数学甲子園２０１６本選 １ｓｔ Ｓｔａｇｅ、全問題の解き方と感想

（☆１７年９月１８日の追記：　２０１７年の記事を新たにアップ。

　　数学甲子園２０１７本選Ｍａｔｈ　Ｂａｔｔｌｅ、問題と解き方　）

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去年（２０１６年）辺りから急に情報公開が遅くなってる数学甲子園。

１年後になってようやく、本選１ｓｔ　Ｓｔａｇｅの問題と解答（答のみ）

が公式サイトで公開されたので、全ての解き方と感想を書いとこう。

解法は私の第一感であって、速さや上手さ、美しさは別の話になる。

日本語１０問、英語５問、計１５問をチームで４０分以内に解く

から、１チーム５人なら１人３問。何とか完答を狙えると思う。ただ

１チーム３人だと１人５問になってしまうから、かなり大変だろう。

なお、当サイトの過去の記事（２０１１～１６年）は以下の通り。　　

　　数学甲子園２０１６予選、全２０問の問題、解き方、感想

　　数学甲子園２０１６（Ａｂｅｍａライブ配信）、前半感想

　　数学甲子園２０１５準々決勝、全問コメント＆解き方

　　２０１５予選、全２０問の問題、解き方、感想

　　２０１４準々決勝、全問コメント＆問題１０解答・別解

　　２０１３予選のポイント、問題１５の解説＆解答

　　２０１２、予選問題＆３日ぶりのラン、まだ暑い・・

　　数学の甲子園、全国数学選手権の問題にチャレンジ☆ 　（２０１１）

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以下、問題文はそのままの引用ではなく、省略表現にしてある。図だ

