フーリエ級数展開２～方形波＝矩形波（くけいは）

今夜は雨。手軽な数学記事を１本アップしとこう。１ヶ月半前、テレビドラマ

関連で、ｘ² のフーリエ級数展開を解説した。番組内の映像に即した数式を、

多数のグラフと共に補足したわけだ。今回は普通の実用的な数学記事（＆

物理学の波動関連）として、最もメジャーな「矩形波」（くけいは）を扱う。

まず、ウィキメディアのＯｍｅｇａｔｒｏｎ氏の作品で、４つの波の形を比較しよう。

下の図で、赤、緑、青、ピンク、４つの線だ。

上から、三角関数でお馴染みの正弦波（Ｓｉｎｅ　ｗａｖｅ）、今回扱う矩形波＝ 

方形波（Ｓｑｕａｒｅ　ｗａｖｅ）、三角波（Ｔｒｉａｎｇｌｅ　ｗａｖｅ）、のこぎり波＝鋸歯状

波（Ｓａｗｔｏｏｔｈ　ｗａｖｅ）。矩形波とのこぎり波の垂直の線は、外見を整える

もの。本当は存在せず、上端と下端の少なくとも一方が白丸となってるのが

普通だ。

ちなみに矩形波とか方形波と呼ばれるものは、日本語で文字通りに読むと

「長方形の波」ということになるが、英語版ウィキペディアによると、上下の

持続時間が等しいものを矩形波と言うとのこと。もっと一般に、単なる長方

　　形の波ならパルス

　　波（Ｐｕｌｓｅ　ｗａｖｅ）

　　とか長方形波

　　（Ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒ　

　　ｗａｖｅ）とされる。

上図はウィキメディア、Ｋｒｉｓｈｎａｖｅｄａｌａ氏の作品。波長Ｔの波で、上側の持

続時間はτ（タウ）、下側の持続時間は、Ｔ－τ。縦軸は振幅（Ａｍｐｉｔｕｄｅ）。

τ＜Ｔ／２だから、矩形波ではないパルス波ということになる。

まあ、波形の呼び名はおそらく、世界的にあまり統一されてないと思う。数学

の世界は意外と大まかな部分があるのだ。特に物理や経済が絡んでる実

用的内容だと。。♪

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さて、フーリエ級数展開とは、滑らかで扱いやすい正弦波を無限に組み合わ

　　せることで、その他の波

　　 ｙ＝ｆ（ｘ）を表すための、数

　　学者フーリエによる数式変

　　形。理論的にはややハイ

　　レベルで、普通は大学１、

　　２年の授業内容だ。

　　左は、垂直線なしの矩形

　　波を正弦波１本、２本、３

　　本で表そうとしてる様子。

　　ウィキメディア、Ｌｕｃａｓ

　　ＶＢ氏のｇｉｆアニメより。

　　たった３本（ｎ＝３）で、

かなり矩形波に近似した形になってる。この正弦波の組合せを計算するの

がフーリエ級数展開だ。

　もっとも基本的な 

　式は、左の式。

　ウィキから借用。

ｃｏｓの係数その他の ａ n と、ｓｉｎの係数 ｂ n は、元の関数 ｆ（ｘ）を用いた次

の定積分で定める。

　　ａ n はフーリエ

　　余弦係数、ｂ n

　　はフーリエ正弦

　　係数。ａ n だけ、ｎ＝０から始まるのは、Σの左側に ａ₀ があるから。

変数はここでは ｔ としてあるが、定積分だから、元の ｘ のままでもいい。

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最初の式の左端、ａ₀ ／２という項のせいで、フーリエ級数の人気が半減して

