数学甲子園２０１５予選、全２０問の問題、解き方、感想

（☆１６年４月追記：　やっと準々決勝の問題が発表されたので記事をアップ。

　　　数学甲子園２０１５準々決勝、全問コメント＆解き方　）

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記事ローテーション的にはそろそろ、大学レベルの数学の記事を書くべき所

だけど、ご無沙汰すぎて、ウォーミング・アップが必要だ♪　そこで、連休初日

の今日は、脳トレ感覚で数学甲子園２０１５の予選問題を全て解いてみた。

明日の９月２０日（日曜）が本戦だから、タイミング的にも悪くない。

正式名称は、第８回・全国数学選手権大会。予選問題は日本数学検定協会

の公式サイトで、ｐｄｆファイルで一般公開されてる。模範解答という名の、単

なる答だけのファイルも公開中だけど、解説は例年通り、まったく無し。

私がかかった時間は測ってないけど、迷った時間は僅かだから、本気でや

れば５０分～６０分で出来たはず・・・と勝手に思っとこう♪　極端に簡単な問

題が半分ほど入ってるから、何とかなるはず。特に前半でかなり時間を稼

げるのだ。当然、予選は１００点満点が要求されるんだろう。悪くても９５点か。

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以下、問題文は、そのままの引用ではなく、あえて省略表現にした。図だけ

は縮小コピペさせて頂いた。著作権的に許容範囲の引用だと考える。

問題１．　ｙ²－４－ｘ²－４ｘ の因数分解。

　　　項の並び順がちょっといやらしいけど、甲子園の参加者なら秒速で、

　　　ｙ²－（ｘ＋２）² だと分かるはず。２乗－２乗の因数分解公式でおしまい。

　　　答は、（ｙ＋ｘ＋２）（ｙ－ｘ－２）。速い人なら１０秒のはず。

問題２．　ｘ＝１／（４＋√５），ｙ＝１／（４－√５）で、（ｙ／ｘ）＋（ｘ／ｙ）の値。

　　　対称式の値だから、基本対称式を使って、｛（ｘ＋ｙ）²－２ｘｙ｝／ｘｙ

　　　と変形。ｘ＋ｙ＝８／１１、ｘｙ＝１／１１だから、代入して終了。

　　　答は、４２／１１。分子の計算ミスに注意して、１分くらいか。

問題３．　連立不等式　３ｘ＋１ ＜ ２ｘ ≦ ５＋４ｘ。

　　　マイナスと分数をからめた不等式で、片方だけ等号が付いてる。冷静に

　　　素早く２つの式を解いて結合。答は、－５／２ ≦ ｘ ＜ －１。３０秒以内。

問題４．　１０進法で２桁の整数Ｎを７進法で表すと、各位の数が逆になっ

　　　　　　　た。Ｎをすべて求めよ。

　　　条件を逆転して、７進法で２桁の数「ａｂ」を１０進法に直すと、１０進法

　　　の「ｂａ」になったと考える。７ａ＋ｂ＝１０ｂ＋ａ より、２ａ＝３ｂ。

　　　ａ，ｂは１～６だから、（ａ，ｂ）＝（３，２），（６，４）。答は、２３，４６。

　　　これは２、３分使っても十分。

　問題５．　左図で ｘ を

　求めよ。

　円に内接する四角形

　の性質より、

　　∠ＥＤＣ＝∠ＥＢＡ

　　∴　△ＥＤＣ∽△ＥＢＡ　　　∴　ＥＤ：ＤＣ＝ＥＢ：ＢＡ

　　∴　ｘ：３＝９：５　　∴　ｘ＝３×９÷５＝２７／５　・・・・・・　答

　　　１０秒～３０秒くらい。

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問題６．　ｘ²－５ｘ＋７＝０の２つの解をα、βとおくとき、（１／α）＋（１／β）。

