数学甲子園２０１５準々決勝、全問コメント＆解き方

（☆１６年１０月９日の追記：　関連する最新記事をアップ。

　　数学甲子園２０１６予選、全２０問の問題、解き方、感想　）

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去年・秋の数学甲子園２０１５。準々決勝の問題の発表が遅いな・・と思ってた

ら、ここ半月くらいの間に（？）ようやくアップされたようだ。半年以上遅れたの

は、２０１６年から競技内容変更ということで忙しかったからか。

去年の応募要項が見当たらないけど、手元に保存してた２０１４年と比べると、

変更点は要するに、本選の流れを少し簡略化して、創作問題とプレゼンテー

ションをより重視するようになったってことだろう（多分）。

たまたま私は今、ひどい風邪に苦しんでる所だから、きっちりした模範解答は

省略。全１５問のコメントと解き方を簡単にまとめるだけにしよう。問題と答の

数値は、日本数学検定協会の公式サイトにあるので、そちらをご覧あれ。一

部の図のみ、縮小コピペさせて頂いた。

ちなみに、過去の関連記事は以下の通り。

ｃｆ．　数学甲子園２０１５予選、全２０問の問題、解き方、感想

　　　数学甲子園２０１４準々決勝、全問コメント＆問題１０の解答・別解

　　　数学甲子園２０１３予選のポイント、問題１５の解説＆解答

　　　数学甲子園２０１２、予選問題＆３日ぶりのラン、まだ暑い・・

　　　数学の甲子園、全国数学選手権の問題にチャレンジ☆ 　（２０１１）

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第１問　中学の図形の問題。円の半径を求める。方べきの定理でＡＴを

　　　　　求めた後、ＡＣとＴＯを延長して三角定規を作って、再び方べき

　　　　　の定理を使えばいい。

第２問　私にとっては今回のメイン・イベント。数学甲子園の問題で初め

　　　　　て（？）間違えてしまった。体調が悪いからに違いない♪

てつやが点ＡからＢへ時速５．６ｋｍで向かい、みちこが逆にＢからＡへ、時速

４ｋｍで向かう。２人とも最短経路で、分岐点での選択は等確率。２人が出会う

確率を求める。

てつやが７区画、みちこが５区画進んで出会うことになるから、候補の地点は

６ヶ所ある。この内、Ａから５つ上、２つ右で出会う確率の計算がひっかけ。例

えばてつやがＡから５回連続、上に進む道を選択すると、残り２回は確率１００

％（！）で右に進むことになる。これをうっかり１／２で計算してしまったのだ。。

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第３問　数列の漸化式で、分数形。両辺が０でないことを確認した後、逆数を

