新「大学入学共通テスト」数学、マークシート式のモデル問題の解説と感想(図形・円と直線)
2017年(平成29年)7月13日、大学入試センターが、新テストの
「マークシート式問題のモデル問題例」及びモニター調査実施結果
マークシートと言っても、記述式答案を原型にして作った問題だから
簡単ではないし、モニター(大学1年生)の結果を見ると、図形の問題
はあまり理解されてないように思われる。にも関わらず、最終的な答
(選択肢の番号)しか公表されてない。
そこで今回は、その問題(モデル問題例4、3つの円と直線の交点)
の解説と感想をごく簡単に書いてみよう。いつものように、何も参考
にせず、自力のみで書く。本試験前にネットで公表した資料なので、
著作権の問題は生じないと考える。
ちなみに記述式の問題例については、2ヶ月前に記事を書いてある。
大学入学共通テスト、記述式の問題例(数学)の解説
~銅像を見込む角と位置
☆ ☆ ☆
まず、問題文の前半。と言っても、設問と点数の大部分はこの箇所
にある。
途中の問題文や選択肢は少し省略したが、要するに、証明の途中の
空欄に語句を記入して完成させる問題であって、選択肢が無くても、
大まかな流れは理解できるし、解答も可能。コンピュータも不要だ。
☆ ☆ ☆
まず、空欄ア。点CとSを通る直線がAを通ることを証明するには、
直線CSと円O1の交点D(S以外)が、「A」と一致することを示せば
よい。また、他に同等の答の選択肢は無い。
よって答はA、つまり3。これは86%の大学1年生が正解。
次に空欄イ。∠SAQと∠SDQは、円O1において1つの弧に対する
円周角になってるから、等しいのは当たり前。つまり、3点C、S、A
が一直線上にあることの証明には役立たない。よって答は、4。
続いて空欄ウ。ここからが証明開始で、円O1に内接する四角形の
性質より、∠ASP=∠BQP。答は、2。
ここまでは正答率60%以上だが、これ以降は一気に低くなって、
40%~20%まで落ち込む。選択肢の数は5コ前後しかないので、
でたらめに選んでも正答率20%前後になる。ということは、大部分
の学生が理解できなかったということだ。
☆ ☆ ☆
証明の流れをキレイにまとめ直すと、以下のようになる。
∠ASC=∠ASP+∠CSP
=∠BQP+∠BRP (円O1とO3に内接する四角形の性質)
=180° (円O2に内接する四角形の内対角の和)
よって答は、エ(理由)が3。オはCSPで、5。カはBRPで、1。
キ(理由)は2。
上のように、等式の変形に、一連の流れを持たせれば理解しやすい。
最初の∠ASCを少しずつ書き直して、最後の180°という角度まで
到達させて行く。
☆ ☆ ☆
ところが、実際の設問の証明は、一連の流れを4つの文に分割して、
しかも接続詞も入れてないので、流れや意図、論理が読みにくい。
四角形AQPSは円O1に内接するから、∠ASP=∠BQP
四角形CSPRは円O3に内接するから、∠CSP=∠BRP
四角形BRPQは円O2に内接するから、
∠BQP+∠BRP=180°
よって∠ASPは180°なので、3点C、S、Aは一直線上にある。
このような分割した証明の書き方は、中学の教科書や参考書などでも
よく見かけるものだから、作成者にとっては普通の書き方なのだろう。
ただ、せめて2行目に「一方」、3行目に「ここで」と接続詞を入れるべき
だと考える。冒頭に、「∠ASC=∠ASP+∠CSP」という前置きを
書いてないのは、意図的に問題を難しくしたのだとしても。。
☆ ☆ ☆
続いて、正答率わずか20%で、ほとんど出来なかった設問。時間
が無くなることを考えても、直前までの正答率とは極端な差がある。
☆ ☆ ☆
以下、以前の証明と同じような書き方で、新たに書き直してみよう。
あえて真似してるだけであって、わかりやすくはないし、滑らかでも
ないので、念のため。修正点はピンク色にした。
一つの弧に対する円周角は一定であるから、
∠ASP=∠BQP
一つの弧に対する円周角は一定であるから、
∠CSP=∠BRP
一つの弧に対する円周角は一定であるから、
∠BQP=∠BRP
よって、∠ASP=∠CSPなので、
3点C、S、Aは一直線上にある。
こう書くと、接続詞がない不自然さが明らかだし、それぞれの弧の
名前(AP、CP、BP)も書いた方がいいはず。
いずれにせよ、(a)(c)(e)(f)(g)のみを修正したのだから、
答は3。
☆ ☆ ☆
実戦的には、たとえ証明が分からなくても、次のように考えれば、
答として3番を選択できることになる。
(f)、つまり∠BQP+∠BRP=180°は間違いであって、
修正する必要があるから、選択肢の0と1は不適。
また、(b)の箇所、つまり∠ASP=∠BQPは正しいから、
修正する必要はない。よって、選択肢の2は不適。
以上より、消去法によって、答は残る選択肢。つまり、3。
☆ ☆ ☆
ただし、いずれにせよ、前の設問の証明を理解してる必要はあるし、
選択肢3が本当に正しいのかどうかは示されてない。それを示すのは
非常に難しいことだろう。
つまり、それら5つ「のみ修正すれば十分」だと示されただけで、
5つ「のみ修正する必要がある」ことは示されてない。
この辺りも、中学や高校の数学で省かれてしまってる重要な点だ。
十分条件と必要条件は異なるとか教えつつ、実際の解答の中では
いま一つ活かされてない。
☆ ☆ ☆
最後に、私自身の証明を添えておこう。∠ASPから∠CSPへと
少しずつ変形していく、一連の流れをつけてる点が最大の違いだが、
最後の一言も重要だ。
∠ASP=∠AQP (弧APに対する円周角)
=∠BQP
=∠BRP (弧BPに対する円周角)
=∠CRP
=∠CSP (弧CPに対する円周角)
よって、∠ASP=∠CSP。
しかも、直線SPに対して点AとCは同じ側にあるので、
3点C、S、Aは一直線上にある。
(Q.E.D. 証明終了)
それでは今日はこの辺で。。☆彡
(計 2467字)
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