数列の３項間漸化式、線型代数による解き方と考え方

大学レベルの行列関連の話（線型代数）というのは、高校でお馴染みの逆

行列や一次方程式の解を求めた後、どうもピンと来ない抽象的理論が延々

と展開される。それら全ては意味や意義を持つ内容だが、よほどの数学好

きか、抽象的な思考に慣れた人でないと、しんどい所だろう。

そこで今回は、高校数学でも時々登場した、簡単な３項間漸化式を解くこ

とを考える。ａ(n＋2)－３ａ(n＋1）＋２ａ(n)＝０。より一般的に表すなら、

ａ(n＋2）＋ｐａ(n＋1）＋ｑａ(n)＝０のタイプ（２階斉次線形漸化式）。

２項間だと簡単過ぎて、わざわざ大学レベルの数学を使う意味が無いし、４

項間だとちょっと面倒になるから、３項間が初歩的な説明に合ってると思う。

実際、齋藤正彦『線型代数入門』（東京大学出版会）でも、３項間でごく簡単

に説明してた。

ここではもっと具体的に、最初の段階から一通りの流れを解説してみよう。

上のテキストだと、第４章のあちこちにある話を念頭においてるが、書き方

は大幅に変えてある。数列の漸化式に絞って、高校とのつながりや実用性

を考慮したものだ。

ちなみに当サイトの今までの関連記事は下の５本。特に、１ヶ月前にアップ

した行列の対角化の記事が、今回の話と深い所で関連してる。

　行列の基本変形、逆行列の求め方、１次方程式の解法

　行列の基本変形と１次方程式（２）～逆行列が存在しない場合など

　置換・互換による行列式の定義～初心者向け

　置換・互換と１４－１５パズルの不可能性～３パズル、８パズルからの証明

　行列の固有値、固有ベクトルと対角化～２次、３次の簡単な問題と計算

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では今回のターゲット、ａ(n＋2)－３ａ(n＋1）＋２ａ(n)＝０について。初期条

件、つまり初項ａ(1)と第２項ａ(2)の値は、後回しにする。

ちなみに先ほどの参考書だと初項をａ（0)としてるが、以下では高校的な発

想で、初項はａ（１）とする。つまり、ｎ＝１，２，３，・・・。

高校レベルだと、この漸化式なら、

　ａ(n＋2)－１ａ(n＋1)＝２｛ａ(n＋1)－１ａ(n)｝

と変形して、２項間漸化式をまず求め、そこからａ(n)を求める所だろう。１と

いう係数はわざと書き添えてる。

あるいは、もう一つの変形を使うことも可能。

　ａ(n＋2)－２ａ(n＋1)＝１｛ａ(n＋1)－２ａ(n)｝

さらに、上の２種類の変形から解く途中で、両者を組み合わせてもいい。ど

ちらの変形でも、１と２という係数が重要な役割を果たしてる。大学レベルで

も同様だけど、その意味付けや理論がかなり変わるのだ。

ただし大学レベルでも、理屈抜きで答だけなら、簡単に出せる。これで十分

と思う学生や先生もいるだろう。

　ｘ²－３ｘ＋２＝０　　∴　ｘ＝１，２

　∴　ａ(n)＝α・｛１の(n-1)乗｝＋β・｛２の(n-1)乗｝

　　　　　　＝α＋β・｛２の(n-1)乗｝

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さて、最初に予備知識として、「基底」について簡単に確認しておこう。

平面の２次元ベクトル（ｘ，ｙ）の全体を例に取ると、それは、

　　ｘ（１，０）＋ｙ（０．１）

と書き直せる。つまり、基本ベクトル２つの定数倍の和（線型結合）で表せる。

これら２つの組合せは、全体の基本かつ根底だから、基底と呼ばれる。英語

だと、ｂａｓｉｓ。

基底となる２つは、向きが異なるもの（線形独立、１次独立）であればいい。

例えば、（１，１）と（－１，１）とか。同じベクトル（２，２）を、２種類の基底で書

き比べてみよう。

　　　　（２，２）＝２（１，０）＋２（０，１）

　　　　　　　　　＝２（１，１）＋０（－１，１）

基底＜（１，０）、（０，１）＞だと、係数は２、２。基底＜（１，１）、（－１，１）＞だ

と、係数は２、０。つまり、基底を取り替えると、同じものの表現が変わる。これ

は数列全体でも同様で、線形空間に共通する特徴なのだ。

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問題の漸化式 ａ(n＋2)－３ａ(n＋1）＋２ａ(n)＝０ の場合、移項すると、

　ａ(n＋2)＝３ａ(n＋1）－２ａ(n)