　　　　　取って置き換えれば、ごくフツーの漸化式になる。　

第４問　ｌｏｇ ｘをｔで置き換えれば、ｔの３次関数だから、ｔで微分して増減表を

　　　　　書けば、最大値＆最小値は分かるし、その時のｔの値からｘの値も

　　　　　分かる。

第５問　折り詰め弁当に輪ゴム１コをかける問題。中身は盛り上がってない

　　　　　らしい♪　輪ゴムの通る最短経路を求める。２番目の注目問題。　　　

　　　　展開図を前半と後半で２枚書いて、つないで一直線に結べば

　　　　いいんだろうけど、答を出して、合ってるのを確認した後でも、

　　　　ちょっと不安が残るのは事実。見落としや勘違いがあるよう

　　　　な気がしてしまうのだ。

　　　　ちなみに「ａｃ＋２ｃ²＜ａｂ」という条件式は、展開図もどきで

　　　　一直線に結んだ時の輪ゴムが図のようになってるための

　　　　条件で、流石に芸が細かい所。

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第６問　ｘ→－０の時の、絶対値記号付き極限。

　　　　　ｌｉｍ （１／ｘ）｜ｃｏｓ{（π－ｘ）／２}｜

　　　　　ｃｏｓをｓｉｎに変換して、ｘを絶対値記号の中に入れれば、

　　　　　基本的な極限になる。符号に注意。

第７問　平面上の点の位置ベクトルに対して、大きさの最小値とその時の

　　　　　ベクトルの成分を求める。原点から平面に垂線を下せばいい。

　　　　　平面の法線ベクトルが、直線の方向ベクトル。

第８問　定積分。

　　　　　∫ｌｏｇ（ｘ²＋２）ｄｘ　　（０≦ｘ≦√２）

　　　　　部分積分してｌｏｇを消し、分数関数にした後、ｔａｎθを使った

　　　　　置換積分でＯＫ。三角関数はキレイに消える。

第９問　２つの定点からの距離の差の絶対値が一定となる、動点の軌跡。

　　　　　双曲線になるのは基本的知識だから、後は計算するだけ。

　　　　　真面目にルートの２乗を計算してもいいが、まず右に４５

　　　　　度回転した標準形の式を求めて、左に４５度回転する方

　　　　　がスマート。最後は ｙ＝ｋ／ｘ とおき、簡単な点の座標を

　　　　　使ってｋを決定する。

第１０問　複素数の偏角。複素数平面の性質を使えば上手く解けるのかも

　　　　　　知れないけど、私は単純に図形的に解いた。ｔａｎ２θが

　　　　　　－１／√３だから、２θ＝１５０°。よって、θ＝７５°。

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第１１問　ここからの残り５問は英語。ただし、内容的には簡単になってる。

　　　　　　正四面体（ｒｅｇｕｌａｒ　ｔｅｔｒａｈｅｄｒｏｎ）の４面の中心を結ん

　　　　　　で、内側にできる小さな正四面体 の体積は、元と比べ

　　　　　　てどれだけの割合か。小さい方の一辺の長さを求める

　　　　　　だけ。ｃｏｓθと余弦定理。

第１２問　男５人と女７人から、４人選んで委員会を作る場合の数（組合せ）。

　　　　　　男１人と女２人は必ず含むので、それらを先に決めて、

　　　　　　後で残り１人を選べばいい・・・と考えると、同じ組合せ

　　　　　　を重複して数えてしまうから、注意が必要。

　　　　　　男２人と女２人の場合と、男１人と女３人の場合に分け

　　　　　　て計算して、合計する。

第１３問　　多項式（ｐｏｌｙｎｏｍｉｎａｌ） ２ｘ³－３ｘ²＋ａｘ＋ｂが、ｘ＋１を因数

　　　　　　　（ｆａｃｔｏｒ）に持ち、ｘ－２で割った余り（ｒｅｍａｉｎｄｅｒ）は

　　　　　　　－１５。ａとｂを求めよ。

　　　　　　　因数定理より、ｘ＝－１を代入すれば０。剰余定理より、

　　　　　　　ｘ＝２を代入すれば－１５。後は、ａとｂの連立方程式。

第１４問　ｙ＝－ｘ²－２の接線（ｔａｎｇｅｎｔ　ｌｉｎｅ）が原点を通る時、接点Ｐの

　　　　　　座標（ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ）を求めよ。

　　　　　　Ｐのｘ座標をｐとして、先に接線の式を書き（微分利用）、

　　　　　　それが原点を通ることからｐを求める。

第１５問　正の整数（ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｉｎｔｅｇｅｒ）Ｎに対して、Ｎ²－２０１５が完全

　　　　　　平方（ｐｅｒｆｅｃｔ　ｓｑｕａｒｅ＝ある整数の２乗）となってる。

　　　　　　Ｎの値をすべて求めよ。

　　　　　　　Ｎ²－２０１５＝ｍ²　（ｍ＞０）とおいて、

　　　　　　　（Ｎ＋ｍ）（Ｎ－ｍ）＝２０１５

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝５×１３×３１。

　　　　　　　この素因数分解の式から、Ｎ＋ｍとＮ－ｍの組合せ

　　　　　　　が決まり、Ｎも決まる。

以上、簡単ながらすべての問題の感想を示した。それではまた明日。。☆彡

ｃｆ．　数学甲子園（ＡｂｅｍａＴＶライブ配信）、前半だけチラ見した感想

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２４１１字）

　　　　　　　　　　（追記　９１字　；　合計　２５０２字）