『頭脳王2016』問題・解説2~大谷のホームランの飛距離、数列8パズル、ジグソー不足ピース
(☆追記: これに続く記事も3日後にアップした。
『頭脳王2016』問題・解説3
~立体三目並べの先手必勝法&コンピューター対局内容 )
☆ ☆ ☆
今日も第2弾として、日テレ『頭脳王2016決定戦』の理数系
の問題を解説する。昨日の第1弾記事は次の通り。タイトルに
入ってない問題についても、末尾のP.S.でコメントしてある。
『頭脳王2016』、太陽にスマッシュしたシャトルが届く時間
&立方体の体積の解説
一方、今年と来年の一次予選の記事は次の2本。
『頭脳王 2017』実力テスト「謎解きクイズ」、問題と考え方
『頭脳王2016』1次予選クイズの問題、解き方、感想
それでは今日は、物理(力学)の問題から始めよう。
☆ ☆ ☆
二刀流で大活躍のプロ野球選手・大谷が、実力2倍になって、自分
自身と勝負したら、特大ホームランとなった。飛距離はいくらか?
投手・大谷の球速と、打者・大谷のスイングスピードは、
共に時速330km/h。
バットとボールの重さの割合は、6.5 : 1。
バットとボールはバッティングの瞬間まで
水平な同一直線上を移動。
バッティングの直後、バットは下方向に軌道を変えたが、
僅かなので考慮せず、水平を保つとする。
バットのスピードはバッティング前の72%まで低下。
打球は地面から仰角45度で打ち上げられ、
ボールの着地点は打点と同じ高さ。
空気抵抗や外力は無視。重力加速度は9.8m/s²。
飛距離はメートル単位の整数値。小数第1位を四捨五入。
かなり色々と条件がついてるが、これでもまだ、問題の説明が足り
ないような気がする所だろう。そもそもバットは、直線運動ではなく
て回転運動だから、外力(手の力)が大前提のまず♪
まあ、色々と好意的にシンプルな解釈をしてみると、テレビで正解
とされた距離と同じ答に到達できた。要するに、2物体の衝突と、
斜方投射による放物運動との組合せだ。
☆ ☆ ☆
(解答) まず、時速を秒速に換算する。
時速330km=3600秒で330000m
=275/3 (m/s)
次に運動量保存則を用いる。バットから投球への向きを正とし、
バットとボールの質量を6.5a(kg)、a(kg)とする。
さらに、打球の水平方向の速度をv(m/s)とすると、
a×(-275/3)+6.5a×275/3
=a v+6.5a×{(275/3)×0.72}
∴ v=451/6 (m/s)
仰角45度だから、鉛直方向のスピードも同じ(上向きを正)。
ここで、打点の高さを基準点として、打球の鉛直方向の
位置(打点から見た高さ)hを時間tで表すと、
h=(451/6)t-4.9 t²
着地点では、h=0、t>0だから、
0=(451/6)t-4.9 t²
∴ 451/6-4.9t=0 ∴ t=2255/147 (s)
∴ (飛距離)=(水平方向の移動距離)
=(水平方向の速度)×(時間)
=(451/6)×2255/147
=1017005/882
=1153.0・・
=1153 (m) ・・・ 答
☆ ☆ ☆
一応、筆算の図も挿入しとこう。私も電卓やアプリの類は使わず、
自分の手で計算した。昨日の記事で扱った太陽シャトル問題よ
りは簡単だ。
ちなみに、衝突後のバットの速度が与えられてるので、はねかえり
係数(=反発係数)は不要。また、衝突では一般に力学的エネ
ルギー保存則は使えないのが普通で、ここでも保存されない。
高校1年か2年の物理の発展問題レベルであって、難問ではない。
もし「2倍の大谷」ではなくて、その半分の「普通の大谷」だと、打球
のスピードは半分になって、飛距離は4分の1になる。つまり、
288m程度。
ただし、現実の世界だと、打球は空気抵抗を強く受けるし、仰角
が45度(理論的にベストの角)ではないので、百数十mになる。
☆ ☆ ☆
続いて、「数列パズル」とテロップが出てた、3×3のスライ
ディング・パズルとか8パズルと呼ばれるもの。4×4
の15パズルの方が普通だろう。実物のオモチャが無くても、
紙に書くだけで楽しめるし、数学的にも興味深い脳トレゲーム。
最初の状態から、次の図のように、1個ずつ数字ブロックを上下
左右にスライドさせていけば、12345678の順に並べられる。
3×3で配置も簡単だから、私も含めて、知ってる人なら秒単位。
実物も紙も不要。頭の中のイメージを動かすだけ。
参考までに、8パズル関連の当サイトの記事も紹介しとこう。
2本目はややハイレベルで、基礎知識は不要だけど、大学
1、2年の内容が入ってる。
「15パズル」の攻略法~8パズル、3パズルへの還元
置換・互換と14-15パズルの不可能性
~3パズル&8パズルからの証明
☆ ☆ ☆
今日の最後は、絵が描かれてないし、1ピース足りないジクソー
パズル。緑の正方形の枠に、小さな正方形に近い15コの
ピースを入れた時、足りないピースの形は何か? 出場者は
秒速で、頭のイメージだけでイラストを描いてた。
昨日と同様、1枚だけ静止画キャプチャー(写メ)を掲載させて
頂こう。非営利の個人ブログで、番組レビューのための限定的
引用なので、著作権的に問題は生じないと考える。
☆ ☆ ☆
私には、これを頭の中だけで組み合わせるのは無理。それ
でも、足りないピースの形は書けるのだ。
15コのピースで、突起もくぼみもない真っ直ぐな辺の数を数え
ると、ちょうど16ある。ということは、これらが緑の枠と接する
部分で、それ以外の辺は、あるピースの突起と他のピースの
くぼみの組合せになってるはず。
15コのピースの突起は21個。くぼみは23個。ということは、
足りない1個のピースだけ見ると、突起がくぼみより2個多い
はず。
突起が2個、くぼみが0個のピースだと、真っ直ぐな辺が2つ
出来てしまうので不適。よって、足りないピースは、突起が
3個、くぼみが1個。イラストは次のようになる。
ちなみに、隣り合う2辺が共に真っ直ぐになってるピースが
4コあって、それらが緑の枠の四隅になる。ただ、その配列まで
は分からないから、この問題だと、すぐに隅に置けるのは1コ
だけ。あとの3コの配置は、そこから考える必要がある。
☆ ☆ ☆
これであと、気になる理数系の問題は、立体三目並べのみ。
これは場合分けが面倒だし、図を描きにくいので、しばらく時間
がかかると思う。できれば1週間以内にアップしたいけど、あま
り自信はない。
(☆追記: 3日後に先手必勝法の記事をアップした。)
ただ、ルービックキューブと比べると遥かに単純で、別にコン
ピューターが必要な問題でもないので、遅くとも1ヶ月以内には
記事を書けると思う。おそらく、先手の人間必勝か引き分けの
ゲームだろうと思うけど、細かく調べてみないと分からない。
なお、今週は計14343字となった。ではまた来週。。☆彡
(計 2654字)
(追記 92字 ; 合計 2746字)
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