『デート』第９話、「どんな数字も各位の２乗を足すと１か８９になる」ことの証明

　　「どんな数字であっても、各位（くらい）の２乗を足すと

　　　必ず１か８９になるんです。凄いでしょ！」

フジの連続ドラマ（月９）、『デート』第９話。依子（杏）の言葉の意味がなかな

か分からなかったけど、数学のコネタとしてそれなりに知られてるらしい。だ

から、鷲尾（中島裕翔）の誕生日を８月９日に設定したわけか。

８９はフィボナッチ数列の１１番目の項でもあるし。０，１，１，２，３，５，８，

１３，２１，３４，５５，８９・・・。直前の２つの数の和が、次の数。最初の０は

第０項と考えたんだろう。

フィボナッチより、２乗和の話。例えば１なら、２乗＝自乗して１。終了。８９な

ら、８²＋９²で１４５。１²＋４²＋５²＝４２。４²＋２²＝２０。２²＋０²＝４。４²＝１６。

１²＋６²＝３７。３²＋７²＝５８。５²＋８²＝８９。終了。こんな感じで操作を続けて

いけば、いずれ必ず１か８９になるのだ。もちろん、０以外の整数や有限小数

の場合。

過去の経験上、この種の理数系ネタをきっちり扱うサイトというのは意外なほ

ど少ないので、ウチで証明しとこう。いや、単に自分でやっちゃったから、記

事にしとかないと損した気分になるわけ (^^ゞ　恐るべし、ブログ依存症。。ま、

『デート』はずっと記事を書いてなかったし、良しとしよう♪

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

０は明らかな例外。無限小数（無理数含む）は計算が確定しないので不適。

また、正負の符合は関係ないので、正の数だけ考えればよい。例えば－７３

なら、二乗和の計算においては、＋７３と同じことだ。さらに、有限小数の場

合は、１０を何回か掛けた自然数で考えれば同じことになる。例えば３．８４

なら、１０² を掛けて３８４で考えればよい。

よって以下、「無限個の自然数の内、有限の僅かな個数の自然数だけ調べ

ればよい」、という話の流れを作って行く。

まず、命題「４ケタ以上の自然数は、１回操作すると元の数より小さくなる」

を証明するために、「４以上の自然数ｎについて、（１０のｎ－１乗）＞８１ｎ」

という不等式を、数学的帰納法で証明する。

　　（１）　ｎ＝４の時、（１０のｎ－１乗）＝１０００＞３２４＝８１ｎ

　　　　　　　　　　　∴　（１０のｎ－１乗）＞８１ｎ

　　（２）　ｎ＝ｋ（≧４）で与式が正しいと仮定すると、

　　　　　　　　　　　　　（１０のｋ－１乗） ＞８１ｋ

　　　　　両辺を１０倍して、　（１０のｋ乗）＞８１０ｋ。

　　　　　∴　（１０のｋ乗）＞８１０ｋ＝８１ｋ＋７２９ｋ＞８１ｋ＋８１＝８１（ｋ＋１）

　　　　　∴　（１０のｋ乗）＞８１（ｋ＋１）

　　　　　よって、ｎ＝ｋ＋１の時にも与式は正しい。

　　以上、（１）（２）より、４以上の自然数ｎについて、（１０のｎ－１乗）＞８１ｎ。

次に、上の不等式を利用して、命題「４ケタ以上の自然数は、１回操作すると

元の数より小さくなる」を証明する。各位の２乗は９²以下、つまり８１以下であ

ることを用いる。

　　　ｎ≧４の時、　

　　　　（ｎケタの自然数）≧（１０のｎ－１乗）＞８１ｎ≧（１回操作後の数）

　　∴　（ｎケタの自然数）＞（１回操作後の数）

よって、どんな自然数であっても、適当な有限回の操作によって、３ケタ以下 

の自然数へと変換できる。

さらに、３ケタ以下の自然数を１回操作して最も大きくなるのは、元の数が

９９９の場合。これを１回操作すると、９²＋９²＋９²＝２４３になるので、今後

は２４３以下の自然数だけを考えればよい。

２４３以下で、もう１回操作して最も大きくなるのは、元の数が１９９の場合

（２４３と２３９と１９９の比較の結果）。これを１回操作すると、

１²＋９²＋９²＝１６３になるので、今後は１６３以下の自然数だけ考える。

