単振動、ばね振り子、水平ばね２本～物理の問題と解き方５

問題文をブログに書き写すのが面倒で、なかなか進まない『物理重要

問題集』シリーズ、第５弾。今回も、数研出版が集めた受験問題を解説

してみよう。これまでの４本は次の通り。他にも物理カテゴリーの記事

は色々あるし、数学カテゴリーには多数の記事がある。

　等加速度直線運動、放物線、モンキー・ハンティング～物理１

　運動の法則、浮力、物体の連結と分離～物理２

　動滑車、摩擦力（静止・動）、バネの弾性力～物理３

　等速円運動、円すい振り子、万有引力と人工衛星～物理４

今回は第５章、単振動・単振り子（ｐ．３０～）のＡ問題から

３問。いつものように、式や説明などはすべて私が書いたもの。

元の問題集は、最後の数値など、最低限の事しか書いてない。

　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　

　４３　（質点の単振動）　東京商船大

　次の文章の中の空欄（長方形）にあてはまる数値、またはグラフ

　を描け。ただし、数値は有効数字２桁まで求めよ。

　　質量９ｋｇの質点がｘ軸上を単振動している。ｘ＝１ｍの点

　Ａをｘ軸の正の向きに通過した質点が、ｔ＝３ｓでｘ＝３ｍ

　の点Ｂに到達し、その後、向きをかえ、ｔ＝６ｓで点Ａを

　ｘ軸の負の向きに通過した。質点の速さは、点Ａを通過する

　とき最大となり、点Ｂでは０であった。

　（１）　この質点の運動について、時刻ｔと座標ｘの関係を表す

　　グラフを、時刻ｔ＝０から９ｓまで、右図に描け。

　（２）　単振動しているとき、速さの最大値は振幅と角振動数

　　（振動数に２πをかけたもの）の積であるから、点Ａで質点

　  がもつ運動エネルギーは　　　　　Ｊである。

　（３）　この運動では、質点にはたらく力の大きさは点Ａから

　　質点までの距離に比例し、その比例定数は質量と角振

　　動数を用いて表すことができる。時刻ｔ＝９ｓのとき、

　　質点にはたらく力の大きさは　　　　　Ｎである。

　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

　解答（１）

　　　

