大学入学共通テスト、記述式の問題例（数学）の解説～銅像を見込む角と位置

センター試験の後継テストについては、今までも色々と情報が伝わっ

てるが、そろそろ方針が固まって来たようなので、記述式のモデル

問題例を見てみよう。

２０１７年５月１６日、大学入試センターが公開。国語の方が、問題

も正答例も気になったが、ここでは数学を１問扱う。以下の解説や図

は、いつものように個人的なものであって、他のサイトは参考にして

ない。翌日の朝日新聞・朝刊に掲載された正答例だけはチェックした。

なお、今回は事前の問題例公開でもあり、著作権は気にせず、ほぼ

そのまま縮小コピペさせて頂いた。

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公園整備計画において、広場の大きさを決める前に、銅像の見やす

さを考える。三角比の表は省略。

（１） 解答

（見込む角の ｔａｎ） ＝ ４／１２

　　　　　　　　　　　　＝０．３３・・・

よって、三角比の表より、

　（見込む角） ≒ １８°

　　　　答．　７　・・・　空欄ア

（２）（ⅰ） 解答

　余弦定理で、 

　　ｃｏｓ∠ＡＰＢ＝（ＡＰ²＋ＢＰ²－ＡＢ²） ／ ２ＡＰ・ＢＰ 

　を計算し、正の値であることを確かめる。

　（ⅱ） 解答

　　ｓｉｎ∠ＡＰＢ ＝ ＡＢ ／ ２Ｒ

　　　　（注．　正弦定理を変形して、Ｒを変数と見た式。

　　　　　　　　別の形で答えても正答扱いのはず。）

　（ⅲ）① 解答

　　上図より、

　　（ベストスポットを与える最小のＲ）

　　　　＝ ２＋５

　　　　＝ ７ （ｍ）　・・・　空欄イ

　② 解答

　　ｓｉｎ∠ＡＰＢ ＝ ＡＢ ／ ２Ｒ

　　　　　　　　　 ＝ ４ ／ （２×７）

　　　　　　　　　 ＝ ０．２８５・・・

　　よって三角比の表より、

　　　　∠ＡＰＢ ≒ １７°

　　　答． ③　・・・　空欄ウ

　③ 解答

　三平方の定理より、

　（求める距離） ＝ √（７×７－２×２）

　　　　　　　　　　＝ √４５

　　　　　　　　　　＝ ３√５

　　　　　　　　　　≒ ３×２．２４

　　　　　　　　　　≒ ６．７　（ｍ）

　　答．　③　・・・　空欄エ

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（感想・論評）

空欄イの７ｍを正しく答えた大学生は、僅か９．６％。ということは、

空欄ウやエの正答率２０％弱は、単に選択肢から勘で選んだ人が

多かったということを示す数字だろう。

大まかな図を書くだけで、選択肢１０個は５個くらいまで絞り込めて

しまう。折角、記述式にするのなら、ウやエも選択肢なしで出題する

方が良い。エがイとほとんど同じ値というのも、もう一工夫欲しい所。

ただし、（１）と少し設定が違うし、図形的・現実的にややイメージし

にくい問いだったのは事実。他にも、問題文が長いので、後半は

基本的な国語力がないと問い自体が把握できない。

もう少し難易度を下げた方が、共通テストとしては適切かも知れな

いが、テスト全体の構成にもよるだろう。他の問題が簡単なら、全体

的には適切なバランスになる。

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私が一番気になったのは、見込む角というものを上下の方向だけで

考えてる点と、台座が高い点。「左右方向の見込む角」を考えたり、

低い台座を考えたりすると、近づけば近づくほど見やすいという常識

的な答が導かれてしまう。

その場合、広場の大きさを決めるのに役立たないし、数学の有用性

も示せないから、この問題のような設定にしてあるわけだ。しかし、

現実社会でこのような議論を示された時、そうした問題点をすぐ見抜

くのは難しいだろう。

数学は、正しい誘導にも、間違った誘導にも使えるわけで、その辺り

の難しさに関する教育的配慮も必要なのだ。

それでは今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　１３５４字）

ｃｆ．　新「大学入学共通テスト」数学、

　　　　　マークシート式のモデル問題の解説と感想（円と直線）

　　　　　　　　（追記　４３字　；　合計　１３９７字）