ナッシュ均衡とは～囚人のジレンマ（英語原論文）に即して

今までも度々具体的に指摘して来たが、いつもの事ながら、理数系の分野

では、古典的な原論文を本当にチェックしてる人が非常に少ない。専門家

を含めて言えることだと思う。「本質的に同じ内容ならＯＫ」ということだろう

が、本質的に同じかどうかは、元のものと比較しないと分からないはず♪

今回、ノーベル経済学賞に輝くナッシュの訃報を目にして、「ナッシュ均衡」

の記事を書こうと思ったものの、その最適の有名な例である「囚人のジレン

マ」を探すのが大変だった。日本語はもちろん、英語で検索しても、変形し

たヴァージョンばかりで、原型や原論文の正確な引用が（ほとんど）見当た

らないのだ。

図書館の参考書にも英語版ウィキペディアにも無いし、パウンドストーンの

解説書『囚人のジレンマ　フォン・ノイマンとゲームの理論』をＧｏｏｇｌｅ　ｂｏｏｋｓ

で検索しても出て来ない。パウンドストーンのものも、現代版の言い換えだ。

結局、原論文そのものは発見できてないけど、著者本人が原論文を紹介す

る形の要約論文なら発見できた。パウンドストーンの記述とも整合的だし、お

そらくこれが本物だろう。もし間違いが判明したら、直ちに訂正することにして、

とりあえず先に進んでみよう。。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

さて、ではその「囚人のジレンマ」（Ｐｒｉｓｏｎｅｒ’ｓ　Ｄｉｌｅｍｍａ）から。これは、

１９５０年、フラッド（Ｆｌｏｏｄ）とドレシャー（Ｄｒｅｓｈｅｒ）が考案したパターンを、

タッカー（Ａ．Ｗ．Ｔｕｃｋｅｒ）が分かりやすく解釈して定式化したものだと言わ

れてる。私はフラッドの論文（ドレシャーは協力者）も探して目を通したが、

今現在、囚人のジレンマと同じなのかどうか、まだ理解できてない。

　（☆追記：　翌日、フラッドの論文を理解した。この記事末尾のＰ．Ｓ．参照。）

一方、タッカーが１９８３年に書いた、自分の過去の論文を紹介してるらしい

論文（Ｔｈｅ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｏｆ　Ｔｕｃｋｅｒ ： Ａ　Ｓａｍｐｌｅｒ）は、米国の雑誌

データベース・ＪＳＴＯＲで発見できた。

　　　　　

これがおそらく、本人の１９５０年の論文からの引用であって、そのまた元に

あるのが、パウンドストーンが言及してる個人的な手紙（ドレシャー宛）だろう

と想像するが、まだそこまでは確認できてない。

原文はリンクで確認して頂くとして、ここではポイントだけ、日本語訳で引用

しとこう。２人の囚人が警察に捕まって、別々に隔離された状態で、それぞ

れ交渉をもちかけられてる。

　　　（１）　　一方が自白（ｃｏｎｆｅｓｓ）して、他方がしない場合、自白者には

　　　　　　　　１単位（ｕｎｉｔ）の報酬が与えられるが、他方は２単位の罰となる。

　　　（２）　　２人とも自白した場合は、どちらも１単位の罰を受ける。

　　　（３）　　２人とも自白しない場合は、どちらも無罪となる（ｇｏ　ｃｌｅａｒ）。

囚人Ⅰと囚人Ⅱについて、行動戦略と結果をまとめた表（利得行列）を書くと、

下のようになる。それぞれ、自白するかしないかの２通りだから、２×２行列

の形になる。成分の左側が囚人Ⅰの結果（＝利得）、右側が囚人Ⅱの結果

だ。例えば（１，－２）なら、囚人Ⅰが１単位プラス、囚人Ⅱが２単位マイナス。

ちなみにパウンドストーンが示して英語版ウィキが採用してるのは、上の全

ての値から１を引いて、符号を変えて、年単位にしたものだ。例えば上の

（１，－２）なら、刑罰が（０年，３年）へと変更されてる。確かに、原論文の

＋１という報酬は、司法取引としてもちょっと分かりにくいものだろう。

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２人の戦略と結果の総体で、利得の和はゼロではないから、「２人・非ゼロ和」

