データ分析（四分位数、箱ひげ図、相関係数）～２０１５センター試験・数学ⅠＡ・第３問

（☆１６年１月１８日追記：　最新の関連記事をアップ。

　データ分析（相関の強弱、変数変換と共分散～２０１６センター数学ⅠＡ）

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恒例のセンター試験記事。国語に続いて数学では、新課程で導入されたデー

タ分析（初歩的なデータ・マイニング）の問題をブログ記事にしようと思って、

ネット上の信頼できそうなサイトを１０くらい閲覧。内容のレベルは簡単だけ

ど、細かい所で食い違い（見解の相違）や不正確そうな点、単純な間違いが

あるので、時間を取られてしまった。

それでも、最大公約数的な理解でセンター試験の問題は正解できたので、

簡単に解説しとこう。より一般的・理論的な記事は、また後ほど書きたいと

ってる。あと、数日中に、複数の高校参考書できっちり内容確認する予定。

（☆追記：　直ちに１９日の夜、数研出版『チャート式　数学Ａ』で確認。理解

　　　　　　　は合ってた。さらに２０日夜、文英堂『理解しやすい　数学Ⅰ＋Ａ』

　　　　　　　でも確認した。）

要するにここ数年、ビッグデータの活用などで社会的に流行してる、「最強」の

統計学の話だ。夏に再放送されたＮＨＫの数学ドラマ『ハードナッツ』でも、全

編を通じた中心的内容となってた。

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２０１５年（平成２７年度）の問題は既に、１月１８日の夜２０時半くらいから、あち

こちで全文公開されてるので、実質的に著作権の意味が無くなってる。ただ、一

応ここでの引用は、最低限に留めとこう。

では問題３（計１５点）の〔１〕から。これは良問だと思う。高校３年生の生徒４０

人で、ハンドボール投げの飛距離のデータを集めた。そのヒストグラム（柱状グ

ラフ）は下の通り。

まず（１）の問い。「第３四分位数が含まれる階級は」？　要するに、最小値の

データから数えて、全体の「３／４」（７５％）の位置にあるデータが、どの柱に

入ってるかをたずねてる。

「４０人の３／４だから３０番目」とするのではなく、３０番目の値と３１番目の値

の平均とするらしい。ただ、いずれにせよ、左から５番目の柱（２３番目～３１番

目）のデータだから、答は「２５ｍ以上　３０ｍ未満」。よって、空欄アは４となる

（３点）。

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続いて（２）。下のような「箱ひげ図」にまとめた時、上のヒストグラムと矛盾する

ものを４つ選ぶ問い。

「箱」とは、第１四分位数と第３四分位数で挟まれた区間を長方形で表したもの

で、途中の第２四分位数の位置に線やバツ印等でマークを付ける。「ひげ」と

は、箱の両端の線で、左端から最小値へと伸ばした線と、右端から最大値へ

と伸ばした線（高校の標準的教え方では）。箱の中には、全体のデータの内、

中央付近の半分の個数が含まれ、左ひげには小さい側の１／４、右ひげには

大きい側の１／４が含まれる。

　

ヒストグラムと箱ひげ図の関係はやや曖昧だが、これは論理的にあり得ないと

いう箱ひげ図を選ぶ。まず０番、２番、３番の図は、箱の右端（第３四分位数）の

階級が３０ｍ以上になってしまってるので、矛盾。

次に、箱の左端（第１四分位数）に注目。これは、小さい方から数えて２５％の

位置、つまり第１０番目と１１番目のデータの平均値だから、ヒストグラムを見る

と、１５ｍ以上２０ｍ未満のはず。ところが５番の図は、２０ｍ以上になってしまっ

てるので、矛盾。

以上より、答の空欄イ、ウ、エ、オは、０、２、３、５（順番は関係なし）。配点は

４点。逆に１と４の箱ひげ図は、あり得る場合として、次の問題のヒントになる。

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さらに（３）。同じ生徒４０人で記録を取り直して、あらためて箱ひげ図を書いた

ものが４つ示される。それぞれの図と対応する説明とが、矛盾する組合せを

２つ選べ、というのが問い。

まず、図ａの説明Ａを読むと、「どの生徒の記録も下がった」と書いてある。もし

それが正しければ、箱の左端（第１四分位数）は、以前の図を推測したもの

（例えば１、４）より左方向にずれるはずだが、図ａでは右方向にずれてしまっ

てる。これは矛盾。

次に、図ｃの説明Ｃを読むと、「最初に取ったデータで上位１／３に入るすべて

の生徒の記録が伸びた」とある。すると、右ひげの右端（最大値）は、以前の図

を推測したものより右方向にずれるはずだが、図ｃでは左方向にずれてる。こ

れは矛盾。

以上より、答の空欄カ、キは、０、２（順不同）。６点。図ｂとｄについては省略す

るが、説明と「矛盾」はしてない。ただし、もし詳しいデータをチェックしたなら、

実は説明や図がおかしい可能性は残されてる。

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最後に、話が変わって〔２〕。別の４０人が２回ずつハンドボール投げした時の、

飛距離のデータについて、相関係数の近似値を求める問い。グラフ、平均値、

中央値など、余分な情報を与えられてるので、迷った受験生もいるだろうが、

こけおどしに過ぎない。

単に、２種類のデータの「共分散」を、それぞれの「標準偏差」の積で割るだけ。

何も意味が分からなくても、公式を覚えてれば、簡単な計算問題になる。真面

目に計算してもいいけど、ちょっと面倒だから、近似値計算の方がベター。実

際、与えられた数字も、明らかに近似値計算しやすいものになってるのだ。

　　（相関係数） ＝ ５４．３０÷（８．２１×６．９８）

　　　　　　　　　　≒ ５４．３÷（８．２×７．０）

　　　　　　　　　　≒ ５４．３÷５７．４

　　　　　　　　　　≒ ０．９５

答の空欄クを埋める選択肢は、７。簡単だから、配点は僅か２点。ちなみにこ

の相関係数は、１に近い値で、非常に強い正の相関となってる。同じ生徒が２

回投げたのだから、似たデータになるのは当然で、納得できる結果だろう。逆

に、ハンドボール投げ１回と国語のテスト１回なら、負の相関になるかも♪

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　データ分析２～２０１５センター追再試験・数学ⅠＡ・第３問

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　　　　　　　　　　　　　　　～第３問（数列の漸化式）、問題込みの解答・感想

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