物体の衝突、運動量保存法則、はねかえり係数～物理の問題と解き方６

問題文を書き写すのが面倒で、なかなか進まない『物理重要問題

集』シリーズ、第６弾。約半年ぶりになってしまったが、今回も数研

出版が集めた受験問題を解説してみよう。

これまでの５本は次の通り。他にも物理カテゴリーの記事は色々あ

るし、数学カテゴリーには多数の記事がある。アクセスは地味に続

いてるので、それなりの需要はあるようだ。

　等加速度直線運動、放物線、モンキー・ハンティング～物理１

　運動の法則、浮力、物体の連結と分離～物理２

　動滑車、摩擦力（静止・動）、バネの弾性力～物理３

　等速円運動、円すい振り子、万有引力と人工衛星～物理４

　単振動、ばね振り子、水平ばね２本～物理５

今回は第６章、運動量の保存（ｐ．３６～）のＡ問題から３問。

いつものように、式や説明などはすべて私が書いたもの。

読みやすさと入力環境のため、小文字を大文字に変えた

り、添え字を小文字に変えたりしてるが、言葉遣いは元の

ままだ。

　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

　５４　（一直線上の衝突）　関西学院大

　なめらかな水平面上をｘ方向に運動する２つの球Ａ、Ｂが

　向心衝突した。Ａ、Ｂそれぞれの衝突前の速度をＶａ、

　Ｖｂ、衝突後の速度をＵａ、Ｕｂ、質量をＭａ、Ｍｂとする。

　（１）　反発係数（はねかえりの係数）ｅを上の記号を

　　　　用いて表せ。

　（２）　Ｖａ＝２６ｍ／ｓ、Ｖｂ＝８ｍ／ｓ、Ｍａ＝０．４ｋｇ、

　　　　Ｍｂ＝１．８ｋｇ、ｅ＝０．８としてＵａ、Ｕｂを求めよ。

　（３）　この衝突によって失われた力学的エネルギー

　　　　ΔＥを計算せよ。

　（４）　失われた力学的エネルギーは何に変わったか。

　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

　解答

　（１）　定義式より、　

　　　ｅ ＝ －（Ｕａ－Ｕｂ）／（Ｖａ－Ｖｂ）　・・・答

　（２）　反発係数の定義式より、

　　　　０．８＝－（Ｕａ－Ｕｂ）／（２６－８）

　　　　∴　－Ｕａ＋Ｕｂ ＝ １４．４　・・・①

　　　　また、運動量保存則より、

　　　　０．４×２６＋１．８×８＝０．４Ｕａ＋１．８Ｕｂ

　　　　∴　２Ｕａ＋９Ｕｂ＝１２４　・・・②

　　　　①②の連立方程式を解いて、

　　　　　Ｕａ＝－０．５ ｍ／ｓ，

　　　　　Ｕｂ＝１３．９ ｍ／ｓ　・・・答

　（３）　ΔＥ＝{（１／２）×０．４×２６²＋（１／２）×１．８×８²}

　　－{（１／２）×０．４×（－０．５）²＋（１／２）×１．８×１３．９²}

　　　　　　　＝１８．９ （Ｊ）　・・・答

　（４）　熱エネルギー、音のエネルギー、

　　　　球の変形のエネルギー　・・・答

　（解説・感想）

　　全くの基本問題で、小数や分数の計算ミスに注意すれば

　　よい。数値がキレイに出ないし、有効数字も不明だが、

　　（２）の問題文から、小数第１位までと考えておいた。２ケ

　　タで答えても、ほとんど減点はないはず。

　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

　５５　（走る台車からの打ち上げ）　上智大

　水平面上に固定されたなめらかなレール上を、質量

　５００ｇ（弾丸を含む）の台車が２．０ｍ／ｓの速さで

　走っている。時刻ｔ＝０に、この台車から１００ｇの

　弾丸を、水平面上の観測者から見て、鉛直方向から

　３０度後方に向けて１２ｍ／ｓの速さで打ち上げた。

　弾丸が上昇して再びレール上に落下した瞬間の台車

　と弾丸との距離はいくらか。ただし、重力の加速度

　９．８０ｍ／ｓ²、√３＝１．７３とする。

　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

　解答

　発射後の台車の速さを ｘ ｍ／ｓとする。

　水平方向の運動量保存則より、右向きを正として、

　　０．５×２．０＝０．４ｘ＋０．１×（－１２×ｓｉｎ３０°）

　∴　１＝０．４ｘー０．６　　　∴　ｘ＝４　