１００以上、１６３以下の自然数で、１回操作して最も大きくなるのは１５９。

これを１回操作すると、１０７。さらに操作すると５０。つまり１００未満になる。

他にも、１００→１。１０１→２。１０２→５。１０３→１０。１０４→１７。１０５→２６。

１０６→３７。

いずれにせよ、１００以上、１６３以下の自然数は、少なくとも２回の操作で

１００未満になるので、今後は９９以下の自然数だけ考えればよい。これを

２ケタ表示で、０１～９９と表す。　　　　　　　

　　ここで、たとえば元

　　の数が２４なら４２

　　と同じ変化になり、

　　元の数が６８なら

　　８６と同じ変化にな

　　るので、十の位が 

　　一の位以上のもの 

　　だけ調べればよい

（図を参照）。

それでは、最後に直接、１か８９になることを調べてみる。ただし、ある数の

操作で１か８９になることが確認できた時、途中に出て来た数のチェックも済

んだことになることを利用。証明済の数には、（→１）、（→８９）と書いて行く。

１０→１。　　　１１→２→４→１６→３７→５８→８９。　　　２０→４（→８９）。

２１→５→２５→２９→８５→８９。　　　２２→８→６４→５２→２９（→８９）。　

３０→９→８１→６５→６１→３７（→８９）。　　　３１→１０（→１）。

３２→１３→１０（→１）。　　　３３→１８→６５（→８９）。　　　４０→１６（→８９）。

４１→１７→５０→２５（→８９）。　　　４２→２０（→８９）。　　　４３→２５（→８９）。

４４→３２（→１）。　　　５０（→８９）。　　　５１→２６→４０（→８９）。　　　

５２（→８９）。　　　５３→３４→２５（→８９）。　　　５４→４１（→８９）。　　　

５５→５０（→８９）。

６０→３６→４５→４１（→８９）。　　　６１→３７（→８９）。　　　６２→４０（→８９）。

６３→４５（→８９）。　　　６４（→８９）。　　　６５（→８９）。　　　

６６→７２→５３（→８９）。　　　７０→４９→９７→１３０→１０（→１）。

７１→５０（→８９）。　　　７２（→８９）。　　　７３→５８（→８９）。　　　

７４→６５（→８９）。　　　７５→７４（→８９）。　　７６→８５（→８９）。　

７７→９８→１４５→４２（→８９）。　　　８０→６４（→８９）。　　　８１（→８９）。

８２→６８→１００→１。　　　８３→７３（→８９）。　　　８４→８０（→８９）。

８５（→８９）。　　　８６→１００（→１）。　　　８７→１１３→１１（→８９）。

８８→１２８→６９→１１７→５１（→８９）。　　　９０→８１（→８９）。　　　

９１→８２（→１）。　　　９２→８５（→８９）。　　　９３→９０（→８９）。　　　

９４→９７（→１）。　　　９５→１０６→３７（→８９）。　　　９６→１１７（→８９）。

９７（→１）。　　　９８（→８９）。　　　９９→１６２→４１（→８９）。

以上より、すべての自然数は、各位の数の２乗を足す操作を有限回続けて

行うことによって、いずれ１か８９になる。有限小数についても同じ。負の整

数、負の有限小数についても同じである。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｑ．Ｅ．Ｄ．　（証明終了）

ｃｆ．　リケジョ（理系女子）とニート（高等遊民）の『デート』、笑えたけど・・　（１話）

　　　横浜・八景島シーパラダイスの『デート』、懐かしいけど・・　（２話）

　　　緊縛『デート』、ワクワクしたけど・・

　　　　　　　　　　　＆『孤独は優れた精神の運命』（ドイツ語原文）　（３話）

　　　「禁断の　リンゴの木には　桜咲く」～『創世記』＆『デート』最終回

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２７６４字）