のゲーム。協力できない状況だから、ナッシュの１９５０年の論文タイトルにも

なってる、「非協力ゲーム」（Ｎｏｎ－ｃｏｏｐｅｒａｔｉｖｅ　Ｇａｍｅｓ）でもある。２国間

の戦力など、応用は色々可能だろう。戦力なら、自白の代わりに戦力増強と

考えればいい。

まず、素朴に考えてみよう。囚人ⅠとⅡの条件は全く同じ（対等）だから、囚人

Ⅰの立場だけ考えれば十分だ。

期待される利得の平均値だけで考えても、

　　　　　自分が自白した場合は、　　　　　（－１＋１）／２＝０

　　　　　自分が自白しない場合は、　　　（－２＋０）／２＝－１

よって、自白した方が得のような気がする。

ただ、相手は確率的にランダム（でたらめ）に行動を選択するわけではないか

ら、単純平均することにあまり意味がないし、利得の数値が少し変われば違

う結論にもなるだろう。

そこで、論理的に相手の戦略を場合分けして、それぞれに対する自分の戦

略を考えてみる。

　　　相手が自白する場合　・・・　自分が自白すると－１、自白しないと－２。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　よって、自分も自白した方がいい。

　　　相手が自白しない場合　・・・　自分が自白すると１、自白しないと０。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　よって、自分は自白した方がいい。

どちらの場合も、自分は自白した方がいい（自白が「最適応答」）。全く同じ考

えが相手にも使えるから、結局２人とも、自白した方がいいということになる。

その状態（どちらにとっても、相手が自白する場合）をもとにして考えると、お

互い自分の戦略を変える動機を持ちにくい。既に最適応答となってるからだ。

この２人の戦略の組合せ、互いに最適応答である（自白、自白）が、「ナッシュ

均衡点」（Ｎａｓｈ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｐｏｉｎｔ）。そこでの均衡、安定状態がナッシュ