　また、弾丸の鉛直方向の初速は、

　１２×ｃｏｓ３０°＝６√３＝１０．３８

　鉛直方向・上向きを正とし、時刻ｔ（＞０）における

　位置が０とおいて、

　１０．３８ｔ－（１／２）×９．８×ｔ²＝０

　∴　１０．３８＝４．９ｔ　　　∴　ｔ＝２．１２

　これが弾丸落下時の時刻だから、求める距離は、

　（台車の右向き移動距離）＋（弾丸の左向き移動距離）

　＝４×２．１２＋（１２×ｓｉｎ３０°）×２．１２

　＝１０×２．１２

　＝２１．２ （ｍ）　・・・答

　（解説・感想）

　水平面上から台車の上の面までの高さが書いてないから、

　ゼロと解釈。問題文が３ケタの数字になってるから、ｔは

　４ケタで計算する方がいいかも知れないが、おそらく問題

　作成者でさえ３ケタで計算してるはず♪

　弾丸の打ち上げ角度を、水平方向に対して３０度だと誤解

　しないように。。

　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

　５６　（床との衝突）　東京水産大

　高さ１０ｍの所から、ボールを静かにはなして床に落とし

　たら、衝突してはね上がり、６．４ｍ（最高点）までもどった。

　このあと再び床に落ちてはね上がることをくり返した。重力

　加速度を９．８ｍ／ｓ²とする。

　（１）　はねかえりの係数を求めよ。

　（２）　手をはなしてから、床ではね返り、６．４ｍの最高点

　　　　に達するまでにかかる時間を求めよ。

　（３）　２回目に床に衝突する直前の速度と直後の速度を

　　　　求めよ。

　（４）　何回かくり返しているうちに、最高点はしだいに低く

　　　　なるが、最高点が３．０ｍに達しないのは何回目の

　　　　衝突のあとか。

　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

　解答

　（１）　衝突直前の下向きの速度を ｘ ｍ／ｓとすると、

　　　　　速度、加速度、距離の関係式より

　　　　　ｘ²－０²＝２×９．８×１０

　　　　　∴　ｘ＝１４

　　　　　衝突直後の上向きの速度を ｙ ｍ／ｓとすると、

　　　　　０²－ｙ²＝２×（－９．８）×６．４

　　　　∴　ｙ＝１１．２

　　　　よって、　速度ゼロのまま動かない地面に関して、

　　　　（はねかえりの係数）

　　　　　　＝－（１１．２－０）／（－１４－０）

　　　　　　＝０．８　・・・答

　（２）　（落ちる時間）＋（上がる時間）

　　　　＝１４／９．８＋１１．２／９．８

　　　　＝２．６ （ｓ）　・・・答

　（３）　下向きを正とすると、

　　　　（２回目の衝突直前の速度）

　　　　＝（１回目の衝突直後の速度の符号を逆にしたもの）

　　　　＝－１１．２ （ｍ／ｓ）　・・・答

　　　（２回目の衝突直後の速度）

　　　　＝－（衝突直前の速度）×（はねかえり係数）

　　　　＝－１１．２×０．８

　　　　＝－９．０ （ｍ／ｓ）　・・・答　

　（４）　上向きを正として、

　　　　（３回目の衝突直後の速度）

　　　　＝（２回目の衝突直後の速度）×（はねかえり係数）

　　　　＝９．０×０．８

　　　　＝７．２　（ｍ／ｓ）

　　　　最高点の高さをｈとすると、

　　　　０²－７．２²＝２×（－９．８）ｈ

　　　　∴　ｈ＝５１．８４／１９．６ ＜ ３ （ｍ）

　　　　よって、３回目の衝突のあと。　・・・答

　（解説・感想）

　鉛直方向のはね返りの問題では、速度計算する時の符号の

　プラス・マイナスに注意する必要がある。

　２回目以降の衝突の計算では、はねかえり係数の定義式を

　使うのは省略した。もし時間があれば、真面目に定義に従う

　ところだが、多くの受験生は省略すると思う。

　（４）の問題文は、おそらく「はじめて３．０ｍに達しない

　のは・・・」という意味だろうと解釈した。文字通りに読むと、

　答は、「ｎ回目の衝突（ｎ≧３）」とかだろう♪

やはり、物理の記事は入力が大変だなと思いつつ、それでは

今日は　この辺で。。☆彡

　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （計　２６５０字）