運動の法則、浮力、物体の連結と分離～物理の問題と解き方２

いつの間にか１ヶ月半も経ってしまったが、『物理重要問題集』（数研出版）

の解説シリーズ２本目の記事をアップしよう。ちなみに１本目は次の通り。

　等加速度直線運動、放物線、モンキー・ハンティング

　　　　　　　　　　　　　　　　　～物理の問題と解き方１

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今回は、高校物理の基本中の基本を扱う章、「２　運動の法則」について。

たとえば次の問題は、「Ａ」で「＊」（アスタリスク）付きだから、特別重

要な問題ということだ。問題の項目名は編集部が付けたものだと思う。

　＊Ａ．１３　（水平投射・浮力）　９１九州産大　空欄補充

積荷を含めて全体の重量Ｍ〔ｋｇ〕の気球が一定の高さｈ〔ｍ〕

で東方へ等速ｕ〔ｍ／ｓ〕で流されている場合を考える。この気

球からｍ〔ｋｇ〕の砂袋を静かに落とすと、これはＴ〔ｓ〕後に落

とした場所から東方へＸ〔ｍ〕離れた地表面に到達した。落下す

る砂袋に対する浮力と空気の抵抗を無視し、重力加速度の

大きさをｇ〔ｍ／ｓ²〕とすれば、Ｔはｇ、ｈを用いて　（１）　で表

され、またＸはＴ、ｕにより　（２）　という式で表される。

　ｇ＝９．８ｍ／ｓ²、ｈ＝１９６０ｍ、ｕ＝５ｍ／ｓ

のときには　Ｔ＝　（３）　ｓ、　Ｘ＝　（４）　ｍである。

　また気球に対する浮力F〔Ｎ〕の大きさはＭ、ｇにより　（５）

で表され、Ｍ＝４２０ｋｇ、ｍ＝２０ｋｇとすれば質量ｍ〔ｋｇ〕

の砂袋を落とした直後の気球の加速度の大きさは

　（６）　ｍ／ｓ²となる。

　答えの数値は有効数字２桁で示せ。

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（解答）　

　（１）　鉛直方向には、速度０、加速度ｇの等加速度運動だから、

　　　　　（１／２）ｇＴ²＝ｈ　　　∴　Ｔ＝√（２ｈ／ｇ）　

　（２）　水平方向には、速度ｕ（ｍ／ｓ）の等速直線運動だから

　　　　　Ｘ＝Ｔｕ

　（３）　Ｔ＝√（２×１９６０／９．８）＝√４００＝２０

　　　　　＝２．０×１０

　（４）　Ｘ＝（２．０×１０）×５＝１００＝１．０×１０²

　（５）　気球の浮力と重力が釣り合ってるのだから、

　　　　　Ｆ＝Ｍｇ

　（６）　（気球の浮力）＝Ｆ＝Ｍｇ＝４２０×９．８

　　　　　　　　　　　　＝４１１６　（Ｎ）

　　　　砂袋を落とした後の気球の質量は、

　　　　　　４２０－２０＝４００（ｋｇ）

　　　　よって、気球の鉛直方向・上向きの運動方程式より、

　　　　　（加速度）＝（力）／（質量）

　　　　　　　　　　＝（４１１６－４００×９．８）／４００

　　　　　　　　　　＝４．９×１０⁻¹

（感想）　浮力の問題としては、体積を使ってない簡単なタイプ。

　　　　　気球の質量は、まず砂袋込みで与えられてるが、

　　　　　後で砂袋なしで計算することになる。有効数字にも注意。

　　　　　ただ全体的には、数値も簡単で、のどかなイメージ。

　　　　　基礎的な良問だろう。図があればもっと良かった。

　　　　　（６）は、砂袋に加わってた重力が新たに気球の上向き

　　　　　の力になると考えてもいい。

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　Ａ．１４　（質量のある棒に生じる加速度）　武蔵工大

長さｌ〔ｍ〕、質量ｍ〔ｋｇ〕の一様な棒の一端Ａに質量Ｍ〔ｋｇ〕

の物体Ｐをつけて、図のようになめらかで水平な台上におき、