けは縮小コピペさせて頂いた。著作権的に許容範囲の引用と考える。

問題１　ａは正の定数。２ａ離れた定点ＰＱを中心とする半径ｒ

　　　　　の球２つの和集合（合併）の体積Ｖ（ｒ）は？

　ｒ＜ａのとき、共通部分が無いから、

　　Ｖ＝（８／３）πｒ³　・・・答

　ｒ≧ａのとき、半分だけ定積分で求めて２倍。因数分解して、

　　Ｖ＝（２／３）π（ｒ＋ａ）²（２ｒ－ａ）　・・・答

　　ちなみに、ｒを大きくすると球１つの体積に収束。　　　

問題２　１辺が６の正三角形の内部に、下図のように３つの円を

　　　　書き、面積和を考える。どちらがどれだけ大きいか？

　円の中心と接点、頂点を結ぶ補助線を引いて、

　各円の半径を求めればよい。

　（図１の円の面積和）＝{ ２７－（２７／２）√３ }π

　（図２の円の面積和）＝（１１／３）π

　図２が { （２７／２）√３－７０／３ }π 大きい　・・・答

これはかなり小さな差で、４ケタの計算が必要。

問題３　ａは正の定数。複素数ｚが｜ｚ｜≦ａを満たす時、

　　　　ｗ＝ｉ（ｚ＋ａ²）の絶対値の最小値は？

複素数平面で、原点からの距離の最小値を考える。

ｉ倍は単なる９０度回転で無意味だから、無視。

ｚ＋ａ²は、点（ａ²，０）中心、半径ａの円盤と考えると、

ａ²とａの大小関係、すなわちａと１の大小関係に

よる場合分けとなる。

　　ａ＞１　のとき、 ａ²－ａ

　０＜ａ≦１のとき、 ０　・・・答

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問題４　四面体ＡＢＣＤで、ＡＢ＝ＣＤ＝４、

　　　　ＡＣ＝ＢＤ＝５、ＡＤ＝ＢＣ＝６。

　　　　外接球の中心をＯ（オー）とし、ベクトル

　　　　ＡＢ、ＡＣ、ＡＤをベクトルｂ、ｃ、ｄとおくとき、

　　　　ベクトルＡＯをベクトルｂ、ｃ、ｄで表せ。

ベクトルＡＯ＝ｐ（ベクトルｂ）＋ｑ（ベクトルｃ）

　　　　　　　　　＋ｒ（ベクトルｄ）

とおいて、ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤの条件から

ｐ、ｑ、ｒを求める。辺の長さが分かってるので、

内積計算は簡単になって、連立１次方程式になる。

ベクトルＡＯ＝（１／４）ベクトルｂ＋（１／４）ベクトルｃ

　　　　　　　　＋（１／４）ベクトルｄ　・・・答

キレイな答だし、もっと上手い解き方があると思う。

図形的に考えるとか、一般的な知識を適用するとか。

問題５　石とりゲーム必勝法を考える。ルールは３つ。

　　　　ｎ個の石を２人で交互にとる。１度にとる石は

　　　　１コ以上、ｋコ以下。最後に石をとった者が勝ち。

　　　　ｋ＝４のとき、先手必勝となる１００以下の

　　　　正の整数ｎは何個あるか？

ｎ＝１、２、３、４は、直ちに先手勝ち。ｎ＝５だと

先手必敗。ｎ＝６なら、先手が１コとれば残り５コ

で後手の手番になるから、後手必敗、先手必勝。

ｎ＝７なら、先手が２コとればよい。以下同様。

結局、ｎの条件は５の倍数でないことになり、

１００以下だと、８０個　・・・答

実際の問題には、軽いヒントがついてる。厳密には帰納法で証明。

問題６　ある整数の平方で表される数を完全平方数という。

　　　　完全平方数でない正の整数ｎに対して、

　　　　ｆ（ｎ）を次のように定義する。

　　　　ｎ＝ａ0とし、ａ0＜ａ1＜ａ2＜・・・＜ａkという

　　　　正の整数列をつくって、すべての積が完全平方数

　　　　になるようにする。このような列のうち、ａkが最小

　　　　のものについて、ｆ（ｎ）＝ａkとする。

　　　　たとえば、ｆ（２）＝６。このとき、ｆ（２０）を求めよ。

２０＝２×２×５だから、完全平方数にするには５をかける

ことが必要。そこで、ａkの候補として、２５、３０、・・・と

考えていく。２５は、５×５だから不適。３０の場合、

２０×２４×３０＝（２²・５）×（２³・３）×（２・３・５）

　　　　　　　　　＝（２³・３・５）²

で完全平方数になる。よって、ｆ（２０）＝３０　・・・答

問題の意味を素早く正確に理解することが求められる。

基本は、簡単な例を具体的に書いてみること。

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問題７　ｎは４以上の整数。ｎ人の生徒を２つの区別

