素数の素数乗の和が素数～２０１６京大（理系）数学第２問、感想と解答

毎度の事ながら、忙しい時ほど遊びたくなる♪　バタバタと追われる中、ちょっと

ネットを飛び回ってたら、たまたま京大の入試問題が面白いとかいう話が目に

入って来た。

早速、検索で確認して、シンプルで面白そうな素数問題にチャレンジ。無事、理

屈通りに解けたので、記事にしとこう。私は何も見ずに自力で解いて、答だけ

河合塾のＨＰで確認。解き方や書き方は大幅に違うけど、答は合ってた。論理

的にも戦略的にも、正しいものの一例だと思う。

　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

まずは問題文だけ、自分でワードで打ち直して貼り付けとこう。

２０１６年の理系・第２問、配点３０点。全体では６問で２００点満点だから、

これはウォーミング・アップ用のサービス問題ということか♪　式も簡単な

対称形で、美しい。

まず、「すべて求めよ」という設問を見てすぐ、「数個～１０個前後しかない

んだろうな」と予想。文字式で無数の答を表すのかも知れないけど、過去の

経験と直感から、かなり小さい数が数個あるだけだろうと思った。そうでな

いと、問題作成者やチェック係、採点者の先生も面倒くさいはず♪

最初はノートもペンも使わず、暗算でいくつか計算してみる。小さい素数から、

つまり簡単な場合から試して、法則やパターンを発見するのがセオリー。

　（２の３乗）＋（３の２乗）＝１７　　　これは素数。

いきなり１個見つかったけど、その後はなかなか見つからない。

　（２の５乗）＋（５の２乗）＝５７　　これは３の倍数だからダメ。

　（２の７乗）＋（７の２乗）＝１２８＋４９＝１７７　　これも３の倍数でダメ。

　（２の１１乗）＋（１１の２乗）＝２０４８＋１２１＝２１６９　　３の倍数でダメ。

素数ｐ，ｑの一方が２だと、他方が５以上なら和が３の倍数になって素数では

なくなるのかな、と予想できる。つまり、２の相手は３しかないのかも。

続いて、素数が２つとも奇数の場合、和が偶数になってダメ。例えば、

　　（３の５乗）＋（５の３乗）＝２４３＋１２５＝３６８　

以上から、ｐ，ｑの片方は２として、他方は３しかないのかも・・・と推測。ここ

までは暗算だが、ここからノートとボールペンを使用。数学的帰納法を強引

に使うと、わりとあっさり証明できた。それでは以下、解答例を示そう。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