他端ＢをＦ₁〔Ｎ〕の力で水平に引っ張るとき、

（１）　棒の加速度ａ₁はいくらか。

（２）　棒の中央における張力Ｔ₁はいくらか。　

次に、この棒のＡ端の物体Ｐをはずし、棒を鉛直につるし、

上端をＦ₂〔Ｎ〕の力で引き上げるとき、

（３）　棒の加速度ａ₂はいくらか。

（４）　棒の下端から距離ｘ〔ｍ〕（ｌ＞ｘ）の位置における

　　　張力Ｔ₂はいくらか。ただし、重力の加速度を

　　　ｇ〔ｍ／ｓ²〕とする。

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（解答）　

　（１）　全体を質量Ｍ＋ｍの物体と考えれば、運動方程式より、

　　　　　ａ₁＝Ｆ₁／（Ｍ＋ｍ）　（ｍ／ｓ²）

　（２）　棒の中央の張力が、その左側の部分全体を加速度ａで

　　　　　引っ張ることになるので、

　　　　Ｔ₁＝（Ｍ＋ｍ／２）ａ₁

　　　　　＝（Ｍ＋ｍ／２）｛Ｆ₁／（Ｍ＋ｍ）｝

　　　　　＝（２Ｍ＋ｍ）Ｆ₁／２（Ｍ＋ｍ）　（Ｎ）

　（３）　鉛直方向・上向き正の運動方程式より、

　　　　　ａ₂＝（Ｆ₂－ｍｇ）／ｍ

　　　　　　＝Ｆ₂／ｍ－ｇ　（ｍ／ｓ²）

　（４）　張力Ｔ₂と重力の合力が、棒の下側部分を

　　　　加速度ａ₂で引っ張ることになるので、

　　　　Ｔ₂－（ｘ／ｌ）ｍｇ＝（ｘ／ｌ）ｍａ₂

　　　　∴　Ｔ₂＝（ｘ／ｌ）ｍ（ｇ＋ａ₂）

　　　　　　　　＝ｘＦ₂／ｌ　（Ｎ）

（感想）　（４）で差がつく所だろう。ｘをｌに近づけると、もちろん

　　　　Ｔ₂はＦ₂に近づく。上端での力に近付くから当然。

　　　　ちょっと変わった問題で、「どうしてそんな途中の場所

　　　　の力を考えるのか？」と言いたくなるところでもある。

　　　　要するに、一定の加速度で運動させてるだけの話で、

　　　　少なくともこの問いの内容だけだと、「力」という概念は

　　　　役立ってない。公式で形式的に計算しただけだろう。。

　　　　そう思った鋭い高校生・受験生は、「受験の後で」深く考

　　　　えてみると面白い。運動方程式とは単なる力の定義式、

　　　　約束事に過ぎないとかいう考え方につながる。規約主義、

　　　　約束主義とか呼ばれるものだ。棒の伸びとかを考慮に入れ

　　　　ても、事態は本質的に変わらない。

　　　　作用・反作用の法則や弾性の法則を、力を使わずに質量

　　　　と加速度と長さだけで書き直しておけばいいだけのこと。

　　　　ただし、そうした考えは、普通の物理の先生や学生には

　　　　相手にしてもらえないのだ。「どうしてそんな事を考える

　　　　の？」、「ニュートンの基本法則だよ？」といった感じで。。

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　＊Ａ．１７　（連結物体の運動）　東海大

図のように物体Ａ、Ｂ、Ｃを軽くて丈夫な糸でつなぐ。ＡとＢ

を水平でなめらかな机の上におき、Ｃを机の端にあるなめらか

で軽い滑車にかけた糸の端につり下げて、静かに放した。ただ

し、Ａ、Ｂ、Ｃ各々の質量は、３．０ｋｇ、２．０ｋｇ、５．０ｋｇ

である。初めＢから滑車までの距離は１３０ｃｍであり、床

からＣの下端までの距離は８０ｃｍであった。

　重力加速度の大きさを９．８ｍ／ｓ²として、次の問いに答えよ。

（１）　物体Ａ、Ｂ、Ｃが動き始めたときの、加速度を求めよ。

（２）　物体Ａ、Ｂ、Ｃが動き始めたときの、ＢとＣの間の

　　　糸の張力を求めよ。

（３）　物体Ａ、Ｂ、Ｃが動き始めたときの、ＡとＢの間の

　　　糸の張力を求めよ。

