等速円運動、円すい振り子、万有引力と人工衛星～物理の問題と解き方４

数研出版『物理重要問題集』の中から、適度な問題を選んで紹介＆解説

するシリーズ、第４弾。これまでの３本は次の通り。アクセス数は期待

してなかったが、多少の需要はあるようだ。

　等加速度直線運動、放物線、モンキー・ハンティング～物理１

　運動の法則、浮力、物体の連結と分離～物理２

　動滑車、摩擦力（静止・動）、バネの弾性力～物理３

今日は時間が無いし、風邪気味で体調が悪いから、すぐ１問目に

向かおう。第４章、円運動・万有引力。ｐ．２５のＡ問題２つから。

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　３３　（ばねにつけられたおもりの円運動）　愛知医大

　水平に置かれた円板上に半径に沿った溝があり、その中に

　質量ｍのおもりＡをつけた軽いばねが水平に置かれている。

　図は円板を上から見たようすを示している。

　ばねの定数は　ｋ、自然の長さは Ｌ0 であり、ばねの

　一端は円板の中心Ｏに固定されている。おもり、および

　ばねと溝の間には摩擦はなく、おもりの大きさは無視で

　きるものとする。この円板を水平面上でＯを中心として

　一定の角速度で回転したら、ばねの長さが Ｌ1 になった。

　そのとき、次の各量はいくらか。

　（１）　ばねにはたらく力の大きさ。

　（２）　おもりＡの加速度の大きさ。

　（３）　 おもりＡの速さ。

　（４）　円板の角速度。

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（解答）　

　（１）　（ばねの力）＝（ばね定数）×（伸び縮み）

　　　　　　　　　　　　＝ｋ（ Ｌ１－Ｌ0 ）　・・・答

　（２）　（ばねの力）＝（向心力）＝（質量）×（加速度）

　　　　∴　ｋ（ Ｌ 1 － Ｌ 0 ）＝ｍ×（加速度）

　　　　∴　（加速度）＝ ｋ（ Ｌ1 － Ｌ0 ）／ｍ　・・・答

　（３）　（加速度）＝｛（速さ）の２乗｝／（半径）

　　　　∴　（速さ）＝√｛（加速度）×（半径）｝

　　　　　　　　　　＝ √　｛ ｋＬ1（ Ｌ1－Ｌ0 ）／ｍ ｝　・・・答

　（４）　（角速度）＝（速さ）／（半径）

　　　　　　　　　　＝ √　｛ ｋ（ Ｌ1－Ｌ0 ）／ｍＬ1 ｝　・・・答

（感想・解説）

　非常に親切で簡単な誘導問題だが、円板の溝を難しく考えて

　しまうと面倒な話になる。溝は、全体が安定するまではおもり

　に力を与えるが、等速円運動として安定した後は無関係。

　おもりの速さが変わらなくなった後は、溝はおもりに力を

　与えてない。

　ただし実際の装置だと、完全な理想的状態は作れないので、

　溝からおもりへの力が僅かにあるはずだ。

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　３４＊　（円すい振り子）　東京商船大　９０年

　　次の文章の中の〔　　〕にあてはまる式を記せ。

　　自然の長さが Ｌ0、ばね定数が ｋ のつる巻きばねの上端を

　固定し、下端に、質量がｍの質点を結ぶ。

　　図のように、このばねと質点を、鉛直線のまわりに大きすぎ

　ない角速度 ω で回転させたとする。ただし、ばねの質量は

　小さくて無視できるとする。

　　このとき、ばねの伸びを ｍ、ω、Ｌ0、ｋ で表す式を以下の

　順序にしたがって求めたい。

　　ばねの伸びを ｘ、ばねが質点から受ける力の大きさをＴ、

　質点の円運動の半径をｒ、質点が受ける遠心力の大きさ

　をＦとすると、明らかに、Ｔ＝ｋｘ である。また、Ｆを ｍ、ω、

　ｒ で表す式は、Ｆ＝〔　　ア　　〕である。よって、Ｆ／Ｔを

　ｋ、ｘ、ｍ、ω、ｒ を用いて　〔　　イ　　〕のように表すことが

　できる。一方、力のつりあいの考察から、Ｆ／Ｔを

　ｒ、Ｌ0、ｘ を用いて 〔　　ウ　　〕のようにも表せる。Ｆ／Ｔ

　についての、以上の２つの式を利用して計算すると、

　ばねの伸びｘをｍ、ω、Ｌ0、ｋで表す式

　ｘ＝　〔　　エ　　〕を得る。

　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

（解答）　

　（ア）　少なくとも短時間、等速円運動と考えられるから、公式より

　　　　（遠心力　Ｆ） ＝ ｍｒ（ωの２乗）　・・・答

　（イ）　Ｆ／Ｔ＝　ｍｒ（ωの２乗）／ｋｘ　・・・答

　（ウ）　ばねの力Ｔの半径方向の成分が遠心力Ｆだから、

　　　　　Ｔ×ｒ／（Ｌ0＋ｘ）＝Ｆ

　　　　∴　Ｆ／Ｔ＝ｒ／（Ｌ0＋ｘ）　・・・答

　（エ）　（イ）と（ウ）より、

　　　　ｍｒ（ωの２乗）／ｋｘ＝ｒ／（Ｌ0＋ｘ）

　　　　∴　ｍ（ωの２乗）（Ｌ0＋ｘ）＝ｋｘ