よって、初項と第２項だけで数列全体が次々に決定していく。

ａ(1)＝１、ａ(2)＝０の場合、

　　１，０，－２，－６，－１４，・・・

ａ(1)＝０、ａ(2)＝１の場合、

　　０，１，３，７，１５，・・・

これらは共に漸化式の解で、しかも一方が他方の定数倍にはならないから

（最初の２項で明らか）、線形独立であり、解の全体に対する基底となる。そ

れぞれの数列を、ｂ(n)、ｃ(n)としとこう。

例えば、ａ(1)＝３、ａ(2)＝４の場合、解の数列は

　３，４，６，１０，１８，・・・　

　　　＝　３（１，０，－２，－６，－１４，・・・）＋４（０，１，３，７，１５，・・・）

　　　＝　３ ｂ(n)＋４ ｃ(n)

つまり、基底それぞれの３倍と４倍を足したものとなるし、３倍と４倍という

係数も初項と第２項そのものだから、すぐに分かる。別の初項と第２項から

始めても、同様に簡単だ。任意の解は、基底の線型結合となる。ということ

は、解の全体は２次元。

逆に、一般に基底の線型結合として｛αｂ(n)＋βｃ(n)｝と表された数列

に対して、

　αｂ(n＋2)＋βｃ(n＋2)

　　　　＝α｛３ｂ(n＋1)－２ｂ(n)｝＋β｛３ｃ(n＋1)－２ｃ(n)｝

　　　　＝３｛αｂ(n＋1)＋βｃ(n＋1)｝－２｛αｂ(n)＋βｃ(n)｝

だから、α、βの値に関わらず、漸化式は成立する。つまり、線型結合は

解である。

ただし基底＜ｂ(n)，ｃ(n)＞のそれぞれが、一般項を求めにくい数列だから、

このままでは漸化式の解決につながらない。

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そこで、一般項がすぐ分かる別の数列を基底にすることを目指す。先に結

論をいきなり書いてしまうと、次の２つの線形独立な数列が好都合だ。

　　　１，１，１，１，・・・　　　一般項 ａ(n)＝１

　　　１，２，４，８，・・・　　　一般項 ａ(n)＝２の(n-1)乗

結局、漸化式の解の全体は、任意の係数α、βを用いて、

　　｛α×１＋β・（２の(n-1)乗）｝　・・・答

この内、以前触れた初項３、第２項４のものなら、

　　３＝α＋β　　　４＝α＋２β

　　∴　α＝２、β＝１

　　∴　｛２＋（２の(n-1)乗）｝　・・・答

ちなみに、基底となる２つの数列は、それぞれ公比１、２の等比数列という

ことになる。公比２つは、前に高校レベルの解法で出て来た数と同じだ。

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では最後に、解全体（＝解空間）の基底の求め方について。単なる計算方

法としては、ａ(n)＝ｘの(n-1)乗（ｘ≠０）とおき、漸化式からｘを求めればよい。

　　ａ(n＋2)－３ａ(n＋1)＋２ａ(n)＝０より、

　　ｘの(n＋1)乗－３（ｘのn乗）＋２｛ｘの(n-1)乗｝＝０

両辺を、ｘの(n-1)乗（≠０）で割って、

　　ｘ²－３ｘ＋２＝０　　

　　∴　ｘ＝１，２

これで、２つの簡単な解、つまり基底が求められた。1の(n-1)乗、つまり１と、

２の(n-1)乗。だから結局、漸化式ａ(n＋2)－３ａ(n＋1）＋２ａ(n)＝０に対して、

固有方程式とか特性方程式と呼ばれるｘ²－３ｘ＋２＝０を解けばよい。

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しかし、なぜｘの(n-1)乗とおけるのか、おけない場合はどうするのか、まだ

説明されてない。さらに、固有方程式が重解を持つ時とか、もっと高次の漸

化式になった場合まで考えると、「ずらし変換」と呼ばれる「線形変換」が役

立つ。

数列１，０，－２，－６，－１４，・・・　を、

数列０，－２，－６，－１４，・・・

へとずらす変換は、「線形性」（線型結合の変換＝変換の線型結合）を持ち、

何らかの基底に対して行列で表現できる。

その行列をＡとした時、その「固有値」「固有ベクトル」から別の基底を上手く

考えて、「基底の取り替え行列」Ｐを求め、

　　　　Ｐ⁻¹ ＡＰ＝（対角行列）

となるようにする。

これによって、ずらし変換を単純に表し、基底と解を求めれば、前にｘの

(n-1)乗とおいた理由も納得できる。一見、関係なさそうな、微分方程式との

本質的関連も分かる。

それで上手くいかなければ、さらに「ジョルダン標準形」といった高級な話を持

ち出す流れになる。。

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いずれにせよ、話の全体は広くて深いものなので、以降は次の機会に回す

としよう。

（☆追記 ： 新記事をアップ、リンクを下に付けた。）

３項間漸化式の解全体は線形空間であって、その簡単な基底２つ（等比数

列）を固有方程式から求められれば、線型結合で一般解となる。そこに初期

条件を付加すれば、個々の解も求められる。

その点を、簡単な例題を通じて説明した。それでは今日はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　数列の３項間漸化式（その２）～ずらし変換、行列の対角化

　　　数列の３項間漸化式（その３）～対角化と基底の取替え行列

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　３３７４字）

　　　　　　　　　　　　　（追記　８１字　；　合計　３４５５字）