数列の３項間漸化式（その３）～対角化と基底の取替え行列

この記事は、ここ数ヶ月で書いた以下の３本の続編かつ完結編である。

　行列の固有値、固有ベクトルと対角化～２次、３次の簡単な問題と計算

　数列の３項間漸化式、線型代数による解き方と考え方

　数列の３項間漸化式（その２）～ずらし変換、行列の対角化

大学レベルの線型代数の応用として、簡単な数列の漸化式（斉次線型漸

化式）の一般解を求める問題がある。上のリンクの２番目と３番目

の記事では、手頃な例として、次の３項間漸化式に注目した。

　ａ(n＋2)－３ａ(n＋1）＋２ａ(n)＝０　　（ｎ＝１，２，３，・・・）

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この解の数列全体は、線型空間となる。まず自然な基底として、初項

と第２項が１，０の数列｛ｂ（ｎ）｝と、０，１の数列｛ｃ（ｎ）｝

の組合せを選んでみる。

　　｛ｂ（ｎ）｝　：　１，０，－２，－６，－１４，・・・・・・

　　｛ｃ（ｎ）｝　：　０，１，３，７，１５，・・・・・・

この基底を使って、各数列を１つ後ろにずらす変換Ｔを表す２次

正方行列は、下の通り。　　　　　　

このままでは、基底の数列も行列も分かりにくいので、固有値と固有ベ

クトルを用いて対角化すると、

ここまでは既に説明してある。残る作業は、この対角化が、基底の取替え

だと示すこと。つまり、初項と第２項が１，１の数列｛ｘ（ｎ）｝と、

１，２の数列 ｛ｙ（ｎ）｝を新たな基底にした時のずらし変換

行列を求めているのだと示すことである。

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その説明は、当サイトで使っているテキスト、齋藤正彦『線型代数入門』

（東京大学出版会）だと、一般論で少しずつ書いてるので、全体は分かり

にくい。ここでは、上の漸化式の解に限定して、具体的に解説してみよう。

まず、｛ｘ（ｎ）｝＝１，１，１，・・・という数列自体を、２種類の

基底で表す。

　　｛ｘ（ｎ）｝＝１｛ｂ（ｎ）｝＋１｛ｃ（ｎ）｝

　　　　　　　＝１｛ｘ（ｎ）｝＋０｛ｙ（ｎ）｝

ということは、元の基底＜｛ｂ（ｎ）｝，｛ｃ（ｎ）｝＞で列ベクトルに表すと、

　　ｔ（１，１）　　　（注．　ｔ は転置行列の記号）

一方、新たな基底＜｛ｘ（ｎ）｝，｛ｙ（ｎ）｝＞で列ベクトルに表すと、

　　ｔ（１，０）

よって、新たな基底＜｛ｘ（ｎ）｝，｛ｙ（ｎ）｝＞で表した列ベクト

ルを、元の基底＜｛ｂ（ｎ）｝，｛ｃ（ｎ）｝＞で表した列ベクトル

へと変換するための行列は、次のような式と形で定められる。

四角の中はとりあえず、任意の数が可能。

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同様に、、｛ｙ（ｎ）｝＝１，２，４，・・・という数列自体を、

２種類の基底で表す。

　　｛ｘ（ｎ）｝＝１｛ｂ（ｎ）｝＋２｛ｃ（ｎ）｝

　　　　　　　＝０｛ｘ（ｎ）｝＋１｛ｙ（ｎ）｝

ということは、元の基底＜｛ｂ（ｎ）｝，｛ｃ（ｎ）｝＞で列ベクトルに表すと、

　　ｔ（１，２）　　　（注．　ｔ は転置行列の記号）

一方、新たな基底＜｛ｘ（ｎ）｝，｛ｙ（ｎ）｝＞で列ベクトルに表すと、

　　ｔ（０，１）

よって、新たな基底＜｛ｘ（ｎ）｝，｛ｙ（ｎ）｝＞で表した列ベクト

ルを、元の基底＜｛ｂ（ｎ）｝，｛ｃ（ｎ）｝＞で表した列ベクトル

へと変換するための行列は、次のような式と形で定められる。

したがって、線形性を考え合わせると、一般に、新たな基底

＜｛ｘ（ｎ）｝，｛ｙ（ｎ）｝＞で表した列ベクトルを、元の基底

＜｛ｂ（ｎ）｝，｛ｃ（ｎ）｝＞で表した列ベクトルへと変換する

ための行列は、次のものになる。

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こうして、対角化の式の意味が理解できることになった。

左辺の行列の積を、新基底＜｛ｘ（ｎ）｝，｛ｙ（ｎ）｝＞で表した列

ベクトルに左から掛けてみる。

するとまず、旧基底＜｛ｂ（ｎ）｝，｛ｃ（ｎ）｝＞で表した列ベクト

ルへと変換して、次にずらし変換を行い、最後に新基底

＜｛ｘ（ｎ）｝，｛ｙ（ｎ）｝＞で表した列ベクトルに戻すことになる。

ということは結局、全体として、新基底＜｛ｘ（ｎ）｝，｛ｙ（ｎ）｝＞

で表した列ベクトルにずらし変換を行う行列が出来る。それが、

右辺の対角行列なのだ。

この対角行列を使えば、新基底の一般項ｘ（ｎ）が公比１の

等比数列、ｙ（ｎ）が公比２の等比数列であることも明らか。

行列をかけて、ずらすと、それぞれ１倍、２倍になるからだ。

もちろん、対角行列など使わなくても、一般項のｘ（ｎ）とｙ（ｎ）

は、漸化式と帰納法で簡単に証明可能だ。

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最終的に、ｘ（ｎ）とｙ（ｎ）の線型結合として、最初の漸化式の

一般解が求められる。

　ｘ（ｎ）＝１，　ｙ（ｎ）＝２の（ｎ－１）乗

漸化式の一般解は、任意定数ｐ，ｑを用いて、

　｛ａ（ｎ）｝＝｛ｐ＋ｑ（２の（ｎ－１）乗）｝

ｑ＝２ｒとおき直して、形を整えれば、

　｛ａ（ｎ）｝＝｛ｐ＋ｒ（２のｎ乗）｝

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なお、上で求めた行列は、例のテキストの言い方を使うと、

「基底の取替え

　＜｛ｂ（ｎ）｝，｛ｃ（ｎ）｝＞ → ＜｛ｘ（ｎ）｝，｛ｙ（ｎ）｝＞ の行列」

ということになる。この言い方と矢印は、上の説明の流れと逆向き

のようにも感じられるので、注意が必要だ。

要するに、結果的に、基底を取り替えた後の変換行列（ここでは対角

行列）を求めることになるから、そう呼ぶのだと想像するが、個人的に

はむしろ矢印の左右を逆にしたいところだ。

いずれにせよ、これで一通り、数列の漸化式を行列で解く話は終了。

次は微分方程式に向かいたい。それでは今日はこの辺で。。☆彡

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