数学甲子園２０１６予選、全２０問の問題、解き方、感想

（☆１７年９月８日の追記：　ようやく本選の問題が公開された

　　　　　　　　　　　　　　　　　ので、別記事をアップした。

　数学甲子園２０１６本選１ｓｔ　Ｓｔａｇｅ、全問題の解き方と感想　）

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予選実施からほぼ２ヶ月、本選終了から３週間。ようやく数学甲子園

２０１６の予選問題と答（最後の数値のみ）が公開されたので、

今年も２０問全ての解き方と感想をまとめとこう。去年までの記事は、

この記事の末尾にまとめてリンクを付けてある。

数学甲子園の正式名称は、全国数学選手権大会（第９回）。日本数

学検定協会の公式サイトに、問題と答のｐｄｆファイルがある。登録も

アプリも不要で、すぐ見れるしダウンロードもできるので、まずあちら

をお勧めしとこう。

数学に限らず、問題というのは、解説を読むのと自分で解くのとで

は全く違ってるし、自分で試した後に説明を読む方が遥かに有意義

で面白い。予選の問題は１問平均３分という設定になってるし、半分

くらいは高校の教科書レベルだ。「甲子園」と言っても、そんなに凄い

球が来るわけではないので、バットを振れば結構当たるはず♪　

ただし、今年は去年までと比べて少し難しくなってる。緊張した状態

で６０分制限だと、高校３年の時の私で１７問前後、８５点前後だろう。

どんなに調子が良くても、１９問、９５点が限界。問題４か

５か１８、どれかで苦戦するはずだ。。

　　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　

以下、問題文はそのままの引用ではなく、省略表現にしてある。図だ

けは縮小コピペさせて頂いた。著作権的に許容範囲の引用と考える。

問題１．　２ｘ²＋６ｘｙ＋４ｙ²－５ｘ－４ｙ－３　の因数分解。

　　ｘ、ｙの２次式だから、２次の係数が小さいｘについて整理して、

　　たすき掛け２回でおしまい。簡単だから１分前後で解きたい所。

　　　２ｘ²＋（６ｙ－５）ｘ＋４ｙ²－４ｙ－３

　＝２ｘ²＋（６ｙ－５）ｘ＋（２ｙ＋１）（２ｙ－３）

　＝（２ｘ＋２ｙ＋１）（ｘ＋２ｙ－３）　・・・答

問題２．　９０°≦θ≦１８０°でｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝１／２

　　　　　　の時、ｓｉｎθ－ｃｏｓθを求めよ。

　これも教科書の練習問題レベル。１分前後か。

　（ｓｉｎθ－ｃｏｓθ）² ＝１－２ｓｉｎθｃｏｓθ

　　　　　　　　　　　　　＝１－｛（ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）² －１｝

　　　　　　　　　　　　　＝７／４

　θの範囲より、ｓｉｎθ－ｃｏｓθ≧０だから、

　ｓｉｎθ－ｃｏｓθ＝√７／２　・・・答

問題３．　２，０，１，６，０，９，１，８の８個すべてを並べてできる

　　　　　　８ケタの整数の個数。

　本選の開催日を使った、シャレた基本問題。

　０と１が２個あるから、公式を利用。

　８コの並べ方は、　８！／（２！・２！）＝１００８０

　その内、先頭が０のものは、残り７コの並べ方を考えて、

　７！／２！＝２５２０

　∴　１００８０－２５２０＝７５６０（個）　・・・答

　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

問題４．　不定方程式 ２．７ｘ＋３．１４ｙ＝２３．１の解で、

　　　　　　ｘ、ｙともに絶対値が２ケタの整数であるもの。

　「絶対値」という言葉は無意味であって、もし入れるのなら

　「絶対値が２ケタの自然数」と書くべき所♪　負の整数の

　ケタ数というものを避けたのだろうか。

　突っ込みはさておき、両辺５０倍して、

　　１３５ｘ＋１５７ｙ＝１１５５

　さて、数分間でどう解くか、迷う所だ。普通の不定方程式

