くじ引きの順序は無関係、条件付き確率～２０１７センター試験・数学ⅠＡ・第３問

依然として、熱も咳も全くおさまらないまま。異常に体調が悪い

ので、今日はごく簡単な数学記事で済ませよう。

ちなみに昨日はセンター試験の現代国語で３５００字ほど書い

た。小説中心だが、評論についても言及してある。

　「春」の純粋さと郷愁が誘う涙、野上弥生子『秋の一日』

　　　　　　　　　　～２０１７センター試験・国語

　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

さて、私の目に付いたのは、河合塾がやや難化と分析してた

数学ⅠＡの選択問題。必答問題の方は易しくなったとされてた

から、自動的にパスしたが、いずれ後でデータ分析を見るかも。

それでは、第３問。配点２０点（１／５）。要するに、くじ引きは引く

順番と無関係で公平だということを、簡単な例で証明する問題。

　あたりが２本、はずれが２本の合計４本からなるくじがある。

　Ａ、Ｂ、Ｃの３人がこの順に１本ずつくじを引く。ただし、１度

　引いたくじはもとに戻さない。

　（１）　Ａ、Ｂの少なくとも一方があたりのくじを引く事象Ｅ1の

　　　確率は、　ア／イ　である。

　（解答）　（Ｅ1の確率）

　　　　　　　＝１－（Ａ、Ｂともにはずれの確率）

　　　　　　　＝１－（Ａがはずれの確率）×（続くＢもはずれの確率）

　　　　　　　＝１－（２／４）×（１／３）

　　　　　　　＝５／６　・・・　ア、イ

　（解説）　「少なくとも一方」と言われたら、余事象の確率を

　　　　　　用いるのが普通。このＥ1の確率はかなり高いから、

　　　　　　最後に引くＣはあたりが減ってて不利ではないか？

　　　　　　・・・などと考えてしまいがちな所だ。実際は公平。

　（２）　Ａ、Ｂ、Ｃの３人で２本のあたりくじを引く事象Ｅは、

　　３つの排反な事象ウ、エ、オの和事象である。

　　また、その和事象の確率は　カ／キ　である。

　（解答）　Ｅ＝（Ａだけはずれ）＋（Ｂだけはずれ）＋（Ｃだけはずれ）

　　　　　　　　＝　排反な事象１，３，５の和事象　・・・　ウ、エ、オ

　　　　　　　　　（注．　ここでの「＋」は、排反事象の和。以下同様。）

　　　　　　（Ｅの確率）＝（Ａはずれ、Ｂあたり、Ｃあたりの確率）

　　　　　　　　　　　　　　＋（Ａあたり、Ｂはずれ、Ｃあたりの確率）

　　　　　　　　　　　　　　＋（Ａあたり、Ｂあたり、Ｃはずれの確率）

　　　　　　　　　　　　　＝（２／４）×（２／３）×（１／２）

　　　　　　　　　　　　　　＋（２／４）×（２／３）×（１／２）

　　　　　　　　　　　　　　＋（２／４）×（１／３）×（２／２）

　　　　　　　　　　　　　＝１／６＋１／６＋１／６

　　　　　　　　　　　　　＝１／２　・・・　カ、キ

　（解説）　ある意味、Ｅの確率の求め方を誘導してくれてる

　　　　　　わけだが、「排反」とか「和事象」とか、論理的すぎる

　　　　　　書き方なので、逆に混乱した受験生の方が多いかも。

　　　　　　普通は、反射的に足し算の式だけ書くだろう。　　

　　　　　　ちなみに、どの２人があたる確率も等しく、１／６。

　　　　　　あたりとはずれの対称性を使うと、次のような解き方もある。

　　　　　　（３人で２本のあたりの確率）＝（３人で２本のはずれの確率）

　　　　　　このどちらかしかあり得ないので、共に　１／２。

　（３）　事象Ｅ1が起こったときの事象Ｅの起こる確率は、ク／ケである。

　（解答）　（Ｅ1が起こったときのＥの起こる確率）

　　　　　　　＝（Ｅ1かつＥが起こる確率）／（Ｅ1が起こる確率）

　　　　　　　＝（１／２）／（５／６）

　　　　　　　＝３／５　・・・　ク、ケ

　（解説）　Ｅ（＝２人あたり）が起こるなら、必ずＥ1（＝Ａ、Ｂの

　　　　　　どちらか一方はあたり）も起きる。

　　　　　　（Ｅ1かつＥが起こる確率）＝（Ｅが起こる確率）＝１／２。