（１）　ｐ，ｑが共に奇数の素数（３以上）の場合

　　　ｐのｑ乗は奇数であり、ｑのｐ乗も奇数。

　　　よって、与式の和は偶数となり、２より大きいのも明らか。

　　　したがって、その和は少なくとも、１、２、和自身という３つの正の約数

　　　を持つので、素数ではない。

（２）　ｐ，ｑが共に２の場合

　　　　（２の２乗）＋（２の２乗）＝８　　　これは素数ではない。

（３）　ｐ，ｑの一方のみが２の場合

　　　ｐが２だと仮定して、一般性を失わない。

　　　（ａ）　ｑ＝３の時

　　　　　　　（与式）＝（２の３乗）＋（３の２乗）＝１７

　　　　　　これは素数なので、答の１つである。

　　　（ｂ）　ｑが３より大きい時

　　　　　　　このｑは素数だから、２では割れないし、３でも割れない。

　　　　　　　よって、６で割った余りに注目して、さらに２通りに細分する。

　　　　　（ア）　ｑ＝６ｎ＋１　（ｎ＝１，２，・・・）の時

　　　　　　　　　「与式は３より大きい３の倍数であって、素数でない」

　　　　　　　　　という命題を、数学的帰納法で証明する。

　　　　　　　　　ｎ＝１、つまりｑ＝７の時、

　　　　　　　　　（与式）＝（２の７乗）＋（７の２乗）＝１７７　　命題は正しい。

　　　　　　　　　ｎ＝ｋ（≧１）で上の命題が正しいと仮定すると、

　　　　　　　　　｛２の（６ｋ＋１）乗｝＋｛（６ｋ＋１）の２乗｝

　　　　　　　　　＝｛２の（６ｋ＋１）乗｝＋３６ｋ²＋１２ｋ＋１＝３ｍ　（ｍは自然数）

　　　　　　　　　ｎ＝ｋ＋１の時、

　　　　　　　　　（与式）＝｛２の（６ｋ＋７）乗｝＋｛（６ｋ＋７）の２乗｝

　　　　　　　　　　　　＝６４｛２の（６ｋ＋１）乗｝＋３６ｋ²＋８４ｋ＋４９

　　　　　　　　　　　　＝６４・３ｍ－６４（３６ｋ²＋１２ｋ＋１）＋３６ｋ²＋８４ｋ＋４９

　　　　　　　　　　　　＝３｛６４ｍ－１２・６３ｋ²－２２８ｋ－５｝

　　　　　　　　　これは３の倍数であり、与式の最初の変形を見ると３より大き

　　　　　　　　　いのは明らか。よって、ｎ＝ｋ＋１の場合にも命題は正しい。

　　　　　　　　　以上より、すべての自然数ｎに対して、命題は正しい。

　　　　　　　　　したがって、ｑ＝６ｎ＋１の形はあり得ない。

　　　　　（イ）　ｑ＝６ｎ－１　（ｎ＝１，２，・・・）の時

　　　　　　　　（ア）と同様、「与式が３の倍数で、素数でない」という命題を示す。

　　　　　　　　　ｎ＝１、つまりｑ＝５の時、

　　　　　　　　（与式）＝（２の５乗）＋（５の２乗）＝５７　　命題は正しい。

　　　　　　　　　ｎ＝ｋ（≧１）で命題が正しいと仮定すると、

　　　　　　　　｛２の（６ｋ－１）乗｝＋｛（６ｋ－１）の２乗｝

　　　　　　　　　＝｛２の（６ｋ－１）乗｝＋３６ｋ²－１２ｋ＋１＝３ｍ　（ｍは自然数）

　　　　　　　　ｎ＝ｋ＋１の時、

　　　　　　　　（与式）＝｛２の（６ｋ＋５）乗｝＋｛（６ｋ＋５）の２乗｝

　　　　　　　　　　　　＝６４｛２の（６ｋ－１）乗｝＋３６ｋ²＋６０ｋ＋２５

　　　　　　　　　　　　＝６４・３ｍ－６４（３６ｋ²－１２ｋ＋１）＋３６ｋ²＋６０ｋ＋２５

　　　　　　　　　　　　＝３｛６４ｍ－１２・６３ｋ²＋２７６ｋ－１３｝

　　　　　　　　　これは３の倍数であり、与式の最初の変形を見ると３より大き

　　　　　　　　　いのは明らか。よって、ｎ＝ｋ＋１の場合にも命題は正しい。

　　　　　　　　　以上より、すべての自然数ｎに対して、命題は正しい。

　　　　　　　　　したがって、ｑ＝６ｎ－１の形もあり得ない。

以上、（１）（２）（３）より、素数ｐ，ｑの組合せは２と３しかない。

したがって、与式の和の素数は、１７のみである。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｑ．Ｅ．Ｄ．　証明終了）

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　

なお、実戦ではもちろん言葉や式を省略する。例えば（３）（ｂ）（イ）は、減点覚

悟で「（ア）と同様」で済ませるとか。

河合塾の手書きの解答例は、剰余系の議論の基本である「ｍｏｄ」や合同式を

使用してるが、減点されないのかどうかは不明。私の高校の授業や教科書で

は、教えられてない。大学入試だと、軌跡と領域でたまに使う包絡線と同様、

ビミョーな技だと思う。ただし、レベルの高い塾や予備校ではフツーに教えるし、

レベルの高い大学なら許容されそうな気はする。

　（☆追記：　私が誤解してたと判明。下のコメント欄を参照。新課程の数学Ａの

　　　　　　　　教科書で、整数の「発展」的内容とされてた。）

いずれにせよ、実験、推測、場合分け、帰納法といった、高校数学の基本だけ

で解けるのは確かで、私はそれしか使ってない。時間と文字数は使ってるが♪

それでは今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２４６５字）