簡単な線形回帰分析～具体例の人力計算、エクセルの表計算

世界はともかく、最近の日本では、「最強の学問」としての統計学が流行。高

校数学での扱いも大きくなって、今年のセンター試験にも登場。高度情報化

社会におけるビッグデータの扱い方でもあるので、書店の数学関連やビジネ

ス関連の棚には、統計の本がずらっと並んでる。

私は数学好きで、数学や確率・統計関連のブログ記事をかなり書いてるけど、

あらためて「統計学」というものを学んだことは（ほとんど）無い。そこで遅まき

ながら、１冊新しい参考書を買ってみた。廣瀬英雄『実例で学ぶ確率・統計』 

（日本評論社、２０１４年）。大学の講義の内容を中心にまとめたもので、具

体例も面白いし、理論的にもしっかりした本だ。ソフトカバーもペラペラとめく

りやすく、この記事を書く際にも役立った。

ただ、統計学とか経済学、あるいは物理学などにおける数学の取り扱いとい

うのは、やはり「応用数学」的なもので、数学の成果を上手く使って問題を解

決すること、「ソリューション」が中心。前提条件の確認その他、厳密な使い方

や、なぜ使えるのか、なぜ使うのかという理由の説明は、かなり省略されて

るようだ。解析学や数学基礎論とは違ってるし、ある意味、高校数学の採点

基準よりも甘い。

今回のこの記事も、去年の夏の「ワイン方程式」記事以来ずっと先延ばしに

して来た、線形回帰分析を使ってみるのが主眼で、数学的な議論、厳密な

話はかなり省くことにする。理屈や細かい計算については、またいずれ、別

の複数の記事で正確に扱いたい。

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

さて、最初に語るべきは、「回帰」（ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎ）という耳慣れない言葉だろう。

英語はともかく、日本語では日常的にほとんど使わない言葉だから、これだ

けで難しそうに感じてしまう。要するに、「戻ること」、ｒｅｇｒｅｓｓすることだ。英語

版ウィキペディアを読むと、本来、特殊な変化をしたものが「平均へと戻ること」

を指してるらしい。この場合の平均とは、中心的な状態という広い意味だろう。

　　左はウィキメディア、Ｓｅ

　　ｗａｑｕ氏の作品より。バ

　　ラついた多くの点が、中

　　心的な直線の上下に並

　　んでる。つまり、線形に 

　　回帰してるわけで、その

　　分析が線形回帰分析だ

　　（原初的には）。これを省

　　略して、「線形回帰」と呼

ぶことが多いので、回帰という言葉の意味が分かりにくくなってる。

回帰分析において、データがそこへと戻る線は、直線を使うとは限らない。

放射線の被ばく量とダメージの関係でも、普通の仮説は直線だけど、Ｓ字曲

線が使われる場合もある。

ただ、やはり非常に扱いやすくて分かりやすいので、直線で近似することが

多いようだ。その点は、主たる自然法則とされるもの（運動の法則、オーム

の法則など）でも同様だろう。自然は単純だ、と言うよりむしろ、自然は単純

だと人間は考えたい、しかもそれでかなり上手く行く、ということだ。その辺り

はまた、実在論 ｖｓ 非実在論などの形で別に扱うことにする。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

