満月の大きさと楕円軌道の変化～月・地球・太陽の万有引力による三体問題

昨日、２０１６年１１月１４日は、「スーパームーン」が見れるという

ことで、メディアが多少盛り上がってた。

国立天文台ＨＰ（暦計算室）は、スーパームーンにはっきりした定義は

ないと書いてるが、要するに「超・月」。「超」大きく見える満「月」という

こと。１年ちょっと経つ度に現れる大きな満月か、その中でも数十年

に１回くらいしかない大きさの満月か、どちらかを表してるわけだろう。

どちらにせよ、それほど変わらないようで、小さい時と比べて大きさ

が１４％増えて、明るさが３０％増えるというお話。

（面積比）＝（相似比）の２乗

∴　（面積の倍率）＝１．１４倍×１．１４倍＝１．３０倍

明るさは面積に比例するので、１．３０倍。つまり３０％増。

という単純な計算だろうか。この記事では明るさ問題にはこだわらない。

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この現象に関する天文学的説明を、国立天文台ＨＰで細かく読むと、

なかなか納得できない点が色々あった。昨夜は、本物の月の代わり

に、各種の解説図の月を延々と眺めることになったのだ。

おかげで、それなりに理解できたし、国立天文台の説明が多少おかし

いことにも気付いた。もちろん、一般市民向けの説明として、専門家が

分かりやすさを心がけた結果だろうが、数学好きの私から見ると、間

違いと言っていいような部分もあるし、論理的に飛躍した部分もある。

例えば、離心率ｅが大きくなるから、最近距離ａ（１－ｅ）が小さ

くなるとか。楕円軌道の長半径ａも同時に大きくなると、そんなことは

必ずしも言えないし、実際、ａが大きくなってる図を書いてたのだ。

既に早くも流行遅れだし、数学的・物理学的にマニアックな話にもな

るが、個人的考察を簡単にまとめとこう。図はすべて、天文台のイラ

ストを加工して、引用させていただいた。

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最初に、月、地球、太陽の位置関係と満月について、確認しとこう。

小学校の理科の話に近いが、満月が「望」、反対の新月が「朔」（さく）

と呼ばれる点に注意。

下側のピンクの丸印が、満月、つまり「望」。太陽、地球、月の順に、

一直線に並んだ時に生じる。太陽に照らされてる月の表面全体を、

地球から見てるわけだ。以下では、この満月＝望に焦点を絞り込

んで考える。

まず、上図を９０度回転して、以下の話に合わせとこう。月の軌道の

右端、ピンクの丸印を付けてるのが満月、つまり「望」だ。

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ここまで、月が地球中心に円運動してるかのように説明してるが、

より正確には楕円運動だ。

下図は、太陽を回る惑星（地球など）の軌道だが、地球と月の関係も

こんな感じになる。太陽は、楕円の焦点と呼ばれる位置にある。

右端のピンクの丸印は、地球などの惑星が最も太陽に近づく「近日点」。

お日様に近い点という意味だ。

だから、月の楕円軌道で最も地球に近づく時なら、地球に近い点という

意味で「近地点」と呼ばれる。また、地球はこの楕円の焦点あたりに位

置する。要するに、中心から少しズレた場所だ。

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次に、太陽を回る地球の公転と、地球を回る月の公転を合体させる。

ここでは、地球の軌道はほぼ円、月の軌道はかなり極端な楕円として

描いてる。地球の軌道の方が円に近いので、分かりやすく対比を付け

てるわけだ。青丸が地球。ピンクの丸印が、近地点での満月。ここでは

点線は気にしない。

　　

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地球は１年で太陽の周りを公転するから、大まかに言うと、１年に

