「偏差値」の最大値、最小値（＋∞、－∞とか♪）

今日はレース前日の土曜。残り字数も時間も無いことだし、コネタでサラッと

書いとこう。最近たまたまネットで、９５に近い偏差値データが公開されてる

のを目にして驚いた。個人情報だから曖昧なままにしとくけど、それなりに有

名で伝統的な模試。おそらく偽造ではなく本物だと思う。

偏差値とは、「偏差」（かたより）の値。受験者集団の平均から、上や下にど

れほど離れてるかを表す数字だ。単なる点数だと、例えば数学の１００点は

国語の７０点より遥か上に見えてしまう。でも、超簡単な数学の１００点より、

超難解な国語の７０点の方が価値があるはず。

その辺りを上手く統計的に処理したのが偏差値だ。単位は「点」ではなく、無

し。つまり単なる数値になる。平均点と同じ得点を取った生徒なら偏差値５０。

計算式は、　　　（偏差値）＝｛１０×（得点－平均）／標準偏差｝＋５０

ただし、　　（標準偏差 ： 全員の得点のバラつきの度合い） 

　　　　　　　　　　　　　　　＝ √ 〔｛（各得点－平均点）²の和｝／人数〕

ちなみに、偏差値には単位は無いが、標準偏差の単位は元の変数と同じ

く「点」となる。１０倍してるのは、平均からの隔たりを強調するため。

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上式を見ると、偏差値を大きくするには、平均より出来るだけ高い点を取って、

標準偏差が小さければいい。

標準偏差の最小値はゼロ（全員が同じ点の時）で、偏差値は計算不能♪　そ

れは極端としても、標準偏差が微小な値なら、偏差値は９５どころか、いくら

でも大きくなるし、小さくもなる。分かりやすく言えば、最大値は∞（無限大）、

最小値は－∞。

要するに、得点分布がキレイな山型（正規分布）とかけ離れたもので、他の

みんながほぼ同点の時、少数の人だけ良い点を取れば、偏差値は高くなる。

例えば日経ＨＰで芳沢光雄が挙げてる例（１００人中、９９人が０点で、１人だ

け１００点）だと、平均は１点、標準偏差は約１０（正確には√９９）だから、

　　　（１００点の生徒の偏差値）≒｛１０×（１００－１）／１０｝＋５０

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　≒９９＋５０

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　≒１４９

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ただ、９９人が０点なら、残り１人は１００点を取る必要はない。０点以外な

ら、たとえ１点であっても、偏差値は常に約１４９になる。残り１人がｘ点

（ｘ≠０）だったとして、平均ｘ／１００、標準偏差（ｘ√９９）／１００。この場

合の偏差値は定数になって、それが最大値なのだ。

全く同様に、９９人が１００点なら、残り１人は０点でも９９点でも偏差値約－４９

になる（－９９＋５０）。この負（マイナス）の定数が、この場合の最小値。

さらに突っ込むと、実は９９人の点数も何でもいいのだ。９９人が５０点の時、

１人だけ５１点なら偏差値は約１４９。１人だけ４９点なら偏差値約－４９。

一般に、ｎ人中、ｎ－１人が同じ点で、１人だけ違う点の時、偏差値は定数で、

最大値１０√（ｎ－１）＋５０、または最小値－１０√（ｎ－１）＋５０。

ｎ→∞の時、それぞれ＋∞、－∞へと発散する。

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最後に、実際の大規模テストだと、２０１４年度センター試験・数学 Ｉ Ａ、ⅡＢ

の場合、平均は約５８点、標準偏差は約２２。

だから、（１００点の生徒の偏差値）≒｛１０×（１００－５８）／２２｝＋５０

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　≒６９

　　　　　（０点の生徒の偏差値）≒｛１０×（０－５８）／２２｝＋５０

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　≒２４

これらが最大値と最小値で、どちらも理論値ではなく、実在する値だ。『偏差

値２９からの東大合格法』という本も出てるから、２４でも大丈夫。志望校を上

手く選んだ後は、「人事を尽くして天命を待つ」のみ。

ではまた明日 ☆彡

Ｐ．Ｓ．　２０１５年１１月２０日、日テレ『頭脳王』（２７日放送）のＣＭで（？）、

　　　　　偏差値９９という話が出たらしい。この記事への検索アクセスが急増

　　　　　してたのでツイッター検索をかけると、驚きツイートが並んでた。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　１４４４字）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（追記　１００字　；　合計　１５４４字）