　　それでは、具体的な問題

　　や計算に移るとしよう。極

　　端に簡単な例として、左

　　図の３点（０，０）、（１，０）、 

　　（１，１）に対して、回帰直

　　線ｙ＝ａｘ＋ｂを求めてみる。

　　前掲書ｐ．１９９の例題で、

説明や解き方は私のオリジナル。

もし小学生の子どもたちに、「真ん中くらいの直線を１本引いてみよう」と言え

ば、色んな引き方になるはず。統計学的には普通、「最小二乗法」と呼ばれる

基準を使うらしい。

線と点の差を少なくしたい、最小にしたい時、その差は０以上のものを選ぶべ

きだろう。自然に思い付くのは２通り。点と直線の最短距離と、ｙ座標の差の絶

対値。ただ、最短距離は計算が複雑だし、いずれにせよ絶対値記号が出てし

まう。そこで、ｙ座標の差の二乗が、合計で最小になるようにするわけだ。絶対

値記号を二乗して外したとも言える。

その合計をＳとおくと、直線上のｘ座標が０である点は（０，ｂ）、ｘ座標が１であ

る点は（１，ａ＋ｂ）だから、３点と比べて、

　　　Ｓ＝（０－ｂ）²＋｛０－（ａ＋ｂ）｝²＋｛１－（ａ＋ｂ）｝²

　　　　＝２ａ²＋（４ｂ－２）ａ＋３ｂ²－２ｂ＋１

　　　　＝２｛ａ＋（２ｂ－１）／２｝²－２ｂ²＋１／２

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（まずａの２次関数と見て、平方完成）

よって、Ｓが最小になるのは、ｂ＝０かつａ＝－（２ｂ－１）／２の時。すなわち、

ａ＝１／２、ｂ＝０の時。したがって直線の式は、　ｙ＝（１／２）ｘ＋０　。原点を

通って、傾き１／２の直線となる。

ちなみに、この直線上にある点（２，１）を４つ目のデータとして加えても、答

は同じになる（前掲書ｐ．１６８の例題）。この点と回帰直線の差はゼロで、差

の２乗は最小だから、当然だろう。

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　

高校１年の数学を使うと、上のような解答になる。ただ、点が多い時には大変

だし、その後の理論の一般性も考えて、大学レベルではΣ（シグマ）と偏微分

を用いるのが普通。

と言っても、Σの基本は高校の数列の分野で習うし、偏微分（変数が複数あ

る場合の、ある１つの変数に着目した微分）の考えも高校でたまに見るもの

だ。他の変数は固定して、この変数だけ動かすと・・・といった語り口で。

とにかく一般に、ｎ個の点（ｘ i，ｙ i） （１≦ i ≦ｎ）に対して、直線 ｙ＝β₀＋β₁ ｘ

を考えてみる。なぜか、回帰直線では、ｙ切片を先に書くのが慣習のようだ。　　

ｙ座標の差の二乗和を計算すると、

　　　Ｓ＝Σ（ｙ i －β₀－β₁ ｘ）²　（ i ＝１からｎまで）

　　∴　∂Ｓ／∂β₀ ＝ ２ｎβ₀＋２（Σｘ i）β₁－２Σｙ i

　　　　∂Ｓ／∂β₁ ＝ ２（Σｘ i）β₀＋２（Σｘ i ²）β₁－２Σｘ i ｙ i

　　　　　　　　　（ここでは合成関数の微分などを利用。普通に計算しても同じ。）

ここで数学的には、β₁による偏微分の、β₁の係数の符合がゼロかプラスか

を分けて、偏微分の符合や増減表を考えるべきだが、そういった話は今回は

省略する。いずれ別記事で扱う予定。

とにかく、Ｓが最小となるのは、２つの偏微分が０の時だと考える。すると、β₀

とβ₁に関する２元連立一次方程式ができて、そこでまた少し面倒な場合分け

が必要となる（２本の等式の独立性など）。しかし、前掲書でも省略してるし、

今回のこの記事でも省略。ちなみに私自身は既に解決済みだ。

結局、その連立方程式を普通に解くと、

　　β₀＝｛（Σｘ i）²（Σｙ i）－（Σｘ i）（Σｘ i ｙ i）｝ ／ ｛ｎΣｘ i ²－（Σｘ i ）²｝ 

　　β₁＝｛ｎΣｘ i ｙ i－（Σｘ i）（Σｙ i）｝ ／ ｛ｎΣｘ i ²－（Σｘ i ）²｝

４種類のΣを、あらかじめａ、ｂ、ｃ、ｄなどと置き換えれば簡単だ。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