１回くらいピンク色の丸印の位置に月が来て、近地点だから大きな

満月＝月になる。

正確には、近地点と満月は時間的に少しズレるようで、例えば今回

の場合だと、近地点の２時間半後が満月。まあ、月の見え方というの

は巨大なスケールの話だし、細かい誤差は気にしないということか。

あと、実は月の楕円軌道自体も回転する。イメージがつかめなけれ

ば、こちらに簡単なアニメがある。地球の周りを８．８５年で１回転。

その他、複雑な理由が重なって、近地点の満月は約４１０日に１回

くらいになるらしい。この日数を、天文台は「約１４朔望月」と書いてる。

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いずれにせよ、１年ちょっとで大きな満月が見れるわけだが、その大き

さも微妙に変化するらしい。月と地球の中心の距離（地心距離）で、

数ｋｍ～数十ｋｍほど。

昨日のスーパームーンは、その意味で６８年ぶりの近さ（つまり大きさ）

だったが、天文台はかなり冷めた書き方をしてた。そんな僅かな差より、

真上で月を見るか、地平線の辺りで見るかの違いの方が遥かに大きい

からだ。

言われてみれば、真上に見る時の方が、地球の半径の長さ６４００

ｋｍくらい近いことになる。ただし、心理的効果によって、真上の月は

逆に小さく感じてしまい、地平線の辺りの方が大きく見えるのが普通。

私も何度も試したが、錯覚だと教えられても、そうとしか見えない。

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最後に、遥かに難しい話に向かおう。ここで私は悩むことになった。

近地点の満月では、特殊な２つの効果も加わって、より近くに満月が

来るというのだ。「出差」（しゅっさと読む）と、「二均差」。

左下の「出差」の図については、この記事の最後で再び考え直す。

「出差は太陽の影響で楕円がゆがむ効果」。「二均差は太陽の

影響で軌道のカーブが変化する効果」と書かれてるが、何がどう

違うのか、どうして分けるのか、なかなか分からなかった。

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英語のウィキペディアなども読みながら考えた結果、おそらく原理的に

はこうゆう事だと思う。

本当は、月と地球と太陽、三つの天体が万有引力によって非常に複雑

な運動をするのであって、知る人ぞ知る、三体問題。より一般的に言う

と、「多体問題」。万有引力の３本の方程式から、キレイに軌道の式を

導くことはできない。そもそも、楕円軌道とか焦点という話も、正確には

近似に過ぎない。天体は無数。質量が重心の一点にあるわけでもない。

だから、シンプルな三体問題に絞り込んで、数値解析のような近似計

算を使うと共に、実際の計測で補うのだと想像する。

その一方で、三体問題を二体と考える近似的やり方も、ニュートン以前

からある。まず、太陽と月、太陽と地球の関係を考えて、それらを総合

するのが出差。たとえば、月の方が地球よりも太陽に強く引き付けられ

るから、月と地球の距離が変わるとか。

また、地球と月の関係を基本にして、それに対する太陽の僅かな影響

を考えるのが、二均差。一般的には、「摂動」と呼ばれる補正的な項目。

要するに、出差も二均差も、昔ながらの近似的で実用的な説明だから、

物理学的・数学的な違いがハッキリしないのだと思う。近地点の満月

の周期が約４１０日（１４朔望月）になることについて、定量的な

説明が見当たらないのも、そうした背景によるものだと想像する。。

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最後に、天文台ＨＰの図の問題点について、一言だけ書いとこう。

出差の図の一部分だけ再掲する。

この楕円だと、ゆがみ過ぎてて、地球にもっとも近い点は上と下に

あるように見えてしまう。

それは強調表現としても、この点線の軌道だと、右端にある近地点

の満月は、実線の軌道より離れてしまってる。これでは、「出差に

より・・・・・・最近距離は小さくなり」などの説明と矛盾してしまう。

おそらく、正しくは、点線を次のピンク色のように書くべきだろう。

これなら確かに、右端の近地点の満月が、黒い実線よりも地球

（青丸）に近づいてる。その後の説明文とつじつまが合うのだ。

いずれまた、データや数式をまじえて、もっと細かい話を書きたいと

思ってる。今日のところは、この辺で。。☆彡

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