動滑車、摩擦力（静止・動）、バネの弾性力～物理の問題と解き方３

数研出版『物理重要問題集』の中から、適度な問題を選んで紹介＆解説

するシリーズ、第３弾。これまでの２本は次の通り。

　等加速度直線運動、放物線、モンキー・ハンティング～物理１

　運動の法則、浮力、物体の連結と分離～物理２

当サイトには、物理系のドラマ・映画記事なら多数あるが、普通の物理

記事は少ない。ただ、数学記事なら多数あるし、既に１１年間、毎日

更新し続けてるので、安心して頂いていいと思う。問題集には答の数

値が書かれてるだけなので、以下の解答はすべて私が作ったものだ。

最近の数研出版の問題集には、きちんとした解答が付いてるらしいが、

まだ確認してない。

　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

では今回の１問目。前回から少しバックして、ｐ．１１。「Ａ」で「＊」（ア

スタリスク）付きだから、特別に重要な問題の１つだ。

　１２　（力のつりあい）　京都府立大

　図のように、滑車にかけた１本の綱の一端を、板上の人が落ち

　ないように引っ張って静止している。人の重さは６０ｋｍｗ、

　動滑車の重さは８ｋｇｗで、板および板をつるしているロープの

　重さの和は１０ｋｇｗである。綱の重さおよび滑車と綱との間の

　摩擦は無視でき、また綱は滑車にかかっている部分を除きす

　べて鉛直になっているものとする。

　（１）　人が綱を引いている力の大きさは何ｋｇｗか。

　（２）　人が板から受けている力の大きさは何ｋｇｗか。

　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

（解答）　

　（１）　綱を引く力、つまり綱の張力の大きさをＴとし、板から人に

　　　　　加わる垂直抗力の大きさをＮ、動滑車から板に加わる力

　　　　　の大きさをＦとする。単位はすべてｋｇｗ。鉛直方向・上向き

　　　　　を正とした時、力の釣り合いの式はこうなる。

　　　　　（人）　Ｔ＋Ｎ－６０＝０　　・・・（ア）

　　　　　（板とロープ）　Ｆ－Ｎ－１０＝０　　・・・（イ）

　　　　　（動滑車）　２Ｔ－Ｆ－８＝０　　・・・（ウ）

　　　　　３つの式を辺々加えると、

　　　　　３Ｔ－７８＝０　　∴　Ｔ＝２６（ｋｇｗ）　・・・答

　（２）　式（ア）にＴ＝２６を代入して、

　　　　　　Ｎ－３４＝０　　∴　Ｎ＝３４（ｋｇｗ）　・・・答

（感想・解説）　

　動滑車には左右から上向きに張力Ｔが加わるので、合わせて

　２Ｔの力で引き上げられる。定滑車と組み合わせると、かなり

　少ない力で自分を持ち上げることが可能。

　要するにその分、天井が頑張ってるわけで、もし単に天井と

　人間を綱でつなげば、手の力はゼロで済む♪　だから、小さ

　い力で済むのは一応、納得できるが、最初に学んだ時には

　だまされたような気がしたのも事実だ。それを言うなら、テコ

　の原理の不思議さも似たようなものか。

　実はＴだけ、先にすぐ求めることもできる。人、台、動滑車の

　全体で見ると、上向きに３Ｔで７８ｋｇｗを支えてるから、

　　３Ｔ＝７８　　　∴　Ｔ＝２６

　ただ、変わった解き方は間違えやすいので、お勧めはしない。

　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

２問目はｐ．１８の第３節、「抵抗力を受ける運動」の最初。これもア

