数列の３項間漸化式（その２）～ずらし変換、行列の対角化

この記事は、ここ２ヶ月で書いた以下の２本の続編である。

　行列の固有値、固有ベクトルと対角化～２次、３次の簡単な問題と計算

　数列の３項間漸化式、線型代数による解き方と考え方

大学レベルの線型代数の応用として、簡単な数列の漸化式（斉次線型漸化

式）の一般解を求める問題がある。前回の記事（上のリンクの後者）では、手

頃な例として、次の３項間漸化式に注目した。

　ａ(n＋2)－３ａ(n＋1）＋２ａ(n)＝０　　（ｎ＝１，２，３，・・・）

高校レベルから大学レベルまで、解き方や考え方を色々と書いたが、大学

レベルの理論の根幹についてはまだ書いてない。今回は、その点に踏み込

んでみよう。

　　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

前回書いたように、解の全体は２次元の線形空間となるから、核となる２つ

の解の組合せ（「基底」）を求めれば、一般解は、それらの定数倍の足し算

（線型結合）となる。よって、簡単な基底を見つければよい。

すぐ思い付く自然な候補は、初項と第２項が１，０の数列｛ｂ（ｎ）｝と、

０，１の数列｛ｃ（ｎ）｝。

　　｛ｂ（ｎ）｝　：　１，０，－２，－６，－１４，・・・・・・

　　｛ｃ（ｎ）｝　：　０，１，３，７，１５，・・・・・・

これらを基底とするなら、例えば、初項３，第２項が４の解は、

　　３ｂ（ｎ）＋４ｃ（ｎ）

一般解は、任意の定数ｐ、ｑを用いた線型結合で、

　　ｐｂ（ｎ）＋ｑｃ（ｎ）。

ところが、ｂ（ｎ）とｃ（ｎ）自体の一般項が簡単に求められないから、この

ままではあまり役に立たない。そこで、もっと簡単な基底を見つけようと

いう話になる。より正確には、簡単な基底へと取り替えようという話。そこ

で登場するのが、「ずらし変換」と行列なのだ。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

分かりやすさのため、いきなり、都合のいい基底を書いてしまおう。前回

の記事ではａ（ｎ）と書いてるが、以下ではｘ（ｎ）、ｙ（ｎ）と書き直す。

　　　１，１，１，１，・・・　　　一般項 ｘ(n)＝１

　　　１，２，４，８，・・・　　　一般項 ｙ(n)＝２の(n-1)乗

これらをどうやって探したかというと、「各項を後ろに１つずらすと定数倍に

なるような数列」として探してるのだ。「ずらし変換」を Ｔ と表すなら、

　元の数列 ｛ｙ（ｎ）｝　　　　：　１，２，４，８，・・・

　ずらした数列 Ｔ｛ｙ（ｎ）｝　：　２，４，８，１６，・・・

上下を見比べれば、ずらすと各項が２倍になっているのが分かる。

数列｛ｘ（ｎ）｝の場合なら、ずらすと１倍。つまり、何も変わらない。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