　なら係数が小さいから、解を１組見つけてすぐ解決する。

　私の感覚で一番実戦的なのは、ｘの項と定数項から

　ｙが１５の倍数だと気付いた後、±１５，±３０・・・と

　代入してみる方法。多分、それほど大きな絶対値ではない

　はず。ｙ＝－１５ですぐ成功して、「すべて求めよ」とは書い

　てないから、減点覚悟で終了。ｘ＝２６。　（答）

　先に、１３５（ｘ＋ｙ）＋２２ｙ＝１１５５

　とか変形してもいいけど、この種のテクニカルな

　変形は、余計わかりにくくなるリスクもある。　

　この問題を最後に回して、残り６分ほどあれば、

　セオリー通り（？）、真面目に解いてもいい。

　ｘ＝－ｙ＋８＋（－２２ｙ＋７５）／１３５

　よって、－２２ｙ＋７５は１３５で割り切れるから、

　－２２ｙ＋７５＝１３５ｍとおいて、

　ｙ＝－６ｍ＋３＋３（－ｍ＋３）／２２

　よって－ｍ＋３は２２で割り切れるから、

　－ｍ＋３＝２２ｎとおいて、

　ｙ＝－６（３－２２ｎ）＋３＋３ｎ

　　＝１３５ｎ－１５

　ｙは２ケタだから、ｎ＝０、ｙ＝－１５しかない。

問題５．　図で、ＡＱ：ＱＣ＝３：５。ＡＲの長さは？　

　　　　　（注．　赤線と赤字は私が追加したもの。）

　外角の２等分線にはどんな定理があったかな・・とか

　考え込む時間はないから、Ｐを通ってＡＢに平行な

　直線を引いてみると、わりと簡単に解決する。ただ、

　補助線の引き方は色々あるから、迷って焦る所だ。

　三角形ＡＤＰは二等辺三角形だから、ＤＰ＝ｘと

　おくと、ＤＣ＝ｘ－２。

　三角形ＡＢＣとＤＰＣが相似だから、

　３：２＝ｘ：（ｘ－２）　　∴　ｘ＝６

　三角形ＡＲＱとＤＰＱも相似だから、

　ＡＲ：ＡＱ＝ＤＰ：ＤＱ

　∴　ＡＲ：（３／４）＝６：（２１／４）

　∴　ＡＲ＝６／７　・・・答

　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

問題６．　整式ｘ⁴＋ｘ²＋３ｘ＋１を整式Ａで割ると、

　　　　　商ｘ²－２、余り３ｘ＋７。Ａを求めよ。

　　４次式から３ｘ＋７を引いて、　ｘ⁴＋ｘ²－６。

　　ｘ²－２で割って、　ｘ²＋３　・・・答

　　脳内でｘ²をＸとおけば、割り算は暗算で一瞬。

　　明らかに、それを意識して作った問題だ。

問題７．　３点Ａ（１，６）、Ｂ（８，－１）、Ｃ（１，－２）を通る

　　　　　円の半径。

　　ＡとＣに注目すると、円の中心のｙ座標は２．

　　よって、円は（ｘ－ｐ）²＋（ｙ－２）²＝ｒ²

　　とおけて、ＡとＢの座標を代入すれば、

　　ｐ＝４，ｒ＝５　・・・答

問題８．　（４のｘ乗）－９（２のｘ乗）＋８＝０　を解け。

　　２のｘ乗をＸとおくと、　Ｘ²－９Ｘ＋８＝０　（Ｘ＞０）

　　∴　Ｘ＝１，８　　　　∴　ｘ＝０，３　・・・答

　　暗算でスパッと解いて時間を稼ぎたい。

問題９．　Σ（２ｋ－ｎ）　　（ｋ＝１～ｎ）

　　２Σｋ－Σｎ＝ｎ（ｎ＋１）－ｎ²

　　　　　　　　　　＝ｎ　・・・答

　　これも暗算で、いきなり答を書き込む感じ。　

問題１０．　５人の身長と体重は次の通り。相関係数は？

　　　　　　ａ（１７１ｃｍ，６８ｋｇ）、ｂ（１６４ｃｍ，５７ｋｇ）

　　　　　　ｃ（１６７ｃｍ，６０ｋｇ）、ｄ（１７５ｃｍ，７４ｋｇ）

　　　　　　ｅ（１７３ｃｍ，６６ｋｇ）

　　　身長の平均は１７０ｃｍ。体重の平均は６５ｋｇ。

　　（身長の分散）＝（１²＋６²＋３²＋５²＋３²）／５＝１６

　　（体重の分散）＝（３²＋８²＋５²＋９²＋１²）／５＝３６

　（共分散）

　＝｛１・３＋(－６)・(－８)＋(－３)・(－５)＋５・９＋３・１｝／５

　＝１１４／５

　　∴　（相関係数）＝（１１４／５）／√１６√３６

　　　　　　　　　　　　＝１９／２０　・・・答

　　統計の問題は去年も１問だったが、今後は増えるかも。

　　整数問題が多すぎるから、その代わりとか。

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問題１１．　1辺４ｃｍの正五角形の中に、小さい正五角形