　　　これも基本対称式を使って、（α＋β）／αβと変形。解と係数の関係

　　　より、答は直ちに、５／７。２０秒前後。

問題７．　９０°＜θ＜１８０°で、ｃｏｓ θ＝－√７／４の時、ｔａｎ２θ。

　　　解き方が色々あって迷う所だが、ベストの方法にこだわらずにすぐ計

　　　算した方がいい。まあ、ｃｏｓとｔａｎだから、ｓｉｎは使わないのが普通か。

　　　１＋ｔａｎ²θ＝１／ｃｏｓ²θ＝１６／７　　　∴　ｔａｎ²θ＝９／７

　　　θが鈍角だから、ｔａｎθ＝－３／√７

　　　倍角公式に代入、ｔａｎ２θ＝２ｔａｎθ／（１－ｔａｎ²θ）＝３√７　・・・答。

　　　計算ミスに注意。２分使ってもいいと思う。

問題８．　（８１のｘ乗）＝９√３　の時、ｘ。

　　　指数法則を使って、（３の４ｘ乗）＝｛３の（５／２）乗｝

　　　∴　４ｘ＝５／２　　∴　ｘ＝５／８・・・答

　　　１０秒～３０秒くらい。

問題９．　円ｘ²＋４ｘ＋ｙ²－８ｙ＝０の半径。

　　　平方完成で標準形に直して、（ｘ＋２）²＋（ｙ－４）²＝２０。

　　　∴　（半径）＝√２０＝２√５　・・・・・・　答。１５秒くらいか。

問題１０．　７個のデータ、ｘ１～ｘ7の平均が１４、分散２の時、新たなデータ

　　　　　　　ｘ8＝１８を加えた８個のデータの分散。

　　　７個について、平均１４より、Σｘi＝７×１４＝９８。

　　　また、平均と分散の関係式より、

　　　２＝（１／７）Σｘi² －１４²　　∴　Σｘi² ＝ １３８６

　　　よって、８個について、Σｘi＝９８＋１８＝１１６。　

　　　∴　（平均）＝１１６／８＝２９／２

　　　∴　（分散）＝１／８Σｘi²－（２９／２）²

　　　　　　　　　　＝１／８（１３８６＋１８²）－８４１／４

　　　　　　　　　　＝７／２（＝３．５）　・・・・・・　答

　　　これは３分使ってもいいと思う。ここまで、前半は簡単だから、１５分以

　　　下で済ませたい所。後半はじっくり腰を落ちつけて。。

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　　問題１１．　左図でＤＥを求めよ。

　　ＤＥ＝ｘとおく。また、

　　∠ＥＢＣ＝∠ＥＣＢ＝（黒丸の角）

　　だから、ＥＢ＝ＥＣ＝ｙとおける。

　　△ＡＣＥ∽△ＣＤＥより、

　　ＡＥ：ＥＣ＝ＣＥ：ＤＥ

　　∴　９：ｙ＝ｙ：ｘ　　　∴　ｙ²＝９ｘ　・・・（１）

　　また、△ＡＢＥ∽△ＢＤＥより、ＡＢ：ＢＥ＝ＢＤ：ＤＥ

　　∴　１０：ｙ＝４：ｘ　　　∴　ｙ＝（５／２）ｘ　・・・（２）

　　（２）を（１）に代入して、　（２５／４）ｘ²＝９ｘ

　　ｘ（＞０）で両辺を割って、（２５／４）ｘ＝９　　　∴　ｘ＝３６／２５ ・・・答　

　　私が今回、一番迷った問題で、５分以上かけたかも。もっと簡単に解け

　　るだろうと思って、色々考えたのだ。未知数をｘだけにするのは簡単とし

　　て、他にもっとエレガントな図形的解法があるかも。。

問題１２．　ＡとＢが試合をして、先に４勝した方が優勝。各試合でＡが勝つ

　　　　　　　確率は１／３。引き分けなし。６戦目でＡが優勝する確率。

　　　（５戦目までＡが３勝２敗の確率）×（６戦目でＡが勝つ確率）

　　　　　　　　　　　＝｛5Ｃ3×（１／３）³×（２／３）²｝×１／３

　　　　　　　　　　　＝４０／７２９　・・・・・・答

　　　二項分布で１分ほどで済ませて、前の問題での動揺を鎮める♪

　　問題１３．　図の正方形で、Ｅは中点のとき、

　　　　　　　　　ｃｏｓθ。

　　１辺の長さを２としてもよい（一般性は保た

　　れる）。直ちに、ＢＤ＝２√２。ＢＥ＝√５。　

　　余弦定理で、

　　　　ｃｏｓθ＝｛（２√２）²＋（√５）²－１²｝／２×（２√２）×√５

　　　　　　　　＝３√１０／１０　・・・・・・答

　　　これも１分ほどで解答。ますます落ち着く♪

問題１４．　サンドウィッチを１個２４０円で売ると１日に２５０個売れる。１個

　　　　　　　１０円値上げすると、１日の売上個数は５個減る。売上金額を

　　　　　　　最大にする販売価格と、その時の売上。

　　　１個ｘ円とすると、（１日の個数）＝２５０－（５／１０）（ｘ－２４０）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝－（１／２）ｘ＋３７０