　（２）グラフのように、振幅（上下の触れ幅）は２ｍ。

　　　また、周期は１２ｓだから、

　　　（角振動数）＝２π／（周期）

　　　　　　　　　　　＝２π／１２

　　　　　　　　　　　＝π／６

　　　∴　（点Ａでの速さ）＝（速さの最大値）

　　　　　　　　　　　　　　　＝（振幅）×（角振動数）

　　　　　　　　　　　　　　　＝２×（π／６）

　　　　　　　　　　　　　　　＝π／３

　　　∴　（点Ａでの運動エネルギー）

　　　　　　　　＝（１／２）×（質量）×（速さ）²

　　　　　　　　＝（１／２）×９×（π／３）²

　　　　　　　　＝π²／２

　　　　　　　　≒９．８６／２

　　　　　　　　≒４．９　（Ｊ）　・・・　答　

　（３）　（力）＝－（質量）×（角振動数）²×（変位）

　　　　　　　　＝－９×（π／６）²×（－２）

　　　　　　　　＝π²／２

　　　　　∴　（力の大きさ）≒４．９　（Ｎ）　・・・　答

　（解説・感想）

　　グラフの縦軸がｘ軸になっている点と、単振動の中心が

　　原点ではなくｘ＝１であることに注意。問題文の最初に

　　時刻ｔ＝０ｓと書いてないのは意図的なものだろうが、

　　おそらく気づかなかった受験生が多いと想像する。

　　後は親切で簡単な基本問題で、（２）と（３）の計算式

　　が同じである点も嬉しい。ただ、試験会場だと逆に、やや

　　不安になる所かも。

　　なお、「力」とは向きも考えた概念で、この問題の場合は

　　直線運動だから、正負の符号があるもの。一方、「力の

　　大きさ」とは、力の絶対値だから０以上で、符号なし。

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　４６　（ばね振り子）　　都立大 ９１年

　自然の長さＬ、ばね定数ｋの、重さを無視できるばね（つり巻き

　ばね）がある。 重力加速度の大きさをｇとして、次の問いに答

　えよ。

　（１）　上端を固定し、下端に質量ｍのおもりをつるしたら、自

　　然の長さから長さ ｘ0 だけ伸びてつりあった。ｘ0 を求めよ。

　（２）　次に、つりあいの位置から長さＡだけばねを伸ばして

　　静かにはなすと、おもりは単振動を行った。この振動で、

　　ばねが自然の長さからｘだけ伸びているときの、おもりの

　　加速度ａを、ｋ、ｍ、ｘ、ｘ0 を使って表せ。ただし、鉛直

　　下向きを正の向きとする。また振動の周期Ｔはいくらか。

　（３）　（２）の振動において、ばねが自然の長さからｘだけ

　　伸びているときの、ばねの弾性力の位置エネルギー

　　Ｗと、おもりの重力の位置エネルギーＵはいくらか。

　　ただし、位置の原点は自然の長さの位置にとる。また、

　　このときのおもりの運動エネルギーＫを求めよ。解答

　　にｘ0が現れたときには（１）で求めたｘ0を代入せよ。

　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

　解答（１）　ｋ ｘ0 ＝ ｍｇ　　　

　　　　　　∴　ｘ0 ＝ ｍｇ／ｋ　・・・　答

　（２）　（加速度ａ）＝（力）／（質量）

　　　　　　　　　　　＝－ｋ（ｘ－ｘ0）／ｍ

　　　　　　　　　　　＝ｋ（ｘ0－ｘ）／ｍ　・・・　答

　　　　　（周期Ｔ）＝２π√（ｍ／ｋ）　・・・　答

　（３）　（弾性エネルギーＷ）

　　　　　　　＝（１／２）ｋｘ²　・・・　答

　　　　　（位置エネルギーＵ）＝－ｍｇｘ　・・・　答

　　　　長さｘ0の時、

　　　　（力学的エネルギー）

　　　　　　＝（１／２）ｋ（ｘ0）²－ｍｇｘ0

　　　　長さｘの時、

　　　　（力学的エネルギー）

　　　　　　＝（１／２）ｋｘ²－ｍｇｘ＋Ｋ

　　　　よって、力学的エネルキー保存則より、

　　　　（１／２）ｋ（ｘ0）²－ｍｇｘ0

　　　　　　　　＝（１／２）ｋｘ²－ｍｇｘ＋Ｋ

　　　　ｘ0＝ｍｇ／ｋを代入して、Ｋについて解くと、

　　　　Ｋ＝（１／２）ｋ（ｘ0）²－ｍｇｘ0

　　　　　　　　　　－（１／２）ｋｘ²＋ｍｇｘ

　　　　　＝（１／２）ｋ（ｍｇ／ｋ）²－ｍｇ（ｍｇ／ｋ）

　　　　　　　　　　　－（１／２）ｋｘ²＋ｍｇｘ

　　　　　＝ｍｇｘ

　　　　　　＋（ｋ／２）｛Ａ²－ｘ²－ｍ²ｇ²／ｋ²｝　・・・　答

　（解説・感想）

　　丁寧な問題文と誘導で、出題者の実力を感じる。下の問題

　　文と比べるとかなりの差がある。それはさておき、（３）の

　　運動エネルギーだけが重要で、そこまでは誘導しながら、

　　少しずつ点数を与えてるわけだ。

　　最後の計算がやや面倒だが、保存則の式が書けてれば、

　　ある程度以上の点数をもらえると思う。ちなみに、「振り子」

　　とは普通、左右に揺れる物を指す言葉だが、「ばね振り子」

　　の場合は上下の振動を指すようだ。

　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

　４８　（２本のばねによる単振動）　　千葉工大

　質量ｍの物体Ａが、ばね定数がｋ1で自然長がＬ1の

　ばねＳ1と、ばね定数がｋ2で自然長がＬ2のばね

　Ｓ2に図のように結びつけられて摩擦のない水平面

　上に静止している。

　このとき、Ｓ1、Ｓ2は自然の長さの状態にあり、Ａの

　位置をｘ軸の原点Ｏとし、Ｓ2側を正の向きとする。

　Ｓ1の左端とＳ2の右端は壁に固定されている。ばね

　の質量と空気の抵抗はないとして、次の問いに答えよ。

　〔１〕　Ａに外力Ｆを加えてＡを右方にａだけ変位させた。

　　（１）　Ｓ1がＡに及ぼす力はいくらか。

　　（２）　Ｓ2がＡに及ぼす力はいくらか。

　　（３）　Ａに加えた外力Ｆはいくらか。

　　（４）　外力ＦがＡになした仕事はいくらか。

　〔２〕　〔１〕の状態から外力ＦをＡから取り除いたら

　　　　Ａは単振動した。

　　（５）　Ａが原点Ｏを通過するときのＡの速さはいくらか。

　　（６）　Ａの単振動の周期はいくらか。

　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

　解答〔１〕

　　（１）　－ｋ1 ａ　・・・　答

　　（２）　－ｋ2 ａ　・・・　答

　　（３）　（外力Ｆ）＝－（上の２つの力の和）

　　　　　　　　　　　＝ （ｋ1＋ｋ2）ａ　・・・　答

　　（４）　（外力がなした仕事）

　　　　　　＝（ばねＳ1とＳ2が得た弾性エネルギーの和）

　　　　　　＝（１／２）（ｋ1＋ｋ2）ａ²　・・・　答

　　〔２〕（５）　（４）の仕事が、原点での運動エネルギー

　　　　　　∴　（１／２）（ｋ1＋ｋ2）ａ²　

　　　　　　　　　　　＝（１／２）ｍ（速さ）²　

　　　　　　∴　（速さ）＝ａ√（ｋ1＋ｋ2）／ｍ　・・・答

　　　　　（６）　ばね定数 ｋ1＋ｋ2 の１本のばねに

　　　　　　　　よる単振動と考えられるから、公式より、

　　　　　　　　（周期）＝２π√｛ｍ／（ｋ1＋ｋ2）｝　・・・答

　（解説・感想）

　　ばねが２本あることだけがポイント。簡単な誘導も付い

　　てるが、解いた経験がほとんど無い受験生だと、考え

　　が上手くまとまらないかも知れない。

　　前の問題もそうだが、もちろん実際には、徐々に振幅

　　が縮まる減衰振動となる。ばねとおもりが失った力学

　　的エネルギーは、天井や壁の振動になったり、熱エネ

　　ルギーに変換されるはず。鉛直方向で重いおもりを

　　振動させると、ばね自体も少し伸びてしまって、自然の

　　長さやバネ定数が変わるだろう。

なお今週は計１６３２６字で終了。ではまた来週。。☆彡

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　３０６１字）