ブール代数とハンチントンの公理系（英語原論文）

ブールが１８１５年に生誕して、今年（２０１５年）で２００周年。先日は Ｇｏｏｇｌｅ

のホリデーロゴとしても使われていた。１と０を使った簡単で特殊なデジタル

計算である「ブール代数」は、今現在、コンピューター、電子回路、情報関連

の基礎として教えられることが多いようだ。

記号の書き方は色々あるが、ここでは、「´」（ダッシュ ： 文字の上の横棒の代

わり）、「×」、「＋」を使って、まず簡単に基本的な計算法則を示しとこう。ちな

みに、×や＋は、普通の算数・数学における意味とは違う（ずれている）ので

念のため。「＝」（等号）については、算数・数学と同様としておく。

　　（１項演算）　１´＝０，　０´＝１　　　　　

　　（２項演算）　１＋１＝１，　１＋０＝１，　０＋１＝１，　０＋０＝０

　　　　　　　　　　１×１＝１，　１×０＝０，　０×１＝０，　０×０＝０

　　（計算例）　（（１×１）＋１）´＝（１＋１）´＝１´＝０

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こうした議論を最初に提示したのは、１９世紀の英国の数学者、ジョージ・ブー

ル（Ｇｅｏｒｇｅ　Ｂｏｏｌｅ）だとされているが、本当に彼が最初なのかどうかは、考

察し直す価値のある歴史的問題だと思う。一応ここでは慣例や通説に従い、

「ブール代数」（ｂｏｏｌｅａｎ　ａｌｇｅｂｒａ）と呼んでおく。

ブールの重要な論文２本（１８４７年、１８５４年）の内、先に公開されたのが

　　「Ｔｈｅ　Ｍａｔｈｅｍａ

　　ｔｉｃａｌ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　

　　Ｏｆ　Ｌｏｇｉｃ」。左は

　　グーテンベルクで

　　公開中の原論文か

　　らのコピペだ。

　　これを読むと、ブー

　　ルの主たる関心は

　　計算やその応用とい

　　うより、論理、あるい

は演繹的推論だと分かる。つまり、真と偽、２つのみを命題の性質と考える

「二値論理」に関する哲学を行ってるわけで、そのための新たな道具、分析

方法が、ブール代数という計算体系なのだ。

例えば、「真の命題の否定は、偽の命題」。つまり、「ノット・真は、偽」、「ｎｏｔ

真＝偽」。これを、「１´＝０」などと表記する。

また、「真の命題と真の命題を『または』で結合すると、真の命題」。つまり、

「真オア真は、真」、「真∨真＝真」。これを、「１＋１＝１」などと表記する。

さらに、「真の命題と真の命題を『かつ』で結合すると、真の命題」。つまり、

「真アンド真は、真」、「真∧真＝真」。これを、「１×１＝１」などと表記する。

そして、それらを基本法則として、人間の論理的思考をとらえていくわけだ。

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「ブール代数」という言葉が最初に示唆（ｓｕｇｇｅｓｔ）されたのは、ハンチント

ンによると、１９１３年とされているらしい（英語版ウィキペディア）。

しかしそれ以前に、洗練された公理体系を提示したのは彼自身であって、そ

の事はあまり話題にならないし、英語の原論文の内容まで参照した日本語

サイトは、検索しても見当たらない。これは過去、ペアノ、フレーゲ、ベルトラン、

ナッシュなどの時にも見られた状況だ。

エドワード・ハンチントン（Ｅｄｗａｒｄ　Ｈｕｎｔｉｎｇｔｏｎ）の１９０４年の論文、「Ｓｅｔｓ

Ｏｆ　Ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　Ｐｏｓｔｕｌａｔｅｓ　Ｆｏｒ　Ｔｈｅ　Ａｌｇｅｂｌｒａ　Ｏｆ　Ｌｏｇｉｃ」（論理の

代数のための、独立した要請の集合）は、ＪＳＴＯＲで公開されてる。

これを読むと、ブール自身とは多少異なり、ハンチントンの関心はむしろ数学

にあるようだ。彼は、ブール代数のためのいわゆる「公理系」（独立した要請

の集合）として、３種類を提示している。だからこそ、論文タイトルでは複数形

の英単語を用いて「Ｓｅｔｓ」（諸集合）としてるわけだ。

３種類の内、最初に挙げられてるものが最も分かりやすいので、ブール代数

の基本とされたり、「ハンチントンの公理系」などと呼ばれたりしている。以下、

原論文の内容を見てみよう。

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上のコピペが、１０個の要請（基本的命題）の内の、最初の７個。記号の使い