ずらし変換Ｔで単なる定数倍になる解２つ（上の｛ｘ（ｎ）｝、｛ｙ（ｎ）｝）

を求めるには、列ベクトルと行列の世界に持ちこめばよい。列ベクトル

は以下、転置行列の記号 ｔ を用いて、t（１，２）などと表す。

まずは、普通の基底である＜｛ｂ（ｎ）｝，｛ｃ（ｎ）｝＞を用いて、

数列を列ベクトルへと対応付ける。１対１、上への同型写像。

　｛ｂ（ｎ）｝ ： １，０，－２，－６，－１４，・・・・・・　→　t（１，０）

　｛ｃ（ｎ）｝ ： ０，１，３，７，１５，・・・・・・　→　t（０，１）

　｛３ｂ（ｎ）＋４ｃ（ｎ）｝ ： ３，４，６，１０，・・・・・・　→　t（３，４）

１つ後ろにずらすと、何がどう変わるのか。　　　　　　

｛ｂ（ｎ）｝なら、０，－２，－６，・・・となるから、

　　t（１，０）　→　t（０，－２）

｛ｃ（ｎ）｝なら、１，３，７，・・・となるから、

　　t（０，１）　→　t（１，３）

よって、ずらし変換Ｔの、基底＜｛ｂ（ｎ）｝，｛ｃ（ｎ）｝＞に関する行列は、

ちなみに一般の斉次線型漸化式の場合も同様に、漸化式を用いて、

ずらし変換の行列を求めることができる。ここでは省略。

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

ここで一度、頭を切り替えて、この行列を「対角化」してみる。

つまり、適当な正則行列（＝逆行列を持つ行列）Ｐを見つけて、下のよう

に、元の行列Ａを対角行列へと変形することを目指す（対角化）。この対

角成分αとβが、行列Ａの固有値と呼ばれる数だ。

このＰやα、βの求め方は、既に２ヶ月前の記事で説明した通りなので、

ここでは省略する。不思議なことに、固有値を求める方程式は、元の漸化

式と同じ形の２次方程式になる。

　　α²－３α＋２＝０　　　∴　α＝１，２

固有値１に対する固有ベクトルを求めると、簡単なものは、t（１，１）。

固有値２に対する固有ベクトルを求めると、簡単なものは、t（１，２）。

これら２つの固有ベクトルを左右につなげば、行列Ｐが１つ定まり、

対角化が完成する。

　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

最後に、数列の漸化式とずらし変換行列の話に戻ろう。上の対角化で用

いた行列Ｐは、「基底の取替え行列」だと解釈できる。右辺で出来上がった

対角行列が、新たな基底に関する、ずらし変換行列。

元々は、初項と第２項が１，０の数列ｂ（ｎ）と、０．１の数列ｃ（ｎ）を基底に

して、ずらし変換Ｔの行列を求めた。

それに対して、初項と第２項が１，１の数列｛ｘ（ｎ）｝と、１，２の数列 

｛ｙ（ｎ）｝を基底にした時のずらし変換行列は、上の対角行列になる。

上の対角化の式は、そのことを表すものだとみなせる（後述）。

この場合、｛ｘ（ｎ）｝と｛ｙ（ｎ）｝は、ずらすと１倍、２倍の簡単な数列と

なっている。列ベクトルと行列の計算を示しておこう。基底が変わるの

で、列ベクトルとの対応に注意。

　｛ｘ（ｎ）｝ ： １，１，１，・・・　→　t（１，０）

　｛ｙ（ｎ）｝ ： １，２，４，・・・　→　t（０，１）

ちなみに、元の基底＜｛ｂ（ｎ）｝，｛ｃ（ｎ）｝＞とその行列を用いても、

ずらし変換で１倍と２倍になることが式に表される。

　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

というわけで、結局、

　ｘ（ｎ）＝１，　ｙ（ｎ）＝２の（ｎ－１）乗

漸化式の一般解は、任意定数ｐ，ｑを用いて、

　｛ａ（ｎ）｝＝｛ｐ＋ｑ（２の（ｎ－１）乗）｝

ｑ＝２ｒとおき直して、形を整えれば、

　｛ａ（ｎ）｝＝｛ｐ＋ｒ（２のｎ乗）｝

こうして、文字記号の違いを除けば、齋藤正彦『線型代数入門』（東京大

学出版会）のｐ．１１８の答と一致する。

あとは、「基底の取替え行列」の説明を補えば、全体の理論構成が完結す

るが、それは次の機会に回すとしよう（☆追記：　既にアップ、下にリン

クあり）。複雑で壮大な体系なのだ。とりあえず、今日はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　数列の３項間漸化式（その３）～対角化と基底の取替え行列

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２４５０字）

　　　　　　　　　　　　　　（☆追記　４９字　；　合計　２４９９字）