行列の固有値、固有ベクトルと対角化～２次、３次の簡単な問題と計算

大学レベルの数学記事を追加しようと思いつつ、長い間サボリ続けてしまった。

そこで今日は久々に、線形代数とか行列関連の記事をアップしよう。これが５

本目で、何と丸２年ぶりのこと。今までの４本は下の通り。最初の２本には、今

回の記事を理解するために必要な基礎知識が書かれてる。

　行列の基本変形、逆行列の求め方、１次方程式の解法

　行列の基本変形と１次方程式（２）～逆行列が存在しない場合など

　置換・互換による行列式の定義～初心者向け

　置換・互換と１４－１５パズルの不可能性～３パズル、８パズルからの証明

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使用する教科書・参考書の類は、今回も齋藤正彦『線型代数入門』（東京大

学出版会）。一般的な理論を重視したハイレベルのテキストなので、簡単な

例の具体的計算は大幅に省略されてる。この記事は、その省略を補いなが

ら、問題解法のポイントをまとめ直すものだ。

固有方程式、固有値、固有ベクトルと対角化は、この本だと、線形空間にある

基底を取って線形写像を行列で表すといった話の中で説明されてる。その場

合、前置きの理論や説明が長くなってしまうし、理解も難しい。この記事では、

いきなり行列から始めて、例題を解いてみよう。図形的、幾何学的な意味も省

くことにする。

ではまず、第５章・第１節の例２（ｐ．１３４）、２次正方行列Ａの対角化。テキス

トでは、改行で挿入された数式込みで１８行の説明だが、実際に自分で計算

すると、２～３倍の作業になる。　　

上のＡに対して、適当な正則行列（＝逆行列を持つ行列）Ｐを見つけて、下の

ように、対角行列へと変形することを目指す（対角化）。この対角成分αとβが、

行列Ａの固有値と呼ばれる数だ。後の計算では、αや ｘ で表してある。

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固有値の定義は、０ベクトルではないあるベクトル（ｘ，ｙ）に対して、下の式を

満たす値α。対応するベクトルが、固有ベクトル。

右辺のαのすぐ右に単位行列Ｅを挿入した後、変形すると、

もし正方行列に逆行列があると、両辺の左側から掛けて （ｘ，ｙ）＝（０，０）になっ

てしまい、固有ベクトルの条件を満たさない。よって逆行列は無いはずだから、

行列式は０。ここで導かれるαの方程式が、固有方程式（または特性方程式）

と呼ばれるものだ。

　　

∴　（α－２）（α－２）－（－１）・（－１）　＝０　

∴　α²－４α＋３＝（α－１）（α－３）＝０

∴　α＝１，３

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固有値１，３を求めた後、固有ベクトルを求める。行列式を計算する直前の

式に、まずα＝１を代入すると、

∴　－ｘ－ｙ＝０　　　∴　ｙ＝－ｘ

これを満たす（ｘ，ｙ）の内、簡単なものを固有ベクトルとすればいい（ただし０ベ

クトル以外）。よくあるパターンは、ｘやｙに１とか０を入れて求める方法。ここで

はテキストに合わせて、ｘ＝１，ｙ＝－１としとこう。下が、固有値１に対する固有

ベクトルの一例だ。

全く同様に、α＝３の場合を考えると、条件式は　ｘ－ｙ＝０。よって例えば

ｘ＝１とすれば、ｙ＝１で、固有値３に対する固有ベクトルが求まる。

２つの固有ベクトルを左から順に並べて、正方行列にしたものが、行列Ａを対

角化するための正則行列Ｐ。行列式は２で、逆行列も簡単に求まる。高校数

学の参考書のように、具体的な計算式を入れとこう。

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結局、ｎ次正方行列Ａの対角化は、固有方程式から始まる。上では文字αを

使ったが、方程式らしくｘを変数とするなら、　　

　｜ｘＥ－Ａ｜＝０　　　

別の書き方なら、　ｄｅｔ（ｘＥ－Ａ）＝０

ちなみに「ｄｅｔ」は、「行列式」を指す英単語「ｄｅｔｅｒｍｉｎａｎｔ」の省略記号だ。

では、下の３次正方行列Ａなら、どうなるか。テキストの例６（ｐ．１３６）だ。

固有方程式を求めると、

∴　（ｘ－６）（ｘ－２）（ｘ＋６）＋３・（－１）・（－５）＋７・１・３

　　　　　－（ｘ－６）（－１）・３－３・１・（ｘ＋６）－７（ｘ－２）（－５）＝０

∴　ｘ³－２ｘ²－ｘ＋２＝０

∴　（ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ＋１）＝０

∴　ｘ＝１，２，－１　　　　（注．　下の固有ベクトルの成分ｘとは別物。）

固有値１に対する固有ベクトルを求めると、係数行列 １Ｅ－Ａ を使って、

∴　－５ｘ＋３ｙ＋７ｚ＝０　・・・　（１）

　　　ｘ－ｙ－ｚ＝０　・・・　（２）

（１）＋（２）×５より、　－２ｙ＋２ｚ＝０　　　∴　ｚ＝ｙ　・・・　（３）

（３）を（１）に代入して、　－５ｘ＋１０ｙ＝０　　　∴　ｘ＝２ｙ　・・・　（４）

連立方程式（１）（２）が、より簡単な（３）（４）へと変換されたことになる。

ここで例えば、ｙ＝１を（３）と（４）に代入すると、　ｘ＝２，ｚ＝１

よって、次の固有ベクトルが求められた。

残り２個の固有値２，－１に対する固有ベクトルも同様に求めると、例えば下の

通り（テキストのもの）。他にも無数の書き方があるし、簡単な数字のものだけ

でも色々考えられるので、念のため。

以上の３つの固有ベクトルを、左から順に並べて正則行列を作ると、

逆行列は、以前の記事で説明した通り、基本変形で求めることになるが、普

通のテストだと書く必要はないはず。なお、３次でさえかなり面倒だが、５次

正方行列の問題をテストに出す大学教師も実在するようだ。

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ここでは、４次の問題を１つ紹介するに留めよう。テキスト第５章の章末問題

１のハ）。固有方程式を立てるだけでも面倒だ。固有値は０，２，１で、重解１ 

に対しては、線形独立な２つの固有ベクトルが定まるから、正則行列Ｐが定

まる。余裕のある方はお試しあれ。

ちなみに、異なる固有値に対する固有ベクトルは線形独立だが、重解となる

固有値に対しては、その重複度に一致する数の線形独立な固有ベクトルが

必要となる。もし無ければ、対角化はできない。また、固有方程式が実解を持

たない場合は、虚数まで含めた複素数範囲で探すしかない。

この種の記事は非常に手間ヒマかかるので、いつになるかは未定だが、次

は数列の漸化式の解全体が作る線形空間への応用を解説したいと思う。

いつもの手書きと違って、Ｗｏｒｄで行列の数式を入力するのは大変だった。

ではまた。。☆彡

ｃｆ．　数列の３項間漸化式、線型代数による解き方と考え方

　　　数列の３項間漸化式（その２）～ずらし変換、行列の対角化

　　　数列の３項間漸化式（その３）～対角化と基底の取替え行列

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　約２７７０字）

　　　　　　　　　　　（追記　８１字　；　合計　２８５１字）