数列の3項間漸化式(その3)~対角化と基底の取替え行列
この記事は、ここ数ヶ月で書いた以下の3本の続編かつ完結編である。
行列の固有値、固有ベクトルと対角化~2次、3次の簡単な問題と計算
数列の3項間漸化式、線型代数による解き方と考え方
数列の3項間漸化式(その2)~ずらし変換、行列の対角化
大学レベルの線型代数の応用として、簡単な数列の漸化式(斉次線型漸
化式)の一般解を求める問題がある。上のリンクの2番目と3番目
の記事では、手頃な例として、次の3項間漸化式に注目した。
a(n+2)-3a(n+1)+2a(n)=0 (n=1,2,3,・・・)
☆ ☆ ☆
この解の数列全体は、線型空間となる。まず自然な基底として、初項
と第2項が1,0の数列{b(n)}と、0,1の数列{c(n)}
の組合せを選んでみる。
{b(n)} : 1,0,-2,-6,-14,・・・・・・
{c(n)} : 0,1,3,7,15,・・・・・・
この基底を使って、各数列を1つ後ろにずらす変換Tを表す2次
正方行列は、下の通り。
このままでは、基底の数列も行列も分かりにくいので、固有値と固有ベ
クトルを用いて対角化すると、
ここまでは既に説明してある。残る作業は、この対角化が、基底の取替え
だと示すこと。つまり、初項と第2項が1,1の数列{x(n)}と、
1,2の数列 {y(n)}を新たな基底にした時のずらし変換
行列を求めているのだと示すことである。
☆ ☆ ☆
その説明は、当サイトで使っているテキスト、齋藤正彦『線型代数入門』
(東京大学出版会)だと、一般論で少しずつ書いてるので、全体は分かり
にくい。ここでは、上の漸化式の解に限定して、具体的に解説してみよう。
まず、{x(n)}=1,1,1,・・・という数列自体を、2種類の
基底で表す。
{x(n)}=1{b(n)}+1{c(n)}
=1{x(n)}+0{y(n)}
ということは、元の基底<{b(n)},{c(n)}>で列ベクトルに表すと、
t(1,1) (注. t は転置行列の記号)
一方、新たな基底<{x(n)},{y(n)}>で列ベクトルに表すと、
t(1,0)
よって、新たな基底<{x(n)},{y(n)}>で表した列ベクト
ルを、元の基底<{b(n)},{c(n)}>で表した列ベクトル
へと変換するための行列は、次のような式と形で定められる。
四角の中はとりあえず、任意の数が可能。
☆ ☆ ☆
同様に、、{y(n)}=1,2,4,・・・という数列自体を、
2種類の基底で表す。
{x(n)}=1{b(n)}+2{c(n)}
=0{x(n)}+1{y(n)}
ということは、元の基底<{b(n)},{c(n)}>で列ベクトルに表すと、
t(1,2) (注. t は転置行列の記号)
一方、新たな基底<{x(n)},{y(n)}>で列ベクトルに表すと、
t(0,1)
よって、新たな基底<{x(n)},{y(n)}>で表した列ベクト
ルを、元の基底<{b(n)},{c(n)}>で表した列ベクトル
へと変換するための行列は、次のような式と形で定められる。
したがって、線形性を考え合わせると、一般に、新たな基底
<{x(n)},{y(n)}>で表した列ベクトルを、元の基底
<{b(n)},{c(n)}>で表した列ベクトルへと変換する
ための行列は、次のものになる。
☆ ☆ ☆
こうして、対角化の式の意味が理解できることになった。
左辺の行列の積を、新基底<{x(n)},{y(n)}>で表した列
ベクトルに左から掛けてみる。
するとまず、旧基底<{b(n)},{c(n)}>で表した列ベクト
ルへと変換して、次にずらし変換を行い、最後に新基底
<{x(n)},{y(n)}>で表した列ベクトルに戻すことになる。
ということは結局、全体として、新基底<{x(n)},{y(n)}>
で表した列ベクトルにずらし変換を行う行列が出来る。それが、
右辺の対角行列なのだ。
この対角行列を使えば、新基底の一般項x(n)が公比1の
等比数列、y(n)が公比2の等比数列であることも明らか。
行列をかけて、ずらすと、それぞれ1倍、2倍になるからだ。
もちろん、対角行列など使わなくても、一般項のx(n)とy(n)
は、漸化式と帰納法で簡単に証明可能だ。
☆ ☆ ☆
最終的に、x(n)とy(n)の線型結合として、最初の漸化式の
一般解が求められる。
x(n)=1, y(n)=2の(n-1)乗
漸化式の一般解は、任意定数p,qを用いて、
{a(n)}={p+q(2の(n-1)乗)}
q=2rとおき直して、形を整えれば、
{a(n)}={p+r(2のn乗)}
☆ ☆ ☆
なお、上で求めた行列は、例のテキストの言い方を使うと、
「基底の取替え
<{b(n)},{c(n)}> → <{x(n)},{y(n)}> の行列」
ということになる。この言い方と矢印は、上の説明の流れと逆向き
のようにも感じられるので、注意が必要だ。
要するに、結果的に、基底を取り替えた後の変換行列(ここでは対角
行列)を求めることになるから、そう呼ぶのだと想像するが、個人的に
はむしろ矢印の左右を逆にしたいところだ。
いずれにせよ、これで一通り、数列の漸化式を行列で解く話は終了。
次は微分方程式に向かいたい。それでは今日はこの辺で。。☆彡
(計 2125字)
| 固定リンク | 0
「数学」カテゴリの記事
- 日テレ『頭脳王2021』ストレンジ・オセロ、先手必勝ゲームの証明と戦略(7通りの場合分け)(2021.02.23)
- 『頭脳王2021』、純金のピラミッドの金額&シロナガスクジラを持ち上げる金剛力士像の身長、計算式と解説(2021.02.20)
- 1と0のカードゲーム、単純そうで複雑な連続操作の考察~開成中学2021年入試、算数・問題3の解き方(2021.02.14)
- 宝くじの当選番号を予言して当てる迷惑メールの仕組み、他~2021年・大学入学共通テスト・情報関係基礎(2021.01.24)
- 陸上100m走のタイム(時間)とストライド(歩幅)、ピッチ(歩数)の関係~2021年・大学入学共通テスト・数学ⅠA・第2問〔1〕(2021.01.19)
コメント