　　　　　　あとは条件付き確率の公式に代入するだけ。

　　　　　　もし公式を使わずに解くのなら、ＡあたりＢはずれ、

　　　　　　ＡはずれＢあたり、ＡあたりＢあたりと分けて考える。

　（４）　Ｂ、Ｃの少なくとも一方があたりのくじを引く事象Ｅ2は、

　　　　３つの排反な事象　コ、サ、シ　の和事象である。

　　　　また、その和事象の確率は　ス／セ　である。

　　　　他方、Ａ、Ｃの少なくとも一方があたりのくじをひく事象Ｅ3

　　　　の確率は、　ソ／タ　である。

　（解答）　Ｅ2＝（Ａがあたりで、Ｂ、Ｃの少なくとも一方があたり）

　　　　　　　　　＋（Ａがはずれで、Ｂ、Ｃの少なくとも一方があたり）

　　　　　　　　＝｛（Ａあたり、Ｂあたり、Ｃはずれ）

　　　　　　　　　　　　＋（Ａあたり、Ｂはずれ、Ｃあたり）｝

　　　　　　　　　＋（Ａはずれ）

　　　　　　　　＝（選択肢０、３、５の和事象）　・・・　コ、サ、シ

　　　　　（Ｅ2の確率）＝（２／４）×（１／３）×（２／２）

　　　　　　　　　　　　　　　＋（２／４）×（２／３）×（１／２）＋２／４

　　　　　　　　　　　　　＝１／６＋１／６＋１／２

　　　　　　　　　　　　　＝５／６　・・・　ス、セ

　　　　　（Ｅ3の確率）＝（Ａ、Ｃの少なくとも一方があたりの確率）

　　　　　　　　　　　　＝１－（Ａ、Ｃともにはずれの確率）

　　　　　　　　　　　　＝１－（Ａはずれ、Ｂあたり、Ｃはずれの確率）

　　　　　　　　　　　　＝１－（２／４）×（２／３）×（１／２）

　　　　　　　　　　　　＝５／６　・・・　ソ、タ

　（解説）　Ｅ2やＥ3の確率の値は、Ｅ1と同じだと分かった人には

　　　　　　すぐ書けたはず。ただ、問題は、Ｅ2を排反な和事象で

　　　　　　表すこと。私が実際に解く時には、ベン図を描いた。

　　　　　　３人ともはずれとか、３人ともあたりという事象が存在

　　　　　　しない点が、このくじ引き特有のポイント。

　（５）　事象Ｅ1が起こったときの事象Ｅの起こる条件付き確率ｐ1、

　　　　事象Ｅ2が起こったときの事象Ｅの起こる条件付き確率ｐ2、

　　　　事象Ｅ3が起こったときの事象Ｅの起こる条件付き確率ｐ3

　　　　の間の大小関係は、　チ　である。

　（解答）　（３）より、　ｐ1＝３／５

　　　　　　（３）の時と同様に計算して、　

　　　　　　　　ｐ2＝（１／２）／（５／６）＝３／５

　　　　　　　　ｐ3＝（１／２）／（５／６）＝３／５

　　　　　　∴　ｐ1＝ｐ2＝ｐ3　

　　　　　　大小関係は、選択肢　６　である。　・・・　チ

　（解説）　要するに、くじ引きは色んな意味で順番と無関係だと

　　　　　示してるわけだが、数研出版のチャート式のＨＰにある

　　　　　次のような説明はどうだろうか（単元の冒頭）。

　　　　　　普通のくじ引きで当たる確率は、くじを引く順番

　　　　　　に関係しないことは、順列の対等性から明らかです。

　　　　　この「明らか」に納得できる高校生、受験生は少数派だろ

　　　　　うし、「明らか」と納得した生徒でも、実際に細かく証明で

　　　　　きる人はごく少数だろう。単なるマークシートのセンター

　　　　　試験でさえ、平均点は低いのが現実。

　　　　　ちなみに私が知ってる数学のプロの１人は優秀だと評判

　　　　　だが、お昼休みの雑談中、「くじ引きは先に引く方が得に

　　　　　決まってる。当たりが沢山あるんだから」と真顔で話した♪

　　　　　学歴も教育歴もかなり高い方だ。

　　　　　まあ、「明らか」という言葉は、意欲的な生徒への挑発と

　　　　　して考えればいいのかも知れないが、私はこの言葉の

　　　　　危険性や曖昧さをよく理解してるので、この程度の箇所

　　　　　でいきなり断定的に使うことはない。前置きがあるとか、

　　　　　柔らかく主張してみるとかならさておき。。

それでは今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２５１１字）