ｘ² のフーリエ級数展開～『アルジャーノンに花束を』第５話、咲人（山Ｐ）が書いた数式

久々に読者の方からリクエストを頂いたので、早速お答えしよう♪　ちょうど

何か数学記事を書きたいなと思ってた所だから、渡りに船、という感じだ。

ドラマ『アルジャーノンに花束を』第４話の本編終了直後、３５秒ほどの予告

編が流れた。この冒頭あたりで、主人公・咲人（山下智久）が難しげな数式

を書いてるカットが一瞬だけ映ってた。明らかに、福山雅治の人気ドラマ『ガ

リレオ』の名物シーン、数式書きなぐりを意識したものだ。

私は、『ガリレオ』の数式解読記事だけでも多数書いて来たので、今回も第

５話を見た後に解読するつもりだったけど、予告編の一瞬だけで「フーリエ 

級数」（Ｆｏｕｒｉｅｒ　ｓｅｒｉｅｓ）だとご指摘を受けたので、試しに自分で再びチェッ

ク。なるほど、ｘ² のフーリエ級数展開をかなり丁寧に書いてる。

顔を映すために、透明なボードに書く姿を反対側から撮ってるから、左右が

反転して分かり辛くなってたけど、大学１、２年生向けの教科書の基本例題

といったレベルで、別に天才的なレベルの式ではない。ただ、つい先日まで

知的障害者だったのに、新しい手術で一気に大学レベルの数学をマスター

した所がポイント。いい意味でも悪い意味でも、「ヤバイ」流れなのだ。。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

