Ｑｕｉｃｋ ＢＡＳＩＣの練習（９）～数列の二項間漸化式と固有値、一般項

いつも１ヶ月くらい間を空けて書いて来た、このシリーズ記事。今日は前回

から１週間しか経ってないけど、区切りがいいからサラッと終わらせとこう。

初心者用の無料ソフト「クイック・ベーシック」を使ったプログラミング学習だ。

これまでの関連記事１０本（２本＋８本）は以下の通り。ほぼ完全に知識ゼロ、

ソフトも無い初心者状態からスタート。必要なら過去記事に戻って読むことを

お勧めする。

　　初めてのプログラミング♪

　　　　　　　　　　　　　　～メモ帳でバッチファイル作成（コマンドプロンプト用）

　　初めてのプログラミング（２）～計算その他、簡単なバッチファイル

　　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｑｕｉｃｋ　ＢＡＳＩＣのダウンロード、ダイレクトモード（Ｉｍｍｅｄｉａｔｅ）入力と計算

　　Ｑｕｉｃｋ　ＢＡＳＩＣの練習（２）～プログラム・モードでの入力＆実行

　　　　　　　　　　　　　　　　　（３）～ＲＥＭ 文、ＧＯＴＯ 文、ＩＦ 文、各種トラブル・・

　　　　　　　　　　　　　　　　　（４）～ＩＦ文、ＦＯＲ文、ＮＥＸＴ文とループ（繰返し）

　　　　　　　　　　　　　　　　　（５）～二重ループ、流れ図（フローチャート）

　　　　　　　　　　　　　　　　　（６）～ＤＩＭ文と配列変数（添字つき変数）

　　　　　　　　　　　　　　　　　（７）～関数値の計算、方程式の近似解

　　　　　　　　　　　　　　　　　（８）～素数の判別、エラトステネスのふるい

テキストはいつもの通り、一昔前の高校数学の教科書、数研出版『数学Ａ』

（１９９５年版）。教科書のままだと上手く行かないこともあるし、勉強にもなら

ないので、マイナーチェンジや試行錯誤を繰り返すことになる。今回で一通り

終了で、次回は高校２年生向けの『数学Ｂ』に進む予定。

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では、教科書ｐ．１９７。問題や索引を除くと一番最後となるページに書かれ