スタリスク付きで最重要問題とされてるＡ問題だ。ＰＣトラブルで、

小さい数字の入力ができないので、代わりに半角の数字にしてある。

　２３　（糸でつながれた２物体の運動）　武蔵工大

　図のように水平台上に置かれた質量Ｍの物体Ａに糸を結び、

　滑車を通して糸の他端に皿をつり下げ、これにおもりＢをの

　せる。物体Ａと水平台の間の静止摩擦係数をμ、運動摩擦

　係数をμ´、重力の加速度をｇ（＝９．８ｍ／ｓ2）として

　次の問いに答えよ。ただし、糸、皿の質量は無視できるもの

　とする。

　（１）　物体Ａに作用するすべての力を図中に矢印で示し、

　　　　それぞれの名称を横に記せ。

　（２）　物体Ａが動きだそうとするときの、おもりＢの質量ｍ0を

　　　　求めよ。

　（３）　おもりＢの質量をｍ（＞ｍ0）としたときの物体Ａの加速度

　　　　ａ、糸の張力Ｔを求めよ。

　（４）　Ｍ＝２．５ｋｇ、μ´＝０．２、ｍ＝１．０ｋｇとしてＡの加速度

　　　　ａおよび糸の張力Ｔを計算せよ。

　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

（解答）

　（１）　図はここでは省略。物体Ａの中心あたり（重心）から

　　　　下向きの矢印が重力。Ａの底面の中心あたりから上向き

　　　　の矢印が垂直抗力で、左向きの矢印が摩擦力。Ａの右端

　　　　の真ん中あたりから右向きの矢印が張力。

　（２）　物体Ａに働く最大の静止摩擦力が、Ｂの重力と等しい。

　　　　∴　μＭｇ＝（ｍ0）ｇ　　　∴　ｍ0＝μＭ　・・・答

　（３）　動き出した後なので、動摩擦力を考える。

　　　　　（Ａの運動方程式　右向き正）

　　　　　　Ｔ－μ´Ｍｇ＝Ｍａ　・・・（ア）

　　　　　（Ｂの運動方程式　下向き正）　

　　　　　　ｍｇ－Ｔ＝ｍａ　・・・（イ）

　　　　（ア）（イ）を辺々足して、

　　　　　　（ｍ－μ´Ｍ）ｇ＝（Ｍ＋ｍ）ａ

　　　　　∴　ａ＝（ｍ－μ´Ｍ）ｇ／（Ｍ＋ｍ）　・・・答

　　　　これを（イ）に代入して、

　　　　　ｍｇ－Ｔ＝ｍ（ｍ－μ´Ｍ）ｇ／（Ｍ＋ｍ）

　　　　　∴　Ｔ＝ｍｇ－ｍ（ｍ－μ´Ｍ）ｇ／（Ｍ＋ｍ）

　　　　　　　　＝｛ （Ｍ＋ｍ）ｍｇ－ｍ（ｍ－μ´Ｍ）ｇ ｝／（Ｍ＋ｍ）

　　　　　　　　＝（１＋μ´）Ｍｍｇ／（Ｍ＋ｍ）　・・・答

　（４）　（３）で求めた答の式に、与えられた数値を代入する。

　　　　　ａ＝（１．０－０．２×２．５）×９．８／（２．５＋１．０）　

　　　　　　＝１．４　（ｍ／ｓ2）　・・・答

　　　　　Ｔ＝（１＋０．２）×２．５×１．０×９．８／（２．５＋１．０）

　　　　　＝８．４　（Ｎ）　・・・答

（感想・解説）

　２つの物体、水平台、定滑車、糸を使った、教科書レベルの基

　本問題。それぞれについて運動方程式を立てて、連立して解く

　だけだが、最初は正の向きの設定が出来なかったり、重力加

　速度ｇを付け忘れたりする。

　摩擦力は、動き出す直前なら静止摩擦係数、動いてる時なら

　少し小さい動摩擦係数を用いて計算。質量ではなく、垂直抗力

　（この問題では重力）と掛け合わせる点に注意。下の台が斜め

　だったり、上向きの別の力が加わってたりすると、摩擦力は減る。

　最近は動摩擦と言わずに「運動摩擦」と呼ぶのが普通なのかも。

　些細な呼び名の違いにすぎないが、後で調べてみたい。

　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　☆