方が特殊だが、現在の簡単な記号と用語を用いて、簡単に解説してみよう。

英文の直訳ではないので、念のため。

集合（ｃｌａｓｓ）Ｋに対して、２種類の２項演算＋、×を考える。

Ⅰａ、Ⅰｂ　　Ｋの任意の要素ａ、ｂに対して、ａ＋ｂとａ×ｂもＫの要素。

　　　　　　　　（注．　以下すべてＫ内で考え、「任意の」は省略。）

Ⅱａ　　０という要素が存在して、 ａ＋０＝ａ。

Ⅱｂ　　１という要素が存在して、 ａ×１＝ａ。

Ⅲａ　　ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ

Ⅲｂ　　ａ×ｂ＝ｂ×ａ

Ⅳａ　　ａ＋（ｂ×ｃ）＝（ａ＋ｂ）×（ａ＋ｃ）

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続いて、残りの３個の要請について。

Ⅳｂ　　ａ×（ｂ＋ｃ）＝（ａ×ｂ）＋（ａ×ｃ）

Ⅴ　　　１と０が、それぞれただ一つ存在するなら、ａに対してａ´という要素が

　　　　存在して、　ａ＋ａ´＝１、　ａ×ａ´＝０

Ⅵ　　少なくとも２つの異なる要素が存在する。

上の全てに関して、＋と×、１と０を同時に入れ替えた命題も正しいという、

「双対性」（そうついせい：ｄｕａｌｉｔｙ）が成立している。

以上をいわゆる「公理系」としてまとめる時は、Ⅱ～Ⅴの４種類を挙げるのが

普通のようだ。

　　　１　　　単位元（の法則）

　　　２　　　＋と×の交換法則

　　　３　　　分配法則

　　　４　　　補元（の法則）

ちなみに補元もただ一つだが、それは証明できること、つまり独立ではない事

なので、Ｖでは強調されてない。単に不定冠詞を付けて書いている。あと、元の

Ⅴ（現在の４）は、「排中律」（～であるか、～でないか、どちらかだ）と「矛盾律」

（～であり、かつ、～でない、ということはない）とも解釈できるものだ。

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最後に２問だけ、具体的問題を解いてみよう。要請（または公理）を用いた定

理の証明だ。

　（１）　ａ×０＝０の証明

　　　　　　　ａ×０＝ａ×０＋０　　　　　　（∵　Ⅱａ　：　単位元）

　　　　　　　　　　 ＝ａ×０＋ａ×ａ´　　　（∵　Ⅴ　：　補元）

　　　　　　　　　　 ＝ａ×（０＋ａ´）　　　　（∵　Ⅳｂ　：　分配法則）

　　　　　　　　　　　＝ａ×（ａ´＋０）　　　　（∵　Ⅲａ　：　交換法則）

　　　　　　　　　　　＝ａ×ａ´　　　　　　　　（∵　Ⅱａ　：　単位元）

　　　　　　　　　　　＝０　　　　　　　　　　　（∵　Ⅴ　：　補元）

　（２）　ａ×（ａ＋ｂ）＝ａの証明　　（第一吸収法則の片方）

　　　　　　ａ×（ａ＋ｂ）＝（ａ＋０）×（ａ＋ｂ）　　　　（∵　Ⅱａ　：　単位元）

　　　　　　　　　　　　　＝ａ＋（０×ｂ）　　　　　　　　（∵　Ⅳａ　：　分配法則）

　　　　　　　　　　　　　＝ａ＋（ｂ×０）　　　　　　　　（∵　Ⅲｂ　：　交換法則）

　　　　　　　　　　　　　＝ａ＋０　　　　　　　　　　　　（∵　（１）　）

　　　　　　　　　　　　　＝ａ　　　　　　　　　　　　　　　（∵　Ⅱａ　：　単位元）

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　

その他の吸収法則や、反復法則、二重否定法則、結合法則、ド・モルガンの

法則なども証明できる。そうした普通の計算については、既に様々な所で書

かれていることでもあり、ここでは省略しよう。

上の（２）のように、式を簡単化する操作は、工学的な実用性も合わせ持つテ

クニックであって、いずれ別記事を書くかも知れない。その前に、より基本的

な式変形として、連言（かつ）や選言（または）の「完全標準形」を説明するべき

だろう。

なお、今週は計１７０８０字となった。それでは、また来週。。☆彡

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２６７８字）