この分母が０になる特殊な場合を、本来なら先に考えるべきだが、今回は

省略。前掲書では全く触れてない。上の２つの答に、テクニカルな変形を施

すと、普通に使われるらしい形の答になる。ｘ m、ｙ mは、ｘ、ｙの平均値。

　　β₀＝ｙ m－β₁ ｘ m　

　　β₁＝｛Σ（ｘ i－ｘ m）（ｙi－ｙ m）｝／Σ（ｘ i－ｘ m）²

この分母の形なら、ゼロになる特殊な場合がすぐ分かる。つまり、すべてのｘ i

の値が同じ場合（それが平均値ｘ m）で、回帰直線の傾きβ₁は任意（何でも可）。

点（ｘ i，ｙ m）を通りさえすれば、差の二乗和は最小になる。ｙ切片β₀はβ₁に応

じて変化（上の式で計算可能）。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　

では、この標準的な答を使って、前の簡単な問題を解き直してみよう。３点

（０，０）、（１，０）、（１，１）だから、ｘ m＝２／３、　ｙ m＝１／３。

β₁＝

　　｛（０－２／３）（０－１／３）＋（１－２／３）（０－１／３）＋（１－２／３）（１－１／３）｝

　　　　　／ ｛（０－２／３）²＋（１－２／３）²＋（１－２／３）²｝　　

　　＝１／２

β₀＝１／３－（１／２）（２／３）

　　＝０

確かに、先ほどと同じ答となった。回帰直線は、ｙ＝０＋（１／２）ｘ　。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

最後に、ソフトを用いた計算についても簡単に見ておこう。書店でもネットで

も、「Ｒ」という統計ソフトの利用が目立ってるが、ここではもっと普通のエクセ

ルを使うことにする。私の場合、Ｍｉｃｒｏｓｏｆｔ　Ｏｆｆｉｃｅ　Ｅｘｃｅｌ２００７。他の年の

ヴァージョンだと、細かい違いが出て来ると思うが、大同小異だろう。

表にｘ座標、ｙ座標を打ち込んで、すぐ回帰分析できるのかと思ったが、準備

が必要だった（私の環境では）。左上のＯｆｆｉｃｅボタンを押して、「Ｅｘｃｅｌのオプ

ション」をクリック。「アドイン」から「設定」に進み、「分析ツール」にチェックを入

れてＯＫボタン。再起動は不要で、３０秒程度で分析ツールを組み込めた。

　　先ほどの問題の座標だけを入

　　力して、「データ」タブの右端に

　　ある「データ分析」をクリック。

　　「回帰分析」を選択して「ＯＫ」。

ｙの範囲（Ｂ１～Ｂ３）とｘの範囲（Ａ１～Ａ３）を入力（マウスでのドラッグ可）して

　　ＯＫボタンを押すと、左のようになる。要

　　するに、ｘの係数（直線の傾き）が０．５、

　　ｙ切片は（ほぼ）ゼロという意味だ。確か

　　に、平方完成や偏微分の計算と一致する。回帰直線は、ｙ＝０＋０．５ｘ　。

切片の所に、５．５５×１０の－１７乗という僅かな誤差が出てるのは、エクセ

ル（あるいはコンピューター・ソフト）の特性で、これも別記事で扱う予定。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

そして、今回の一番最後は、ようやく「ワイン方程式」の導出。提唱者アッシェ

ンフェルターのサイトに公開されてるデータをエクセルに入力して、回帰分析

を行うと、確かに彼自身とほぼ同じ結果が出た。ということは、やはりドラマ

『ハードナッツ』第５回その他で伝えられてる式は大幅に間違ってる。

　Ａ列が価格の指標。

　Ｂ列が冬の降雨量、

　Ｃ列が育成期の平均

　気温、Ｄ列が収穫期

　降雨量、Ｅ列が熟成

年数だ。

　　この場合、４つの変数で価格が決まると

　　考えるので、「重回帰分析」と呼ばれる。

　　「重」とは重いという意味ではなく、複数

　　の要因が重なって、という意味だ。上で

　　ずっと扱って来た、１つの変数ｘでｙが決定

する場合には、「単回帰」と呼ばれる。　

とにかく、ボルドーワインの方程式、つまり線形回帰する図形の式は、日本

語の説明入りで書くなら、次の通り。

（６１年物を基準にした価格の指標）＝ －１２．１４５３

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋０．００１１６７×冬の降雨量

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋０．６１６３９２×育成期の平均気温

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　－０．００３８６×収穫期の降雨量

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＋０．０２３８４７×熟成年数

と表せる。この近似式の方がワイン評論家より役に立つ、という彼の言い分が

正しいのかどうかまでは、私には分からない。そもそも彼が使ったデータ自体

も、ほとんど誰も確認してない状況なのだから。いつの世でも、広く流通するの

は表面的なイメージのみなのだ。

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　４２５８字）