ると思うが（笑）、Σで出来る関数をｙ軸方向に平行移動させてるのだ。ｃｏｓ

とｓｉｎのΣだけだと、ｘ軸の上下が非対称的なものを作るのが難しくなるから、

Σの左の定数項で簡単な調節を行ってる・・・と考えればわかりやすい。

実際、ａ ₀／２を計算すると、長さ２πの区間－π～πにおけるｆ（ｘ）の積分

の１／（２π）だから、区間内の「平均値」となってる。

一方、最初に挙げた基本の式は、元の関数 ｆ（ｘ） とキレイに一致するとは

限らないので、左辺の側に「ｆ（ｘ）～」と書いてる本もある。もちろん、気にせ

ず「ｆ（ｘ）＝」と書く本もある。普通の人にとっては、等号（＝）の方が分かり

やすいだろう。。

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では、実際の計算について。もっとも基本的な矩形波として、原点対称の

次の関数を考える。ｘ＝０で不連続、ｘ軸の上下に分かれることになる。垂

直の線は無い。

　　　ｆ（ｘ）＝　－１　（－π＜ｘ≦０） 

　　　　　　　　 　１　　（０＜ｘ≦π）

これは、不連続点（ｘ＝０）を除けば、ｆ（ｘ）＝－ｆ（－ｘ）を満たす関数、つまり

奇関数だから、フーリエ余弦係数 ａ n は０になって消滅。というのも、積分す

る ｆ（ｘ）ｃｏｓ ｎｘ が奇関数×偶関数＝奇関数となるからだ。よって、フーリエ

正弦係数 ｂ n だけ残して、次の「フーリエ正弦級数」を求めればよい。

　　　Σｂ n ｓｉｎ ｎｘ　（ｎ＝１～∞）

ちなみに以前扱った ｘ² のフーリエ級数展開だと、逆に偶関数だから、余弦

係数 ａ n だけ残して、フーリエ余弦級数を求めた。

なお、この種の基本問題で、ｆ（ｘ）の値を－１と１にする代わりに、－π／４

とπ／４ などとした問題もあるが、要するにそれは後知恵によって調整した

値。－１と１の問題の答が分かってると、最初から π／４ 倍しときたくなる

のだ。以下、実際に－１と１の問題を解いてみよう。

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　　ｂ n ＝ （１／π）∫ｆ（ｔ）ｓｉｎ ｎｔ ｄｔ　　（－π～π）

　　　　 ＝（２／π）∫ｆ（ｔ）ｓｉｎ ｎｔ ｄｔ　　（０～π）　　　（積分する関数が、奇×

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　奇＝偶関数だから）

　　　　＝（２／π）∫１・ｓｉｎ ｎｔ ｄｔ　　（０～π）

　　　　＝（２／π）［ （－１／ｎ）ｃｏｓ ｎｔ］　　（０～π）

　　　　＝（－２／ｎπ）｛（－１）ⁿ－１｝

∴　ｆ（ｘ）＝Σ（－２／ｎπ）｛（－１）ⁿ－１｝ｓｉｎ ｎｘ　　（ｎ＝１～∞）

　　　　　＝（４／π）｛ｓｉｎ ｘ＋（ｓｉｎ ３ｘ）／３＋（ｓｉｎ ５ｘ）／５＋・・・・・・｝

というわけで、あらかじめ（π／４）倍しとけば、最後の答がもっとスッキリする

ことになる。元のｆ（ｘ）の定義域にｘ＝－πは入ってないけど、積分する時に

は普通に－πからπで計算してよい。簡単に言うと、端点だけなら積分に関

係ないという理由だが、厳密な話をするには、フーリエ級数と積分についての

正確な議論が必要。この記事では扱わないし、普通こだわらない所だ。。

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なお、矩形波が（不連続点を除いて）偶関数の場合は、フーリエ余弦級数を

使えばいい。ｘ軸の上下が同じ幅になってないのなら、まず平行移動して上下

同じ幅に直して、後で逆向きに平行移動してもいい。

周期が２πでなく２Ｌの場合（区間 －Ｌ＜ｘ≦Ｌ の関数など）については、また

いずれ別記事で扱うことにしよう。要するに、横幅をπ／Ｌに縮めて解いた後、

Ｌ／πして元に戻せばいいのだ。置換積分になるので、やや面倒ではある。

とりあえず、今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２４５５字）