分数の群数列、一般項と和～２０１６センター試験・数学ⅡＢ・第３問

２０１６年度（平成２８年度）の大学入試センター試験については、既に２本

記事をアップ。どちらもそれなりにアクセスが入ってる。

　キャラ化されない戦後の人々、佐多稲子『三等車』～国語　　　

　データ分析（相関の強弱，変数変換と共分散）～数学ⅠＡ・第２問

ただ、数学ⅠＡよりⅡＢの方が平均点が低くて標準偏差が大きい（＝バラ

ついてる）し、当サイトは数学系の記事を多めにしてるので、今年はもう１

本アップしとこう。数学ⅡＢの選択問題に入ってた、第３問の群数列。

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各項が先頭から何個かずつ集まって、規則的な群（グループ）をなしてる

数列だ。簡単な例なら、｛１，１，２，１，２，３，１，２，３，４，・・・｝とか。これ

は以下の問題の分子だけを取り出した数列。第１群は１だけ、自然数１コ。

第２群は１から２まで、自然数２コ。第ｎ群なら、１からｎまで、自然数ｎコだ。

たまたま先日、路線バスに乗ったら、前の席の高校生たちがこれについ

て「わかんないから適当に数字当てはめといた」とか話してたから、試し

に後で解いてみた。

群数列のタイプとしては平凡だけど、設問の流れが私の考え方と微妙に

違うから、少しやりにくい感じはあった。でも、自分で出した答をチェックす

るのは簡単だし、数列を作る真分数は、分母も分子も自然数を小さい順

に並べただけ。

まあ、最初の分母が２になってる点で間違えやすいし、最後の問いがちょっ

とヒネったものだから、標準問題の上の方。中の上といった感じだろう。そ

もそも、群数列は苦手な人が多いから、この問いだけの平均点も低めだと

推測する。（２）の最初でつまずくと、２０点中の４点になってしまうのだ。。

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では、問題について。まず冒頭だけ、日経新聞ＨＰからコピペさせて頂こう。

真分数が、 1/2，1/3，2/3，1/4，2/4，3/4，・・・と並んでる。（１）の最初

の問いは、　a15 は何か。既に７コ書かれてるから、続けてあと８コ自分

で具体的に書けばいい。一般論に向かう前のウォーミングアップになる。

　　2/5，3/5，4/5，1/6，2/6，3/6，4/6，5/6　　　答は、 5/6 。

次は、分母に始めて８が現れる項は何番目か。あと少しだから、これも

書き並べて、確実に点を稼ぐ所。楽だし、時間もかからない。

　　1/7，2/7，3/7，4/7，5/7，6/7，1/8　　　答は、ａ 22 。

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続いて、（２）。２以上の自然数ｋに対して、１／ｋが初めて現れる項を

第Ｍ k項、（ｋ－１）／ｋが初めて現れる項を第Ｎ k項として、それぞれ

をｋで表せ。

要するに、第ｋ－１群の最初と最後が、｛ａ n｝の第何項かを問う問題。個

人的には、やりにくい誘導だなと感じた。「第ｍ群の最初、最後、項数は

？」などと誘導して欲しい所。あと、「初めて現れる」という言い方も引っ掛

かる所。間違ってないけど、実際は１度しか現れないのだから。

１／ｋが現れる直前までに、分母が２の項が１コ、分母が３の項が２コ、・・・、

分母がｋ－１の項がｋ－２コある。合計で、

　　　１＋２＋・・・＋（ｋ－２）＝（ｋ－１）（ｋ－２）／２

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（1/2）ｋ²－（3/2）ｋ＋1　コ。

よって、１／ｋが初めて現れる項を第Ｍ k項とすると、

　　　Ｍ k＝ （1/2）ｋ²－（3/2）ｋ＋2

一方、（ｋ－１）／ｋが初めて現れるまでの項数は全部で、

　　　１＋２＋・・・＋（ｋ－１）＝ｋ（ｋ－１）／２

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（1/2）ｋ²－（1/2）ｋ　コ。

これが Ｎ kを表してる。

さらに、ａ104 はいくつか。分母がｋとすると、

　　　Ｍ k ≦ １０４ ≦ Ｎ k　より、

　　（1/2）ｋ²－（3/2）ｋ＋2 ≦ １０４ ≦ （1/2）ｋ²－（1/2）ｋ

これをみたす自然数ｋの値は１５。

Ｍ kとＮ kの式より、1/15は第９２項。14/15は第１０５項。

よって、ａ104 ＝ 13/15 。

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最後に、（３）。第Ｍ k項から第Ｎ k項までの和はいくつか。分母はｋ。

　（分子だけの和）＝１＋２＋・・・＋（ｋ－１）

　　　　　　　　　　　　＝ｋ（ｋ－１）／２

　∴　（分数の和）＝（ｋ－１）／２

　　　　　　　　　　　＝（1/2）ｋ－1/2　。

　∴　（数列｛ａ n｝の初項から第Ｎ k項までの和）

　　　＝ Σ｛（1/2）ｉ－1/2｝　　（ 2 ≦ ｉ ≦ ｋ ）

　　　＝（ｋ＋2）（ｋ－１）／4 －（ｋ－１）／2

　　　＝（1/4）ｋ²－（1/4）ｋ

　∴　Σａ n　（ 1 ≦ ｎ ≦ 103 ）

　　　＝（初項から第Ｎ15項までの和）－14/15－13/15

　　　＝ 210/4－14/15－13/15

　　　＝ 105/2－27/15

　　　＝（1575－54）/30

　　　＝ 507/10

変数が２から始まるΣ（シグマ）の計算は、普通の公式が使えないので、

具体的に数を書き並べて考えることになる。

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　データ分析（四分位数、箱ひげ図、相関係数～２０１５センター数学

　　　データ分析２～２０１５センター追再試験・数学ⅠＡ・第３問

　　　２０１４センター試験、数学Ⅱ・Ｂ

　　　　　　　　　　　　　　　～第３問（数列の漸化式）、問題込みの解答・感想

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　１９８９字）