新「大学入学共通テスト」数学、マークシート式のモデル問題の解説と感想（図形・円と直線）

２０１７年（平成２９年）７月１３日、大学入試センターが、新テストの

「マークシート式問題のモデル問題例」及びモニター調査実施結果

を発表した。

マークシートと言っても、記述式答案を原型にして作った問題だから

簡単ではないし、モニター（大学１年生）の結果を見ると、図形の問題

はあまり理解されてないように思われる。にも関わらず、最終的な答

（選択肢の番号）しか公表されてない。

そこで今回は、その問題（モデル問題例４、３つの円と直線の交点）

の解説と感想をごく簡単に書いてみよう。いつものように、何も参考

にせず、自力のみで書く。本試験前にネットで公表した資料なので、

著作権の問題は生じないと考える。

ちなみに記述式の問題例については、２ヶ月前に記事を書いてある。

　大学入学共通テスト、記述式の問題例（数学）の解説

　　　　　　　～銅像を見込む角と位置

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まず、問題文の前半。と言っても、設問と点数の大部分はこの箇所

にある。

途中の問題文や選択肢は少し省略したが、要するに、証明の途中の

空欄に語句を記入して完成させる問題であって、選択肢が無くても、

大まかな流れは理解できるし、解答も可能。コンピュータも不要だ。

　　

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まず、空欄ア。点ＣとＳを通る直線がＡを通ることを証明するには、

直線ＣＳと円Ｏ1の交点Ｄ（Ｓ以外）が、「Ａ」と一致することを示せば

よい。また、他に同等の答の選択肢は無い。　　　

よって答はＡ、つまり３。これは８６％の大学１年生が正解。

次に空欄イ。∠ＳＡＱと∠ＳＤＱは、円Ｏ1において１つの弧に対する

円周角になってるから、等しいのは当たり前。つまり、３点Ｃ、Ｓ、Ａ

が一直線上にあることの証明には役立たない。よって答は、４。

続いて空欄ウ。ここからが証明開始で、円Ｏ1に内接する四角形の

性質より、∠ＡＳＰ＝∠ＢＱＰ。答は、２。

ここまでは正答率６０％以上だが、これ以降は一気に低くなって、

４０％～２０％まで落ち込む。選択肢の数は５コ前後しかないので、

でたらめに選んでも正答率２０％前後になる。ということは、大部分

の学生が理解できなかったということだ。

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証明の流れをキレイにまとめ直すと、以下のようになる。

　∠ＡＳＣ＝∠ＡＳＰ＋∠ＣＳＰ

　　　　　＝∠ＢＱＰ＋∠ＢＲＰ　（円Ｏ1とＯ3に内接する四角形の性質）

　　　　　＝１８０°　　　　（円Ｏ2に内接する四角形の内対角の和）

よって答は、エ（理由）が３。オはＣＳＰで、５。カはＢＲＰで、１。

キ（理由）は２。

上のように、等式の変形に、一連の流れを持たせれば理解しやすい。

最初の∠ＡＳＣを少しずつ書き直して、最後の１８０°という角度まで

到達させて行く。

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ところが、実際の設問の証明は、一連の流れを４つの文に分割して、

しかも接続詞も入れてないので、流れや意図、論理が読みにくい。

　四角形ＡＱＰＳは円Ｏ1に内接するから、∠ＡＳＰ＝∠ＢＱＰ

　四角形ＣＳＰＲは円Ｏ3に内接するから、∠ＣＳＰ＝∠ＢＲＰ

　四角形ＢＲＰＱは円Ｏ2に内接するから、

　　　　∠ＢＱＰ＋∠ＢＲＰ＝１８０°

　よって∠ＡＳＰは１８０°なので、３点Ｃ、Ｓ、Ａは一直線上にある。

このような分割した証明の書き方は、中学の教科書や参考書などでも

よく見かけるものだから、作成者にとっては普通の書き方なのだろう。

ただ、せめて２行目に「一方」、３行目に「ここで」と接続詞を入れるべき

だと考える。冒頭に、「∠ＡＳＣ＝∠ＡＳＰ＋∠ＣＳＰ」という前置きを

書いてないのは、意図的に問題を難しくしたのだとしても。。

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続いて、正答率わずか２０％で、ほとんど出来なかった設問。時間

が無くなることを考えても、直前までの正答率とは極端な差がある。

　

　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

以下、以前の証明と同じような書き方で、新たに書き直してみよう。

あえて真似してるだけであって、わかりやすくはないし、滑らかでも

ないので、念のため。修正点はピンク色にした。

　一つの弧に対する円周角は一定であるから、

　　　　　　　∠ＡＳＰ＝∠ＢＱＰ

　一つの弧に対する円周角は一定であるから、

　　　　　　　∠ＣＳＰ＝∠ＢＲＰ

　一つの弧に対する円周角は一定であるから、

　　　　　　　∠ＢＱＰ＝∠ＢＲＰ

　よって、∠ＡＳＰ＝∠ＣＳＰなので、

　３点Ｃ、Ｓ、Ａは一直線上にある。

こう書くと、接続詞がない不自然さが明らかだし、それぞれの弧の

名前（ＡＰ、ＣＰ、ＢＰ）も書いた方がいいはず。

いずれにせよ、（ａ）（ｃ）（ｅ）（ｆ）（ｇ）のみを修正したのだから、

答は３。

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実戦的には、たとえ証明が分からなくても、次のように考えれば、

答として３番を選択できることになる。

（ｆ）、つまり∠ＢＱＰ＋∠ＢＲＰ＝１８０°は間違いであって、

修正する必要があるから、選択肢の０と１は不適。

また、（ｂ）の箇所、つまり∠ＡＳＰ＝∠ＢＱＰは正しいから、

修正する必要はない。よって、選択肢の２は不適。

以上より、消去法によって、答は残る選択肢。つまり、３。

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ただし、いずれにせよ、前の設問の証明を理解してる必要はあるし、

選択肢３が本当に正しいのかどうかは示されてない。それを示すのは

非常に難しいことだろう。

つまり、それら５つ「のみ修正すれば十分」だと示されただけで、

５つ「のみ修正する必要がある」ことは示されてない。

この辺りも、中学や高校の数学で省かれてしまってる重要な点だ。

十分条件と必要条件は異なるとか教えつつ、実際の解答の中では

いま一つ活かされてない。

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最後に、私自身の証明を添えておこう。∠ＡＳＰから∠ＣＳＰへと

少しずつ変形していく、一連の流れをつけてる点が最大の違いだが、

最後の一言も重要だ。

　∠ＡＳＰ＝∠ＡＱＰ　　　（弧ＡＰに対する円周角）

　　　　　＝∠ＢＱＰ

　　　　　＝∠ＢＲＰ　　　（弧ＢＰに対する円周角）

　　　　　＝∠ＣＲＰ

　　　　　＝∠ＣＳＰ　　　（弧ＣＰに対する円周角）

よって、∠ＡＳＰ＝∠ＣＳＰ。

しかも、直線ＳＰに対して点ＡとＣは同じ側にあるので、

３点Ｃ、Ｓ、Ａは一直線上にある。

　　　　　　　　　　　　　（Ｑ．Ｅ．Ｄ．　証明終了）

それでは今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（計　２４６７字）