（４）　Ｃが床に着いた直後のＢの速度をエネルギー

　　　保存則を用いて求めよ。

（５）　Ｂが初めの位置から１２０ｃｍ移動するのに

　　　要する時間を求めよ。

　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆　　　　　　　　　　☆

（解答）

　（１）　Ｃの重力で全体を引っ張るのだから、運動方程式より、

　　　　　（加速度）＝５．０×９．８／（３．０＋２．０＋５．０）

　　　　　　　　　　　＝４．９　（ｍ／ｓ²）

（２）　ＢとＣの間の張力が、ＡとＢを引っ張って加速度

　　　　４．９ｍ／ｓ²をもたらすと考えて、

　　　　　（張力）＝（３．０＋２．０）×４．９

　　　　　　　　　＝２４．５　（Ｎ）

　（３）　ＡとＢの間の張力が、Ａを引っ張って加速度

　　　　４．９ｍ／ｓ²をもたらすと考えて、

　　　　　（張力） ＝３．０×４．９

　　　　　　　　　　＝１４．７　（Ｎ）

　（４）　エネルギー保存則を使って速度を求めるということは、

　　　　Ｃが床と衝突して運動エネルギーを失う直前で考えると

　　　　いうことのはず。

　　　　Ｃが最初に持ってた位置エネルギーが、Ａ、Ｂ、Ｃの

　　　　運動エネルギーになるのだから、速度をｖとすると、

　　　　５．０×９．８×０．８＝（１／２）×１０．０×ｖ²

　　　　∴　ｖ＝√７．８４＝２．８　（ｍ／ｓ）

　（５）　まず８０ｃｍ移動するまでは、初速度０、加速度

　　　　４．９ｍ／ｓ²の等加速度直線運動。

　　　　∴　（時間）＝２．８／４．９＝４／７

　　　　その後、４０ｃｍ移動するまでは、２．８ｍ／ｓの

　　　　等速直線運動。

　　　　∴　（時間）＝０．４／２．８＝１／７

　　　　∴　（合計時間）＝４／７＋１／７＝５／７

　　　　　　　　　　　　　　≒０．７１　（ｓ）

（感想）　問題集の解答（最後の数値のみ）では、（２）（３）（５）

　　　　は四捨五入して２ケタだけ書いてある。ただ、有効数字

　　　　の話が問題文に無いし、明らかでもないので、正確に

　　　　書いておく方が無難だろう。

　　　　実はこの問題、前の問題と似てるのだ。前の問題で、

　　　　物体Ｐ、棒の左半分、棒の右半分を分けて、ごく短い

　　　　糸で結んだと思えばいい。

　　　　ちなみに（１）を、運動方程式とか力を使わずに解くなら、

　　　　Ａ＋ＢとＣの間の作用・反作用の法則より、

　　　　（３．０＋２．０）×ａ＝５．０×（９．８－ａ）

　　　　∴　ａ＝４．９

　　　　質量と加速度のみで解けるのだ。

　　　　あと、（４）の問題文は紛らわしいと思う。私が出題者なら、

　　　　Ｃが床に「着く直前」のＢの速度と書く。この方が親切だし、

　　　　正答率が上がるだろう。

それでは今日はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　動滑車、摩擦力（静止・動）、バネの弾性力～物理３

　　　等速円運動、円すい振り子、万有引力と人工衛星～物理４

　　　単振動、ばね振り子、水平ばね２本～物理５

　　　　・・・・・・・・・・・・・・・

　　　ニュートン物理学の基礎、「運動の法則」再考～その１

　　　「運動の法則」再考２～質量と重さ

　　　「運動の法則」再考３～運動方程式を使わずに問題を解く方法

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　３３０１字）

　　　　　　　　　　　（追記　８５字　；　合計　３３８６字）