　　　　　がある。色を塗った部分の面積と小さい正五角形

　　　　　の面積が等しい時、小さい正五角形の１辺の長さ。

大小の正五角形の面積比が２：１、相似比は√２：１。

∴　４×１／√２　＝２√２ （ｃｍ）　・・・答

一瞬、難問かと緊張してしまう、超簡単な問題。

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問題１２．　図で辺ＢＣの長さは？

　三角形ＡＥＤとＤＥＣが相似だから、　ＢＥ＝６。ＢＤ＝９．

　一方、ＣＤ²＝９²－３²＝７２

　∴　ＢＣ＝√（９²＋７２）＝３√１７ （ｃｍ）　・・・答

　円に内接する四角形で、1辺を共有する直角三角形２つの組

　合せだから、上手い方法があるかも知れないけど、普通に

　相似と三平方の定理で計算した方が速くて無難。

問題１３．　袋の中に白球３コと赤球２コが入っている。１コ

　　　　取り出して、白なら元に戻し、赤なら戻さない。この

　　　　試行を２回続ける時、２回目に赤の確率。

　（白、赤の確率）＋（赤、赤の確率）

　＝（３／５）×（２／５）＋（２／５）×（１／４）

　＝１７／５０　・・・答

　復元抽出と非復元抽出を組み合わせた基本問題。

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問題１４．　分母を有理化せよ。

　　　　　１／（２√３＋３√２＋√６）

　（２√３＋３√２－√６）／｛（２√３＋３√２）²－６）｝

　＝（２√３＋３√２－√６）／１２（√６＋２）

　＝（２√３＋３√２－√６）（√６－２）／１２×（６－４）

　＝（√３＋√６－３）／１２　・・・答　　

　単純だけど、計算ミスに注意。何か上手い技があるかも。

問題１５．　１≦Ａ＜Ｂ＜Ｃ≦９をみたす３つの整数について、

　　　　７Ａ７，　７Ｂ７，　７Ｃ７が等間隔に並ぶ素数のとき、

　　　　Ａ、Ｂ、Ｃを求めよ。

　７１７，７４７，７７７は３で割り切れるので素数ではない。

　７６７も１３で割り切れる。この時点で、残る候補は　

　７２７，７３７，７５７，７８７，７９７。

　等間隔だから、７２７，７５７，７８７のはず。

　∴　Ａ＝２，　Ｂ＝５，　Ｃ＝８　・・・答

　ちなみに、残る候補５つが素数かどうかは、穴埋め問題

　だから無関係。これしか可能性がないから調べなくてよい。

　間違ってたら、出題ミスで全員正解のはず♪　

　ただし、７６７が素数でないことには気付かないと、

　７３７，７６７，７９７もＯＫだと誤解してしまう。

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（以下の５問は、字数制限を超えてしまったので、翌週まで非公開）

（週が変わったので、既に一番下に追記した）

以上、ごく簡単に書いても、２０問すべてだと５０００字近くの

長い記事になる。やはりスピードを上げるには、暗算や脳の

イメージ能力を高めるのが近道だろう。

今週は計２万字制限をオーバーしてしまったので、２４時ま

で一部は非公開。たかが自主規制、されど自主規制。

ではまた来週。。☆彡　　

ｃｆ．数学甲子園２０１６（Ａｂｅｍａライブ配信）、前半感想

　　数学甲子園２０１５準々決勝、全問コメント＆解き方

　　２０１５予選、全２０問の問題、解き方、感想

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　　２０１３予選のポイント、問題１５の解説＆解答

　　２０１２、予選問題＆３日ぶりのラン、まだ暑い・・

　　数学の甲子園、全国数学選手権の問題にチャレンジ☆ 　（２０１１）

　　　　　　　　　　　（計　３７７０字　；　今週２００００字）　

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では日付変わって翌週になったので、非公開にしてた部分を復活。