　　　∴　（１日の売上）＝－（１／２）ｘ²＋３７０ｘ

　　　　　　　　　　　　　　＝－（１／２）（ｘ－３７０）²＋６８４５０

　　　∴　（最大にする価格）＝３７０円，　（最大の売上）＝６８４５０円　・・・答

　　　１分半くらいか。これで完全復活♪

　　問題１５．　水平面に対して、２つの

　　垂直な壁を角θで配置。平面上で、

　　一方の壁と平行に球を打ち出す。

　　図１は真上から見た様子で、球の

　　大きさは考えない。また、図２のよう

　　に、入射角＝反射角。θ＝３０°の

　　時、球は壁で何回跳ね返るか。

　　摩擦力の話を書いてないけど、摩

　　擦ゼロの滑らかな平面と解釈する。

　　　球の進路を書き込めば、３回目で壁と垂直にぶつかることが分かる。

　　　よって、後は元の進路を逆に戻り、最後は壁と平行に進むだけ。

　　　∴　（跳ね返り回数）＝（前半２回）＋（中間１回）＋（後半２回）

　　　　　　　　　　　　　　　　＝５回　・・・・・・答

　　　一見、無限回の難問かと緊張するけど、３回ぶつけて解決。２分くらいか。

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　　問題１６．　図は１辺の長さ１の正

　　四面体で、ＤとＥは中点。ＰはＡＥ

　　を１：２に内分する点。ＯＱの長さ。

　　Ｏから下ろした垂線の足をＨとする

　　と、Ｈは△ＡＢＣの重心で、中線ＡＥを

　　１：２に内分する。

　　　よって、ＰＨ＝ＥＨだから、△ＯＰＨと△ＯＥＨは合同な直角三角形。

　　　∴　ＯＰ＝ＯＥ＝√３／２

　　　図形の対称性より、Ｄ，Ｑ，Ｅが一直線上にあるのは明らかだから、

　　　メネラウスの定理より、

　　　　（ＯＤ／ＤＡ）・（ＡＥ／ＥＰ）・（ＰＱ／ＱＯ）＝１

　　　∴　（１／１）・（３／２）・（ＰＱ／ＱＯ）＝１

　　　∴　ＰＱ／ＱＯ＝２／３

　　　∴　ＯＱ＝（３／５）ＯＰ＝（３／５）√３／２＝３√３／１０　・・・・・・答

　　　実際には反射的に、空間ベクトルの１次独立や内積で計算したけど、

　　　ここでは中学の図形みたいに解いてみた。答を出すだけだから、この

　　　方が速いと思う。これが２番目に迷う問題で、４分使ってもいい。

問題１７．　ｙ＝－２ｘ－１と、これに接する２曲線、ｙ＝ｘ²とｙ＝ｘ²－４ｘとで

　　　　　　　囲まれた図形の面積

　　　－２ｘ－１＝ｘ²を解いて、最初の接点は、ｘ＝－１。

　　　－２ｘ－１＝ｘ²－４ｘを解いて、もう１つの接点は、ｘ＝１。

　　　また、２曲線の交点では、ｘ²＝ｘ²－４ｘより、ｘ＝０。　　　

　　　∴　（面積）＝∫（ｘ²＋２ｘ＋１）ｄｘ　　（－１≦ｘ≦０）

　　　　　　　　　　　　＋∫（ｘ²－２ｘ＋１）ｄｘ　　（０≦ｘ≦１）

　　　　　　　　　　＝〔（ｘ＋１）³／３〕　　（－１≦ｘ≦０）

　　　　　　　　　　　　＋〔（ｘ－１）³／３〕　　（０≦ｘ≦１）

　　　　　　　　　　＝２／３　・・・・・・答

　　　簡単な積分だけど、３分使っても大丈夫。

問題１８．　数列｛Ａn｝の初項から第ｎ項までの和Ｓnがｎ²＋２ｎ＋１の時、Ａｎ。

　　　Ａ₁＝Ｓ₁＝４　・・・・・・答の前半