　　　　∴　｛ｋ－ｍ（ωの２乗）｝ｘ＝ｍ（ωの２乗）Ｌ0

　　　　∴　ｘ＝ｍ（ωの２乗）Ｌ0／｛ｋ－ｍ（ωの２乗）｝　・・・答

（感想・解説）

　やり方も使う文字も指定されてるが、おそらく重力加速度ｇ

　を使って答えた受験生は少なくないはず。鉛直方向のつり合

　いを（とりあえず）無視して、水平面での円運動を中心に見た

　問題なので、出題の意図に合わせて考えて行くことが必要。

　あと、等速円運動かどうかもハッキリしないので、（ア）の解答

　で一言付け加えておいたが、この点で迷った受験生はほとん

　どいないだろう。

　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

　４０＊　（人工衛星）　東京電気大

　万有引力を向心力として地球のまわりを等速円運動する

　人工衛星について、次の問いに答えよ。人工衛星が地球

　から受ける力は、地球の中心に地球の質量が集まったと

　して計算してよい。ただし、人工衛星の質量をｍ〔ｋｇ〕、

　地表からの高さをｈ〔ｍ〕、万有引力定数をＧ

　〔Ｎ・（ｍの２乗）／（ｋｇの２乗）〕、地球の質量と

　半径をそれぞれＭ〔ｋｇ〕、Ｒ〔ｍ〕とする。

　（１）　地表面における重力の加速度をＧ、Ｍ、Ｒを

　　　　用いて表せ。

　（２）　人工衛星の速さ（ｍ／ｓ）を求めよ。

　（３）　人工衛星の周期（ｓ）を求めよ。

　（４）　地球から無限に離れたときの位置エネルギーを基準に

　　　　して、人工衛星のもつ位置エネルギー（Ｊ）を求めよ。

　（５）　地表面近くを円運動でまわる人工衛星の速さを第１

　　　　宇宙速度とよぶ。一方、物体を地球の引力から脱出

　　　　させて無限遠方に飛び去らせるための地表面での

　　　　最小の速さを第２宇宙速度とよぶ。第２宇宙速度は

　　　　第１宇宙速度の何倍か。

　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

（解答）

　（１）　地表面にある質量１ｋｇの物体について、重力加速度を

　　　　　ｇ とすると、

　　　　　　（重力）＝（万有引力）より

　　　　　　１×ｇ＝Ｇ×１×Ｍ／（Ｒの２乗）

　　　　　∴　ｇ ＝ ＧＭ／（Ｒの２乗）　〔ｍ／（ｓの２乗）〕　・・・答

　（２）　人工衛星の速さを ｖ とすると、

　　　　　（向心力）＝（万有引力）より、

　　　　　ｍ（ｖの２乗）／（Ｒ＋ｈ）＝ＧｍＭ／｛（Ｒ＋ｈ）の２乗｝

　　　　∴　ｖ ＝ √｛ＧＭ／（Ｒ＋ｈ）｝　（ｍ／ｓ）・・・答

　（３）　（周期）＝（円軌道の長さ）／（速さ）

　　　　　　　　＝２π（Ｒ＋ｈ）／√｛ＧＭ／（Ｒ＋ｈ）｝

　　　　　　　　＝２π√〔｛（Ｒ＋ｈ）の３乗｝／ＧＭ〕　（ｓ）　・・・答

　（４）　公式より、　－ＧｍＭ／（Ｒ＋ｈ）　（Ｊ）　・・・答

　（５）　（２）で、地表からの高さｈ＝０として、

　　　　　（第１宇宙速度）＝√（ＧＭ／Ｒ）

　　　　一方、（４）の答でもｈ＝０として、

　　　　　地表での人工衛星の位置エネルギーは、－ＧｍＭ／Ｒ。

　　　　　∴　（第２宇宙速度ｖ）

　　　　　　　　　＝（位置エネルギー０の無限遠に運ぶ最小の速さ）

　　　　　　　　　＝（運動エネルギーがＧｍＭ／Ｒである速さ）

　　　　　∴　ｍ（ｖの２乗）／２＝ＧｍＭ／Ｒ

　　　　　∴　ｖ＝√（２ＧＭ／Ｒ）

　　　　　∴　（第２宇宙速度）／（第一宇宙速度）

　　　　　　　　　＝√（２ＧＭ／Ｒ）／√（ＧＭ／Ｒ）

　　　　　　　　　＝√２　（倍）　・・・答

（感想・解説）

　まるで教科書の説明みたいな、完全な基本問題。

　人工衛星の位置エネルギーとは、無限遠に行くまでに

　「する」仕事のこと。つまり、無限遠までに「される」仕事

　にマイナスを付けたものになる。

　される仕事は、引力にさからって動かす仕事だから、中心

　と結ぶ距離方向に引力を積分したもの。引力の分母が

　距離の２乗だから、積分すると分母は距離の１乗になる。

　分数関数の積分で、積分定数を省いて書くと、

　∫｛１／（ｒの２乗）｝ｄｒ＝－１／ｒ

　この分母が０（ゼロ）だとまずいので、地球の中心（ｒ＝０）を

　考える代わりに、無限遠（ｒ＝無限大）を考えることになる。

最後の答、宇宙速度の倍率は美しいので、多くの少年・少女を

宇宙関連、ロケット関連の道に誘い込んで来たことだろう。　　　

それでは、今日はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　単振動、ばね振り子、水平ばね２本～物理５

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２９７４字）　　　　

　　　　　　　　　　　（追記　２３字　；　合計２９９７字）