ニコリ作のパズル「迷路」、数学的な解き方(朝日新聞be、難易度3)
試しに今日の記事も、スマホ用に1行の字数を減らしてみ
よう。朝日新聞・朝刊、土曜別刷beに連載されてるニコリ
作のパズルについては、今まで30本ほど解説記事をアッ
プして来た。
特に「絵むすび」はアクセスが多いので、解き方を詳しく説
明して来たけど、「迷路」はたった一度、少し書いただけ。
それ以降、そもそも問題さえ見てなかった。
『ワッツ』、ニコリの迷路、大阪女子マラソン、27km走
今回(2015年12月12日)の問題はたまたま目に留まっ
て、論理的・数学的にキレイに解けるので、3年ぶりに記
事をアップしてみよう。
もちろん私自身も最初は、適当に線をつないで試行錯
誤して解いてるし、その方が遥かに速い。ただ、それで
は他に「別の答」があるかも知れないし(問題作成ミス)、
難易度が上がると通じないはず。ちゃんと筋道立てて
解けば、算数や数学の脳トレにもなるし、唯一の答を
きっちり証明できるのだ。。
☆ ☆ ☆
著作権に配慮して、まずは
迷路の左上、スタート地点
(S)あたりを手書きしてみ
た。壁が複雑な迷路を作っ
てるけど、細かい曲がり角
はどうでもよくて、点と線の
つながりだけ見ればいい。
そうすると、実は左のような一筆
書きに似たシンプルな図形にな
る。単純化、簡単化、抽象化と
言ってもいいし、難しい言葉を使
うなら、広い意味で「トポロジー」
(位相幾何学)と言ってもいい。
結局、大きな迷路の全体図は、下のような図形と同等だ。
左上のSがスタート、右下のGがゴール。青線が道で、赤
丸がミカン。青点は道同士の交差点だけど、点を強調す
るのを忘れた所もある♪
ルールは、スタートからゴールまで、ミカンを全部通って行く
こと。道もミカンも、同じ所は一度しか通れない。応募用の答
は、ゴールから左上に2つ進んだ所のミカン(元の図だと葉っ
ぱ付き)を何番目に通ったか。スタートを1番にして数える。。
☆ ☆ ☆
すべての道を通る必要はないから、一筆書きと同じではな
いけど、「偶点」、「奇点」という理論的ポイントは同じこと。
まず、簡単な一筆書きで復習しとこう。
左の三角形の場合、例えば上か
らスタートして上でゴールすれば
描ける。この時、すべての点に、
2本の線がつながってる。
要するに、線が点に入って
出るから2本。一般には4本
とか6本とか、偶数本。つまり、スタート(始点)とゴール
(終点)が同じ図形の場合、すべての点が「偶点」となる。
一方、左の図形の場合、左
端の点からスタートして右端
の点でゴールすればいい。
この時、スタートとゴールだ
けは3本の線がつながって
る。一般には、5本とか7本
とか、奇数本。つまりスター
ト(始点)とゴール(終点)が違う図形の場合、それら2つ
だけ「奇点」で、他は全て「偶点」。
☆ ☆ ☆
基本を確認した所で、迷路に戻ろう。ゴールとスタートは別
として、1つの点から2本の線しか出てない時は、その線を
必ず通るから太く塗りつぶす。ただし、隣の点でストップ。
1本の点から3本の線が出てる時、もし2本を通ることが先
に決定すれば、残りの1本は通らない。だからバツ印(×)
を付けて、右上あたりのルート(経路)がほぼ出来上がる。
応募締切が水曜(12月16日)の午前0時だから、いつ
ものように、それまで少しずつ記事を更新する予定。こ
の後は、右上あたりを順に完成させて、右下から左下
へと描き進めればいい。勘は不要。理詰めで解ける。
次の更新は明日(14日)の夜の予定。ではまた。。☆彡
それでは現在、14日の22時半になったから、もう少し
先に進めよう。通らない線にバツ印を付けて、通る線を
太く塗りつぶしていくと、下図のようになる。1つの点に
出入りする線は2本。これだけを守り続ければいい。
次の更新は明日(15日)の夜の予定。ではまた ☆彡
☆ ☆ ☆
15日の23時半、締切前の最後の更新。残りはもう、
左端だけとなった。最後の更新は19日、新聞で発表
された後にしよう。
現在、19日になって、新聞発表も完了したので、
あと2枚の図をプラスして終わりにする。
一番最後、左上のスタート地点からの線は、右
向きか下向きか、場合分けして考えるしかない。
ではまた。。☆彡
cf. 3種類の絵だけ通る迷路(難易度4、16年7月2日)
(計 1709字)
(追記 28字 ; 合計 1737字)
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