ－ｄで割り

切れるはず。よって、次の恒等式が成立する。

　　　ｐｔ⁴＋ｑｔ³＋ｒｔ²＋ｓｔ＋ｕ＝ｐ（ｔ－ａ）（ｔ－ｂ）（ｔ－ｃ）（ｔ－ｄ）

３次の係数を比較すると、　ｑ＝－ｐ（ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ）

　　　　　　　　　　　　　　∴　ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝－ｑ／ｐ

この関係を先ほど利用した。異なる４解でない場合については別の証明が

必要だが、この例題４の解答には不要である。　

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

さて、上の解答が感想を一言。「勝てば官軍」という言葉もあるが、正直、「超

難問」どころか、「難問」とさえ言えないと私は思う。「奇問」ではないけど、「特

殊な面白問題」、「数学パズル」の類だろう。多少のセンスは必要だが、基本

的にテクニカルな式変形であって、これなら、遥かに上の問題が普通の大学

入試でいくらでもあるはずだ。

「『超難問』はすべて、ただ知識を詰め込んだだけでは解くことのできない『本

物の学力』が問われる良問ばかり」と高らかに宣言してるのだから、もう少し

と言うか、もっともっとハイレベルな問題を出題して欲しいと思う。頭脳を持て

余してる全国の「天才」高校生たちも、それを待ち望んでるだろう。

とはいえ、普通の問題がメインの数学甲子園に対して、超難問で勝負すると

いう発想には賛成する。野球の甲子園も、超高校級の選手が出場するのだ

から、超高校級の問題で勝負する場があってもいいはずだ。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

なお、３１日の深夜（１日の未明）現在、例題４の解答は、ツイッター検索でも

ウェブ検索でも当サイトしかヒットしない。最速レスということで、Ｚ会から何か

プレゼントされるだろう。１年間無料添削とか（笑）

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

Ｐ．Ｓ．　その後、例題１も試してみたら、こちらは１時間かかってしまった。た

　　　　　　だ、ずっと試行錯誤で手と頭が動き続けてたし、超難問とも本物の

　　　　　　学力が問われる良問とも思わない。例題４と同様、ひらめきとテク

　　　　　　ニカルな数式変形で解く、パズル系の問題だろう。

　　　　　例題１　　２０１３次式 ｆ（ｘ） が、ｆ（０）＝－４および

　　　　　　　　　　　ｆ（１）＝２，　ｆ（２）＝３，　ｆ（３）＝４，・・・，ｆ（２０１３）＝２０１４

　　　　　　　　　　　をみたす。このとき、ｆ（２０１４）の値を求めよ。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（答えは２０１５ではあ・り・ま・せ・ん）

Ｐ．Ｓ．２　１１月９日に行われた超難問コロシアム２０１４決勝。優勝は筑波

　　　　　　大学附属駒場高校☆　ニコニコ動画の視聴者数は５万人弱。

ｃｆ．　数学甲子園２０１４準々決勝、全問コメント＆問題１０の解答・別解

　　四角形の外接円の半径の求め方～数学甲子園２０１４予選問題１３の解説

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２２１２字）