均衡だ。

ただ、利得は－１に過ぎないから、少なくとも心理的には、あまり得のような

気がしないだろう。例えば、２国がどちらも戦力増強してパワー・バランスを

保つことに決定しても、防衛費が増えてお互い損するだけのような気がする、

ということだ。。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　

同じ内容は、ナッシュの論文に似た書き方（同じではない）なら、以下のよう

になる。２人の戦略の組合せ、「（囚人Ⅰの戦略，囚人Ⅱの戦略）」に対する

利得関数 ｆ を導入。囚人Ⅰなら、ｆ₁。囚人Ⅱなら、ｆ₂。また、ｃは自白する、ｎは

自白しない。「ｍａｘ」は条件をみたして変化する ｆ の最大値を示す演算記号。

囚人Ⅰについて　　　ｆ₁（ｃ，ｃ）＝－１，　ｆ₁（ｎ，ｃ）＝－２

　　　　　　　　　　　　∴　ｆ₁（ｃ，ｃ）＝ｍａｘ ｆ₁（ｘ，ｃ）　（ｘ＝ｃ，ｎ）

　　　　　　　　　　　　　ｆ₁（ｃ，ｎ）＝１，　ｆ₁（ｎ，ｎ）＝０

　　　　　　　　　　　　∴　ｆ₁（ｃ，ｎ）＝ｍａｘ ｆ₁（ｘ，ｎ）　（ｘ＝ｃ，ｎ）

　　　　　　　　　　　　よって、ｃ（自白）を選択するのが合理的。 

囚人Ⅱについて　　　ｆ₂（ｃ，ｃ）＝－１，　ｆ₂（ｃ，ｎ）＝－２

　　　　　　　　　　　∴　ｆ₂（ｃ，ｃ）＝ｍａｘ ｆ₂（ｃ，ｙ）　（ｙ＝ｃ，ｎ）

　　　　　　　　　　　　ｆ₂（ｎ，ｃ）＝１，　ｆ₂（ｎ，ｎ）＝０

　　　　　　　　　　　∴　ｆ₂（ｎ，ｃ）＝ｍａｘ ｆ₂（ｎ，ｙ）　（ｙ＝ｃ，ｎ）

　　　　　　　　　　　よって、ｃ（自白）を選択するのが合理的。

したがって、２人の戦略の組合せは、（ｃ，ｃ）が合理的。この時、全員（２人）

の利得は、相手がｃ（自白）の場合の最大値となるので、この組合せはナッ

シュ均衡点となって安定する。正確には、安定する「と期待される」。

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

ちなみにナッシュの論文自体では、遥かに高度で洗練された表現となってる。

ｎ人の戦略（ｓ ： ｓｔｒａｔｅｇｙ）の組合せは、ｎ－ｔｕｐｌｅ（ｎ個の組）と呼ばれる。ｎ

次元ベクトルみたいな演算はできない単なる組合せだから、別の名前を付け

てるのだ。

なお、囚人のジレンマのナッシュ均衡点は１つだが、一般には１つとは限らな 

い。また、ナッシュ均衡はお互いにとって、「ベスト」の状態ではない。どちらに

とっても、利得がもっと上（０や１）の状態が存在する。例えば囚人Ⅰにとって

は、お互い自白しない（ｎ，ｎ）や、自分だけ自白する（ｃ，ｎ）の方がいい。

全員にとって、これより上の状態がないことを、「パレート最適」（Ｐａｒｅｔｏ

ｏｐｔｉｍａｌ）と呼ぶ。これも、学者の名前を付けた概念で、ナッシュ均衡は一般 

には、パレート最適でない。だからこそ、均衡を破ろうとする特殊な動きが絶

えないのだろう。人間の欲望は無限なのだ。ちなみに囚人のジレンマには、

パレート最適な点は存在しない。

なお、パレート最適であるようなナッシュ均衡点の例としては一応、下のよう

　　なつまらないゲー

　　ムの（ａ，ａ）を挙

　　げることができる。

　　つまりプレーヤー

　　ⅠとⅡがどちらも

戦略ａを選択してる状態。これなら迷う余地はないはず。

とりあえず、今日はこの辺で。。☆彡　　

Ｐ．Ｓ．　タッカーより先の、フラッドの論文で、囚人のジレンマと本質的に同 

　　　　　じゲームを確認できた。２人それぞれが２通りの選択をして、ナッ

　　　　　シュ均衡点が存在するが、パレート最適点は存在しない。

　　　　　被験者ＡＡが１行目か２行目を選択、被験者ＪＷが１列目か２列目

　　　　　を選択して、それぞれの利得が決定するゲーム実験で、一応「非

　　　　　協力」だけど、過去の自分たちのデータを分析して「協力」に向か

　　　　　う様子が確認できたらしい。フラッドの論文にある、２人それぞれ

　　　　　の行列は次の通り。ＡＡはＡとだけ、ＪＷはＷとだけ、ラストネーム

　　　　　で書かれてる。

　　　　　これを私が１つの行列にまとめたものが下図。例えば（－１，２）な

　　　　　らＡＡが－１、ＪＷが２という意味だ。これが囚人のジレンマの原型

　　　　　だと言ってもいいだろう。

　　　　この場合、ナッシュ均衡は２行１列の（０，１／２）だが、１００回の実験

　　　　が進むにつれて、２人とも１行２列の（１／２，１）を目指すようになる。

　　　　つまり、ナッシュ均衡から、お互いにとってより良い状態に向かう様子

　　　　が、実験によって統計的に確認されてるのだ。

　　実験回数や実験条

　　件には、統計学的

　　に議論の余地があ

　　るが、左の戦略頻

　　度の表は興味深い

　　ものだろう。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　３８０７字）