ではまず、山Ｐが書いた黒板・・・じゃなくて透明ボードの数式を、私が読みとっ

たものをお見せしよう。公式ＨＰの３０秒弱の予告編だと、カットされてるので、

念のため。いつもかどうか知らないけど、少なくとも今回は、本放送の予告の

方が５秒ほど長かったのだ。画像が大きいので、上下２枚に分割した。

π（パイ）はもちろん、円周率３．１４・・・のこと。上から２番目の式がフーリ

エ級数展開の中核となる公式。そのｃｏｓの左で係数となってる数列「ａ n」

は、上から３番目の式で定義。∞は無限大を示す記号。

赤い波線部分は、読み取れなかった部分を私の推測で補ったもの。おそら

く、ほとんど合ってるはず。「書き忘れてる」と赤字で指摘してるのは、山Ｐか

スタッフの単純なミスらしきもの。「ｓｉｎ　ｎｘ」と書くべき所を、うっかり「ｓｉｎ　ｘ」

と書いてた。まあ、ガリレオ福山も時々間違ってたから気にする必要はない。

まさか、この記事の指摘を受けて、あわてて撮り直すこともないと思う（笑）

上に示したもの以外にも少し書いてたけど、まったく読みとれないので省略

した。第５話の本放送で読み取れたら、この記事に追記や補足を行う予定。

ちなみに、最終的な答は次のようになる（細かい書き方の違いは色々ある）。

高校数学の数Ⅲで習う「部分積分」を中心として、計算自体は高校の教科書

の章末問題レベル（＝発展レベル）くらいだ。

　　　ｆ（ｘ） ＝ ｘ² ＝ （π²／３）＋４Σ｛（－１）ⁿ／ｎ²｝ｃｏｓ ｎｘ　　（ｎ＝１～∞）

Σ（シグマ）の無限級数と｛　｝が難しく見えるが、ｎ＝１～４で具体的に書き

下すと、次の通り。右に行くほど、ｃｏｓの係数の絶対値が小さくなるから、

影響力は下がって行く。

　ｘ² ＝ （π²／３）－４ｃｏｓ ｘ＋cos ２ｘ－（４／９）ｃｏｓ ３ｘ＋（１／４）ｃｏｓ ４ｘ－・・・

もっと簡単に、ｎ＝１とｎ＝２だけ考えても、十分な正しさの近似式になる。

こちらの式を使って、下で説明しておいた。

　　　ｆ（ｘ） ＝ ｘ² ≒ （π²／３）－４ｃｏｓ ｘ ＋ ｃｏｓ ２ｘ

πが嫌な人向けに、普通の数字で書き直すなら、次の通り。

　　　ｘ² ≒ ３．３－４ｃｏｓ ｘ ＋ ｃｏｓ ２ｘ

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

では、簡単な解説に入ろう。「フーリエ級数展開」とは、２００年ほど前、数

学者フーリエが考案した、数式の変形方法のこと。無限個の項目の足し

算（＝級数）へと展開するので、級数展開と呼ばれる。

要するに、上に∞（無限大）のマークが付いたΣ（シグマ）を使った式に

することだ。Σの上が数とか普通の文字なら、高校２年の数学Ⅱや基礎

解析でほとんどの人が習ってるはず。それを、延々と足し続けるのが級

数だ。理系なら、高校３年の数学Ⅲで習う話。

　　これは半ばドラマ記事だし、数

　　式より図形で直感的に示す方

　　がいいだろう。まず、左の放物 

　　線が、問題となってる ｙ＝ｘ²

　　（－π≦ｘ≦π）。大阪教育大

　　学・友田勝久氏による関数グ

　　ラフソフト「ＧＲＡＰＥＳ」を利

　　用させて頂いた。

　上の放物線に似た 

　グラフを、三角関 

　数（ｓｉｎ、ｃｏｓ）の 

　波型を組み合わ 

　せて作るという

　話なのだ。数学

的にも物理的にも、色々と役に立つ。青緑の線が、ｙ＝ｃｏｓ ｘ。赤紫の線

が、ｙ＝ｃｏｓ２ｘ。

この２本を上下に伸縮・反転して、足し合わせる（合成）。さらに少し上にズラ

すと、放物線に近づくのだ。その上下の伸縮・反転のやり方や、ズラす幅を、

咲人＝山Ｐは公式に従って積分計算してた。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

　　左は、ｙ＝－４ｃｏｓ ｘ と

　　 ｙ＝ｃｏｓ２ｘ。つまり、元

　　のｙ＝ｃｏｓ ｘだけ、上下

　　４倍して反転してある。

　　これらを足し合わせ、

　　上にπ²／３（約３．３）

　　だけズラすと、最初

　　の放物線 ｙ＝ｘ²　と

　　ほぼ一致する。

　　黒線が元の放物線 ｙ＝ｘ² 。

　　赤線が三角関数の合成

　　（フーリエ級数展開の中心

　　部分）、つまり青緑＋赤紫。

　　ｙ＝（π²／３）－４ｃｏｓｘ

　　　　　　＋ｃｏｓ２ｘ　。

　　まだ少しズレてるけど、もっ

　　と沢山のｃｏｓ曲線を合成し

　　て行くと、限りなく放物線に

　　近づいて行く。最近は、計

　　算もグラフもコンピューター

　　がやってくれるから、楽な

　　のだ。自分の手だと大変。

　　「ｃｏｓ曲線を２つ合成しなくても、

　　（π²／３）－４ｃｏｓ ｘ だけで十分

　　では？」と思った方のために、

　　比較してみよう。左で、黒線は

　　元の放物線、赤線は

　　ｙ＝（π²／３）－４ｃｏｓ ｘ　。

　　かなり似てるけど、ズレも目立

　　つから、赤線の式に ｃｏｓ２ｘ を

　　加えてズレを少なくするわけだ。

　　すぐ上の図と見比べると、劣って

　　るのは明白。こちらの赤線は、形

　　もかなり尖ってるけど、ｃｏｓ２ｘ

を加えると丸みが増して、放物線に近づく。　

ちなみに、予告編で書いてた放物線は、元のものより右側にズレてた。と

　いうのも元の放物

　線の範囲（定義域）

　は－π≦ｘ≦π

　だけど、三角関数

　の波線は本来、

　左右にずっとウネ

　ウネ伸びてる。だ

　から、元の放物線

　を左右にコピペし

　て、つないで並

べると、イメージしやすいのだ。周期２π（約６．３）で左右に伸びる関数

のグラフへと、無理やり変形したと言ってもいい。

上図の黒線が元のグラフ、青線が右横にコピペしたもので、この青線部分

だけが予告編に映ってたことになる（テレビ画面だと、反転してるので右上）。

　　その無理やり

　　作った放物線

　　の波を、この青

　　緑と赤紫の波線

から作り上げるというイメージだ。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

最後に、ほんの少しだけフーリエ級数展開を知ってる人は、「どうしてｃｏｓ

だけなのか？　ｓｉｎも使うのでは？」と思うかも知れない。

一般には、ｓｉｎ（正弦）とｃｏｓ（余弦）の両方を使って表すし、どちらの係数

も計算しなければいけないけど、この場合は、元の放物線が左右対称（ｙ 

軸対称）だから、ｓｉｎの項はすべて消えてしまうのだ。言い換えると、グラ 

フの式が偶関数の時は、ｃｏｓだけで展開できる。

そもそも本来は、係数の積分計算をする時の積分区間は－π≦ｘ≦π

だけど、偶関数の場合は、区間を０≦ｘ≦πにして、積分記号（インテグラ

ル）の前に２を書けばいいことになる（つまり２倍）。これは、積分される関

数の全体（元の偶関数×ｃｏｓ ｎｘ）が偶関数だからだ。

ちなみに偶関数とは、ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ）をみたす関数 ｆ（ｘ） のこと。つまり、マ

イナスの値で計算しても、プラスの時と同じ値になる関数。

フーリエ級数については、いずれまた、別の数学記事を書く予定。

とりあえず、今日はこの辺で。。☆彡

Ｐ．Ｓ．　第５話のレビューをアップ、数式にもコメントしてある。フーリエより

　　　　　微分（ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｔｉｏｎ）の基礎が中心だった。

Ｐ．Ｓ．２　１ヶ月半後、関連する数学記事を追加した。

　　　　　　　　フーリエ級数展開２～方形波＝矩形波（くけいは）

ｃｆ．　ママ、お利口になるから嫌わないで～『アルジャーノンに花束を』第１話

　　　自分たちのために他者を利用すること～『アルジャーノンに花束を』第３話

　　　居眠りジョグ＆おまけ＆１５年４月の全走行距離　　（第４話関連）

　　　ホーキング「人は、人生が公平ではないことを悟れる・・」

　　　　　　　　　　　（英語出典＆原文）～『アルジャーノンに花束を』第５話

　　　雨だし生活が乱れてるから、つぶやきミックス　　（第６話関連）

　　　原作を踏まえた、妹との関係～第７話

　　　新薬ＡＬＧの原料キサンチンの化学式Ｃ5Ｈ4Ｎ4Ｏ2と構造式、

　　　　　　　　　　　　　　　　　　シチズン腕時計♪＆１２ｋｍ走　　（第８話関連）

　　　波動関数Ψでつながる原子、魂でつながる人間～第９話

　　　Ｙｅｓｔｅｒｄａｙ　Ｏｎｃｅ　Ｍｏｒｅ♪～『アルジャーノンに花束を』最終回

　　　　・・・・・・・・・・・・・・・

　　 『アルジャーノンに花束を』と、哲学者プラトン『国家』洞窟の比喩

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　３５５０字）