最後の３問目は、糸と滑車ではなく、バネの弾性力を使う連結。

これもアスタリスク付きのＡだから、最重要問題。

　２４　（あらい水平面上の連結物体）　神奈川大　

図のように、質量ｍ1、ｍ2の物体Ａ、Ｂがばね定数ｋ、自然

の長さＬ0 のばねで連結されてあらい水平な床上に静止して

いる。重力加速度をｇとして次の問いに答えよ。

（１）　物体Ａに左向きの力を徐々に加え、力の大きさがＦに

　　　なったときＡが動きだした。このとき、物体Ａと床との間

　　　の静止摩擦係数を求めよ。

（２）　さらにＡを引き続けたところ、ばねの長さがＬになったとき

　　　Ｂも動きだした。このとき、物体Ｂと床との間の静止摩擦

　　　係数を求めよ。

（３）　その後、物体Ａ、Ｂともに左方へ一定の速さで動き続けた。

　　　Ａ、Ｂと床との間の運動摩擦係数は各々の静止摩擦係数の

　　　３分の２であるとして

　　　（ア）　ばねの自然の長さからの伸びを求めよ。

　　　（イ）　物体Ａに加えている左向きの力の大きさを求めよ。

　　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

（解答）

　（１）　Ａの静止摩擦係数をμ1とすると、

　　　　　Ｆ＝（μ1）（ｍ1）ｇ　　　

　　　　∴　μ1＝Ｆ／（ｍ1）ｇ　・・・答

　（２）　Ｂの静止摩擦係数をμ2とすると、

　　　　　ｋ（Ｌ－Ｌ0）＝（μ2）（ｍ2）ｇ　

　　　　∴　μ2＝　ｋ（Ｌ－Ｌ0）／（ｍ2）ｇ　・・・答

　（３）（ア）　物体が一定の速さなので、力はつり合っている。

　　　　　Ｂにおける伸びをｘとすると、

　　　　　ｋｘ＝（２／３）（μ2）（ｍ2）ｇ

　　　　　　　＝２ｋ（Ｌ－Ｌ0）／３

　　　　　∴　ｘ＝２（Ｌ－Ｌ0）／３　・・・答

　　　（イ）　Ａに左向きに加えた力をＧとすると、右向きの

　　　　　　動摩擦力＋バネの力とつり合っているので、

　　　　　　Ｇ＝（２／３）（μ1）（ｍ1）ｇ＋ｋｘ

　　　　　　　＝２Ｆ／３＋２ｋ（Ｌ－Ｌ0）／３

　　　　　　　＝２｛ Ｆ＋ｋ（Ｌ－Ｌ0）｝／３　・・・答

（感想・解説）　

　解答に使っていいのはどの文字なのか、ちょっと分かりにくい

　問題だし、最初のばねの長さがいくらなのかも明確ではない。　　

　私なら、「・・・自然の長さＬ0のままで静止している」と問題文に書く。

　これなら、自然の長さと最初の長さがまとめて示されるわけだ。

　物理の問題では、そもそも出題者の意図を理解することが問われる。

　あと、ばねの力が、ばね定数と伸び縮みだけで決定することを理解

　できてるかどうか。運動してるとか、２物体との連結とかは、関係ない。

　ちなみにレベルが高い問題なら、途中のばねの伸び縮み（振動など）

　を聞いて来るところだろう。この問題の設定でも、動き出すとばねの

　伸びが縮むのだから、本当は厄介。出題者の意図を超えて、マジメ

　に考え過ぎてしまう人もいるはずだ。

それでは今日はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　等速円運動、円すい振り子、万有引力と人工衛星～物理４

　　　単振動、ばね振り子、水平ばね２本～物理５

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　３３３０字）

　　　　　　　　　　　　（追記　４９字　；　合計　３３７９字）