　　　ｎ≧２の時、Ａn＝Ｓn－Ｓn⁻₁

　　　　　　　　　　　　＝ｎ²＋２ｎ＋１－（ｎ－１）²－２（ｎ－１）－１

　　　　　　　　　　　　＝２ｎ＋１　・・・・・・答の後半

　　　Ａ₁だけ特別扱いにするのを忘れがちな所。その確認も含めて１分半。

問題１９．　（７の１５乗）の桁数と、最高位の数字。ただし、ｌｏｇ₁₀２＝０．３０１０、

　　　　　　　ｌｏｇ₁₀３＝０．４７７１、ｌｏｇ₁₀７＝０．８４５１。

　　　１０の２乗で３桁、１０の３乗で４桁になるから、「７の１５乗」が１０の何乗

　　　かを考える。つまり、底１０の常用対数を使えばよい。

　　　ｌｏｇ₁₀（７の１５乗）＝１５ ｌｏｇ₁₀７＝１５×０．８４５１＝１２．６７・・・

　　　よって、桁数は１３桁。　・・・・・・答

　　　また、最高位の数字は、（１０の０．６７・・・乗）の１桁目。

　　　ここで、ｌｏｇ₁₀４＝２ｌｏｇ₁₀２＝０．６０２　　　∴　（１０の０．６０２乗）＝４

　　　また、ｌｏｇ₁₀５＝ｌｏｇ₁₀（１０／２）＝ｌｏｇ₁₀１０－ｌｏｇ₁₀２＝０．６９９

　　　∴　（１０の０．６９９乗）＝５

　　　したがって、（最高位の数字）＝（１０の０．６７・・・乗の１桁目）＝４　・・・答

　　　普通の高校生にとってはやや難問だろうけど、参加者なら２分前後か。

問題２０．　ｘ³－３ｘ²－２１ｘ－ａ＝０の異なる実数解の個数が２個となる定数ａ。

　　　曲線 ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｘ³－３ｘ²－２１ｘ と直線 ｙ＝ａが、極大点や極小点で接す

　　　る場合を考えればよい。極大値と極小値が、求めるａ。

　　　ｆ´（ｘ）＝３（ｘ²－２ｘ－７）

　　　　　　　＝３｛ｘ－（１－２√２）｝｛ｘ－（１＋２√２）｝

　　　（極大値）＝ｆ（１－２√２）＝－２３＋３２√２

　　　（極小値）＝ｆ（１＋２√２）＝－２３－３２√２

　　　∴　ａ＝－２３±３２√２　・・・・・・答

　　　極値の計算はそのままやってもいいし、ｆ（ｘ）の式をｘ²－２ｘ－７で割った

　　　式を利用してもいい。

それでは、本戦出場者の健闘と盛会を祈りつつ、今日はこの辺で♪☆彡

Ｐ．Ｓ．　数学検定ｔｗｉｔｔｅｒによると、決勝の課題テーマは「同音異義」。同音

　　　　　意義語をキーワードにした問題を作成したとの事。優勝は神戸女学

　　　　　院高等学部Ｐｒｉｍｅチーム。神戸は、学年の若いＷＳＩＯチームもベ

　　　　　ストホープ賞を受賞。どうも、おめでとう☆

ｃｆ．　数学甲子園２０１６予選、全２０問の問題、解き方、感想

　　　数学甲子園２０１４準々決勝、全問コメント＆問題１０の解答・別解

　　　数学甲子園２０１３予選のポイント、問題１５の解説＆解答

　　　数学甲子園２０１２、予選問題＆３日ぶりのラン、まだ暑い・・

　　　数学の甲子園、全国数学選手権の問題にチャレンジ☆ 　（２０１１）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　４５４９字）

　　　　　　　　　　　　　（追記　８９字　；　合計　４６３８字）