データ分析（相関の強弱，変数変換と共分散）～２０１６センター試験・数学ⅠＡ・第２問

（☆追記：　関連記事をアップ。

　　分数の群数列、一般項と和～２０１６センター数学ⅡＢ・第３問　）

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２０１６年度（平成２８年度）のセンター試験、数学Ⅰ・Ａ。今回も、まだ目新し

い分野であるデータ分析に注目してみよう。「変化球」が少し入ってるので、

平均点の動きはともかく、満点の受験生が減ったかも知れない。トップクラ

スの受験生の一部は今頃、悔しがってるかも。

たまたま今日は、大荒れの天気と重なったので、ブログに回す時間がかな

り削られてしまった。交通機関の乱れが心配なので、サラッと解説して終わ

りにする。

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まず、第２問の〔２〕。１０年間、１２０ヶ月の月別データで、アイスクリームの

平均購入額の変化を見る面白い問題だ。横軸の変数は、平均最高気温、

１日あたり平均降水量、平均湿度、２５度以上の日数の割合。グラフのみ、

東進ＨＰからコピペさせて頂こう。

４つの散布図から読みとれるのは、

　　０番：　平均最高気温が高くなるほど購入額は増加　（左上図より）

　　３番：　２５℃以上の日数の割合が８０％未満の月は、購入額が

　　　　　　３０円を超えていない　（右下図より）

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続いて、〔３〕（１）。東京、Ｎ市、Ｍ市の、１年・３６５日の最高気温データ

について、ヒストグラムと箱ひげ図の関係を見る。

Ｎ市のヒストグラムだけ左端まであるから、左端にひげが伸びてるｂと対応。

Ｍ市のヒストグラムだけが４０度超まであるから、最も右にひげが伸びてるａ。

東京のヒストグラムは、残ったｃと対応。

大まかな特徴だけで解くことで、時間を節約できる。

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さらに、〔３〕（２）。東京の最高気温データを基本にして、Ｏ市、Ｎ市、Ｍ市と

の相関を散布図で読み取る。

正しいのは、次の２つ。

　　１番：　東京とＮ市は正の相関（右上がりだから）。

　　　　　　東京とＭ市は負の相関（右下がりだから）。

　　３番：　東京とＯ市の相関の方が、東京とＮ市の相関より強い

　　　　　　（Ｏ市との図の方が、散らばりが少なくて線状のキレイな

　　　　　　右上がりだから）。

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そして、メインイベントの（４）。Ｎ市では温度の単位として、摂氏（℃）の他

に華氏（゜Ｆ）も使われてる。華氏だと、（摂氏の温度）×（９／５）＋３２。要

するに、ｙ＝ａｘ＋ｂの形の変換。さて、Ｎ市の分散、東京との共分散、東京

との相関係数はどう変化するか？

まず、分散はａ²倍。つまり、（９／５）²＝（８１／２５）倍になる。要するに、分

散で和を取る時の各項がａ²倍になるからである（ｂ、つまり３２は消える）。

次に、東京との共分散だと、東京は摂氏のままで１倍、Ｎ市だけが華氏に

変換されるから、単なるａ倍。つまり（９／５）倍になる。

要するに、共分散で和を取る時の各項目（積）が１×ａ倍になるからである

（ｂは消える）。

最後に、東京との相関係数は変わらず、１倍になる。なぜなら、

　　　相関係数＝共分散／（標準偏差の積）

　　　　　　　　　＝共分散／｛√（東京の分散）×√（Ｎ市の分散）｝

で、分子も分母もａ倍、つまり（９／５）倍になるから、分子を分母で割った

分数は１倍になる。

ちなみに、分母だけ更に説明すると、√１²×√（９／５）²倍で、（９／５）倍。

データが２組だけで、簡単な自然数の例を考えて計算すると、納得しや

すい。その後、文字を使った定義式で考えてみればいい。

時間切れなので、今日はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　データ分析（四分位数、箱ひげ図、相関係数～２０１５センター数学

　　　データ分析２～２０１５センター追再試験・数学ⅠＡ・第３問

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　キャラ化されない戦後の人々、佐多稲子『三等車』～２０１６センター国語

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　１４８７字）