データ分析（散布図、共分散、相関係数、箱ひげ図）～２０１７センター試験・数学ⅠＡ・第２問

体調不良で２週間遅れになったが、今年もセンター試験の数学の

データ分析を解説してみよう。去年と一昨年の記事は次の３本。

　データ分析（相関の強弱，変数変換と共分散）

　　　　　　～２０１６センター試験・数学ⅠＡ・第２問

　データ分析（四分位数、箱ひげ図、相関係数～２０１５センター数学

　データ分析２～２０１５センター追再試験・数学ⅠＡ・第３問

高校数学ではまだ目新しい分野だが、去年とほぼ同じ問題構成に

なってたから、勉強しやすいとも言える。求められてる能力が固定

されてるということか。

ちなみに数学ⅠＡの確率と国語については、すぐに記事をアップ

してある。国語は小説中心だが、評論にも触れてある。

　くじ引きの順序は無関係、条件付き確率

　　　　　　　　　～２０１７センター試験・数学ⅠＡ・第３問

　「春」の純粋さと郷愁が誘う涙、野上弥生子『秋の一日』

　　　　　　　　　　　～２０１７センター試験・国語

　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

では、２０１７年のセンター数学Ⅰ・Ａ、第２問〔２〕。グラフ

と図だけは河合塾ＨＰからコピペさせて頂いた。毎年の事なが

ら、大学入試センターＨＰにはなかなか問題が掲載されない。

以前から、大手予備校中心の情報公開になってる。

以下、問題文や選択肢は私が短く省略して書いたものなので、念

のため。正解を求めるだけなら、十分だと思う。

　スキーのジャンプは、飛距離Ｄ（ｍ）から得点Ｘが決まり、空中

　姿勢から得点Ｙが決まる。ある大会のジャンプ５８回を考える。

　（１）　得点Ｘ、Ｙ、飛び出し速度Ｖ（ｋｍ／ｈ）について、

　　　　次の３つの散布図（図１）を得た。

　　　　読み取れることとして正しいのは？

　（正解）　　

　　選択肢１　　ＸとＹの間には正の相関がある。

　　選択肢４　　Ｙが最小のジャンプは、Ｘは最小ではない。

　　選択肢６　　Ｙが５５以上かつＶが９４以上のジャンプはない。

　（解説）　選択肢の１が正しいのは、３枚目の散布図が右上

　　　　　　　がりになってることから分かる。選択肢４が正しい

　　　　　　　のは、３枚目の散布図の左下あたりで分かる。

　　　　　　　選択肢１は、普通の見方やテレビ解説とかなら、

　　　　　　　「キレイな飛び方だと距離が伸びる」

　　　　　　といった話になるが、数学だととりあえず正の相関

　　　　　　を認めるだけ。さらなる考察へと進むことになる。

　　　　　　選択肢６は散布図２の右上より。普通の言い方なら

　　　　　　　「スピードが速いと飛型をまとめにくい」

　　　　　　とかいう話になるだろう。実際はむしろ、

　　　　　　「飛び方が下手な選手はスピードを出すのが上手」

　　　　　　ということかも知れない。

　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

　（２）　得点Ｘは、飛距離Ｄから次の計算式で算出される。

　　　　　Ｘ＝１．８０×（Ｄ－１２５．０）＋６０．０

　　　　Xの分散は、Dの分散の　（　ソ　）　倍になる。

　　　　ＸとＹの共分散は、ＤとＹの共分散の　（　タ　）　倍になる。

　　　　ただし共分散は、２つの変量のそれぞれにおいて

　　　　平均値からの偏差を求め、偏差の積の平均値として

　　　　定義される。　

　　　　ＸとＹの相関係数は、ＤとＹの相関係数の　（　チ　）　倍。

　（正解）

　　　　ソ　・・・　選択肢４　（３．２４倍）

　　　　タ　・・・　選択肢３　（１．８０倍）

　　　　チ　・・・　選択肢２　（１倍）

　（解説）　去年とほぼ同じ、　ｙ＝ａ ｘ＋ｂのタイプの変数変換。

　　　　　　ここでは、　Ｘ＝１．８Ｄ－１６５。

　　　　　　すると、分散の定義式より、Ｘの分散はＤの分散の

　　　　　　（１．８）² になる。

　　　　　　つまり、３．２４倍。一般には、ａ² 倍。

　　　　　　一方、ＸとＹの共分散だと、Ｘの偏差だけが１．８倍に

　　　　　　なって、もう片方のＹの偏差は元のまま。

　　　　　　よって、１．８倍。一般には、ａ倍。

　　　　　　最後に、相関係数は変わらない。一般に、１倍。

　　　　　　実際、公式を確認すると、

　　　　　　相関係数

　　　　　　　　＝共分散 ／ ｛√（Ｘの分散）√（Ｙの分散）｝

　　　　　　分子が１．８倍になる一方、分母も√３．２４倍、つまり

　　　　　　１．８倍になるから、割り算で約分されて、１倍になる。

　（３）　５８回のジャンプは、２９名の選手が２回ずつ行ったもの。

　　　　１回目の合計得点Ｘ＋Ｙのヒストグラムと、２回目のヒスト

　　　　グラムは、図２のＡ、Ｂのいずれか。

　　　　また、１回目のＸ＋Ｙに対する箱ひげ図と２回目の箱ひげ

　　　　図は、図３のａ、ｂのいずれか。

　　　　ただし、１回目のＸ＋Ｙの最小値は１０８．０。

　１回目のＸ＋Ｙの値について、ヒストグラムと箱ひげ図の

　組合せとして正しいものは、　（　ツ　）　である。

　また図３から読み取れることとして正しいものは　（　テ　）。

　（正解）　

　　　ツ　・・・　選択肢０　（Ａとａ）　

　　　テ　・・・　選択肢１　（１回目のＸ＋Ｙの中央値は、

　　　　　　　　　　２回目のＸ＋Ｙの中央値より大きい）

　（解説）　１回目の最小値が１０８だから、Ａとａになる。

　　　　　Ｂとｂだと、最小値が１００～１０５の間になってる。

　　　　　１回目の方が、風が良かったということだろう。

　　　　　また、箱ひげ図の箱（長方形部分）の中にある縦線

　　　　　の位置が中央値を示すので、ａ、つまり１回目の中

　　　　　央値の方が大きい。

　　　　　ａ（１回目）の縦線が、ｂ（２回目）の縦線より右側に

　　　　　あるということ。

　　　　　ちなみに中央値とは、第二四分位数。データを小さい

　　　　　方から並べた時の中央になる値で、平均値ではない。

　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

なお、スキーのジャンプについては、５年前の全国学力テストで

奇妙な「模範解答」が示されて、当サイトで詳細に批判。いまだに

アクセスが地味に続いてるので、おかしいと思った人が少なくない

のだろう。

　　全国学力調査２０１２・中学数学Ｂ、

　　　　　スキー・ジャンプの問題（原田ｖｓ船木）

流石に今回のセンター試験では、おかしな点はない。中学と高校

の差だろうか。それでは、今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２１５０字）