問題１６．　ｘはすべての実数。

　　　　　関数 ｙ＝（ｘ²＋４ｘ＋１）（ｘ²＋４ｘ＋６）＋２ｘ²＋８ｘ＋３

　　　　　の最小値と、そのときのｘの値。　

　ｘ²＋４ｘ＋１＝Ｘとおくと、

　ｙ＝Ｘ（Ｘ＋５）＋２Ｘ＋１

　　＝Ｘ²＋７Ｘ＋１

　　＝（Ｘ＋７／２）²－４５／４

　また、　Ｘ＝（ｘ＋２）²－３だから、　Ｘ≧－３

　よって、ｙはＸ＝－３で最小値－１１（ｘ＝－２）　・・・答

　これも、もっと上手い解き方があるかも知れないけど、

　おき方とかで迷うより、普通に計算。１分前後で済む。

　図を描くと時間がかかるので、頭の中だけでイメージ。

　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

問題１７．　次の群数列の第２１００項を既約分数で答えよ。

　　　１／１　；　１／２，２／１　；　１／３，２／２，３／１　；　

　　　１／４，・・・

　第ｎ群までの項の総数は、

　　１＋２＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２

　よって、第２１００項が第ｎ群に含まれるための条件は、

　　（ｎ－１）ｎ／２＜２１００≦ｎ（ｎ＋１）／２

　∴　（ｎ－１）ｎ＜４２００≦ｎ（ｎ＋１）

　∴　ｎ＝６５

　第６４群までの項の総数は、６４×６５／２＝２０８０。

　よって、第２１００項は第６５群の２０番目。

　∴　２０／４６＝１０／２３　・・・答

最後でうっかり、２０／４５＝４／９と答えた人がいたはず♪

　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

問題１８．　正の整数ａ、ｂ、ｃ、ｄが、

　　　　（ａ＋ｂｉ）（ｃ－ｄｉ）＝１７

　　　　を満たすとき、ａｂの値はただ１通りに定まる。

　　　　その値と、正の整数の組（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）すべてを求めよ。

　（ａｃ＋ｂｄ）＋（ｂｃ－ａｄ）ｉ＝１７

　∴　ａｃ＋ｂｄ＝１７，　ｂｃ＝ａｄ

　左の等式より、４数はすべて１６以下。

　また、２式よりｄを消すと、　ａｃ＋ｂ（ｂｃ／ａ）＝１７

　∴　（ａ²＋ｂ²）ｃ＝１７ａ　

　ｃは１６以下だから、素数１７では割れない。

　よって、　ａ²＋ｂ²＝１７，３４，・・・

　試しに ａ²＋ｂ²＝１７と考えると、ｃ＝ａ，　ｄ＝ｂｃ／ａ＝ｂ。

　これで条件は満たされるので、ａ²＋ｂ²＝１７　・・・答

　（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＝（１，４，１，４），（４，１，４，１）　・・・答　

　穴埋め問題だからこれでいいが、記述式で完答するのは

　大変。ａ，ｂ≦１６だから、　ａ²＋ｂ²≦５１２

　すべての場合を書き並べて調べるの実戦的かも♪

　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

問題１９．　ｙ＝｛（３のｘ乗）＋（３の－ｘ乗）｝／２，　ｘ＜０。

　　　　ｙ＋√（ｙ²－１）を、根号を用いずにできるだけ

　　　　簡単なｘの式で表せ。

　　　ｙ²－１＝｛（３のｘ乗）－（３の－ｘ乗）｝²／４

　　　ｘ＜０より、　（３のｘ乗）＜（３の－ｘ乗）だから、

　　　ｙ＋√（ｙ²－１）

　　　　＝｛（３のｘ乗）＋（３の－ｘ乗）｝／２

　　　　　　　＋｛（３の－ｘ乗）－（３のｘ乗）｝／２

　　　　＝（３の－ｘ乗）　・・・答

　　　ｘ＜０という条件に注意するだけで、普通の式変形。

問題２０．　∫ｆ（ｓ）ｄｓ　（ｓはａからｘ）

　　　　　　　　　＝ｘ²＋２ｘ－∫ｆ（ｔ）ｄｔ　（ｔは１から２）

　　　　　　ｆ（ｘ）と定数ａを求めよ。

　　両辺をｘで微分すると、

　　　ｆ（ｘ）＝２ｘ＋２　・・・答

　　よって、与式より、

　　〔ｓ²＋２ｓ〕（ｓはａからｘ）

　　　　　　＝ｘ²＋２ｘ－〔ｔ²＋２ｔ〕（ｔは１から２）

　　∴　ｘ²＋２ｘ－（ａ²＋２ａ）＝ｘ²＋２ｘ－５

　　∴　ａ²＋２ａ－５＝０

　　∴　ａ＝－１±√６　・・・答

　　定積分を用いた関数の基本問題。４文字使われてるが、

　　落ち着いて解けば迷うほどのことはない。

　　　　　　　　　　　　　　　（翌週の追記　１３５６字）

　　　　　　（さらなる追記　７５字　；　合計　５２０１字）