てるのは、既にｐ．８６～８７で説明されてる、数列の漸化式の話だ。解き方は

既に習ってるわけだが、数列の一番の基本は、まず具体的に書き並べてみ

ること。この単純作業をコンピューターに高速でやらせたい。

教科書の例２９は、「自然数５から始め、２倍しては３を引く操作によってでき

る数列　５，７，１１，１９，３５，・・・・・・」を扱うもの。数列を｛Ａ(n)｝として、漸化

式で書くと、

　　　　　　　　　Ａ(n＋1) ＝ ２Ａ(n) －３

ここで、　α＝２α－３という方程式を解くと、　α＝３。

漸化式の両辺からこのαを引いて、変形すると、

　　　　　　　　Ａ(n＋1) －３＝ ２｛Ａ(n)－３｝

よって、数列｛Ａ(n)－３｝は公比２の等比数列。初項はＡ(1)－３＝２だから、

　　　　　　　Ａ(n)－３＝２×（２のｎ－１乗）

　　　　∴　Ａ(n)＝（２のｎ乗）＋３

これが第ｎ項（一般項）の式となる。途中のα＝２α－３は、教科書には名

前が無いけど、普通は「特性方程式」と呼ばれ、その解αは「固有値」と呼

ばれる。参考書、塾、予備校などではお馴染みの基礎知識だろう。

一般に　Ａ(n＋1) ＝ ｐ Ａ(n)＋ｑ　（ｐ≠１）に対して、

　　　特性方程式　α＝ｐα＋ｑ　；　固有値　ｑ／（１－ｐ）

　　　第ｎ項　Ａ(n) ＝ ｛Ａ(1)－ｑ／（１－ｐ）｝（ｐのｎ－１乗）＋ｑ／（１－ｐ）

ｐ＝１の場合は単なる等差数列だから、簡単に解ける。

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さて、ここでは教科書の例の設定を少し変えて、

　　　初項　Ａ(1)＝２、　漸化式　Ａ(n＋1)＝４Ａ(n)－３

で与えられる数列｛Ａ(n)｝を考えてみよう。

　最初の６項を表示

　した後、そのすぐ

　下に、それぞれか

　ら固有値１を引い

　た数を表示するプ

　ログラムは、次の

　通り。

　途中で第７項まで

　計算することにな

　るので、最初の配

　列変数の設定は、

Ａ(7)としてある。もちろん、７以上の自然数なら１０でも１００でもいいはず。固

有値ｐ＝１は、上に書いた一般論に従って、－３／（１－４）を計算したものだ。

　　実行結果は左の通り。

　　分かりにくい元の数列

　　の下に、分かりやすい

　　別の数列が並ぶ。数列

の初歩的な授業だと、下側を数列｛Ｂ(n)｝などとおくけど、慣れて来るとこの

程度の数列にそんな面倒な置き換えはしない。下側の第ｎ項は４のｎ－１乗

だから、上側にある元の数列だと、Ａ(n)＝（４のｎ－１乗）＋１。

ちなみに、最初の行でうっかり「ＤＩＭ　Ａ（６）」と書いてしまうと、下のように、

エラーメッセージが現れる。

「Ｓｕｂｓｃｒｉｐｔ　ｏｕｔ　ｏｆ　ｒａｎｇｅ」とは、「数列の添字（番号）が範囲外」という

意味で、その間違いが生じてる第５０行の番号が反転されてる。どこでおか

しくなるのか、指摘してくれてるわけだ。

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続いて、教科書の練習３１を少しだけ変えた問題。

初項３、漸化式Ａ(n＋1)＝３Ａ(n)－４の場合について、最初の７項目を表示。

　ただし、前に書い

　た一般的な二項間 

　漸化式を意識した

　書き方にした。

　これなら初項とｐ、

　ｑの値を変えるだ

　けで、すべての場

　合に使えることに

　なる（ｐ≠１）。

　実行結果は左の通

　り。下側に３のｎ

　乗を表す簡単な数列

が出来てる。結論としては、Ａ(n)＝（３のｎ－１乗）＋２。

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続いて、ｐ．１９８の最初、問題１１。「１０個の数値を入力したとき、入力した 

純とは逆の順に数値を表示するプログラムを、配列変数を用いて作れ」。こ

れは漸化式の問題ではないけど、初歩的な数列の問題だから解いてみた。

　１０個の入力を、数

　列みたいに並べて

　一気に済ませよう

　としたけど、今の所

　は成功してない。

　１個ずつ、１０か

　ら１までを入力す

　ると、逆順で１か

　ら１０まで並んだ。

　ちなみに第５０行

　を２０行と同じに

　して、第６０行を

　Ａ（１１－Ｎ）をＰＲ

ＩＮＴさせても同じ結果になる。

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最後に、教科書ｐ．１９８の問題について。

　　Ａ(n)が奇数なら、　Ａ(n＋1)＝３Ａ(n)＋１

　　Ａ(n)が偶数なら、　Ａ(n＋1)＝Ａ(n)／２

まず（１）では、初項が１～１０の時の数列をそれぞれ表示して、いずれも、あ

る項以降が１、４、２の繰返しになることを確認する。

最後なので、二重ループと改行を使って、第２０項までを一気に並べてみた。

　初項が７と９の

　場合は、なかな

　か１、４、２にな

　らない。

　人間の手作業だ

　と大変だけど、プ

　ログラムの場合は

　配列変数の範囲を

　大きく取ればいい

　だけ。右端の第２０

　項辺りで、すべて

　１、４、２となる。

（２）では、数列に１が現れたところで実行を停止し、その１が何番目の項であ 

るのかも表示するプログラムを作成。初項２７を入力して実行する。私が作っ

たのは、下の通り。１０項ごとに改行して、何番目なのかを分かりやすくした。

Ａ（１）＝２７の場合はなかなか１にならず、第１１２項でようやく１となった。

これは並みの人間だと、途中で挫ける作業だろう。最後の行に、「１１２」と

表示されてる。

これで『数学Ａ』の教科書は一応終了だが、まだ消化不良なので、もう少し

問題演習を重ねた後、『数学Ｂ』の記事を書く予定。今日はこの辺で。。☆彡

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