　　　　できない組に分け、どちらも２人以上にするとき、

　　　　分け方は全部で何通りか？

ｎ人それぞれを、Ａ組かＢ組に振り分けるだけだと、

（２のｎ乗）通り。

このままだと、例えばア、イ、ウ、エの４人をＡ、Ａ、Ｂ、Ｂ

とする場合と、Ｂ、Ｂ、Ａ、Ａとする場合を２通りとして

数えてしまうことになるが、これらは区別しない。

よって、２で割って、（２のｎ－１乗）通り。

さらに、０人の組ができる場合を避けるために、１を

引き、１人の組ができる場合を避けるためにｎを引く。

以上より、全部で （２のｎ－１乗）－ｎ－１通り　・・・答

問題文の「区別できない組」という書き方がまぎらわしいが、

話のパターンとしてはよくあるものだから、好意的に解釈。

問題８　音の強さのレベルを表す単位としてｄＢ（デシベル）

　　　　がある。振動数１ｋＨｚの音の最小可聴値の強さを

　　　　Ｉ₀（＝（１０⁻¹²Ｗ・ｍ⁻²）とすると、強さ Ｉ （Ｗ・ｍ⁻²）の

　　　　音のレベルα（ｄＢ）は次の式で表される。

　　　　　α＝１０ｌｏｇ₁₀（Ｉ／Ｉ₀）

　　　８０ｄＢの音の強さは、７５ｄＢの音の強さの何倍か？

８０ｄＢの音の強さをｐ、７５ｄＢの音の強さをｑとする。

８０＝１０ｌｏｇ₁₀（ｐ／Ｉ₀）より、　ｐ＝１０⁸ Ｉ₀

７５＝１０ｌｏｇ₁₀（ｑ／Ｉ₀）より、　ｑ／Ｉ₀＝（１０の７．５乗）Ｉ₀

∴　ｐ／ｑ＝（１０の０．５乗）＝√１０

よって、√１０倍　・・・答

物理的な意味や単位は深く考えず、数式で機械的に処理。

音の物理的な話はややこしい。

問題９　ある地域で収穫された人参のうち、規格外品である

　　　　割合は１５％と予想される。これを確かめるため、

　　　　収穫した人参から無作為に何本か選び、規格外品

　　　　である割合を調査したい。

　　　　「規格外品である割合が１３．５％以上１６．５％以下」

　　　　である確率を０．９５以上であるようにするとき、

　　　　少なくとも何本選べばよいか。一の位を切り上げて

　　　　十の位までの概数で答えよ。

　　　　ただし、次のことを仮定する。

　　　　収穫する本数、選ぶ本数は十分多く、「規格外品で

　　　　ある割合」は（近似的に）正規分布にしたがう。

　　　　平均０、標準偏差１の正規分布に従う確率変数Ｘ

　　　　において、Ｐ（｜Ｘ｜≦ｘ）＝０．９５を満たすｘは２。

二項分布を正規分布で近似する。１５％は０．１５。

区間　０．１５－０．０１５ ～ ０．１５＋０．０１５　が

区間　０．１５－２√{０．１５（１－０．１５）／ｎ}

　　　　　　～ ０．１５＋２√{０．１５（１－０．１５）／ｎ}　

と対応する。ｎは選ぶ本数。

∴　０．０１５＝２√（０．１５×０．８５／ｎ）

∴　（０．０１５）²＝４（０．１５×０．８５／ｎ）

∴　ｎ＝２２６６・・・　　よって、２２７０本　・・・答

正直、忘れてたので、公式に当てはめて機械的に解いた。

たぶん合ってると思うけど、悪しからず♪　この実験で、

規格外が１６％だと、最初の予想は正しそうだと判断。

２０％だと、予想が甘かったと判断するのが確率統計学。

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問題１０　実数ｘ、ｙ、ｚ、ｗが次の式を満たすとき、ｘの値は？

　　　　　ｘ＝２／（ｗ－２），　ｙ＝２／（ｘ－３）

　　　　　ｚ＝２／（ｙ－１２），　ｗ＝２／（ｚ－３）

第２式を第３式に代入して、ｙを消去。ｚをｘで表す。

それを第４式に代入して、ｚを消去。ｗをｘで表す。

それを第１式に代入して分母を払い、整理すると、

　５ｘ²－１２ｘ－１２＝０

この解のうち、与式の分母が０にならないものを求める。

∴　ｘ＝（６±４√６）／５　・・・答

最後の分母のチェックは、もし記述式テストなら減点

ポイント。２次方程式の解は必要条件にすぎないから、

十分性のチェックを済ませて、はじめて完全な正解。

問題１１　Ａ　ｒｏｐｅ　ｏｆ　ｌｅｎｇｔｈ　１８０ｍ　ｉｓ

　　　　ｃｕｔ　ｓｅｖｅｒａｌ　ｐｉｅｃｅｓ，ｗｈｏｓｅ

　　　　ｌｅｎｇｔｈｓ　ｆｏｒｍ　ａｎ　ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃ

　　　　ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ｗｉｔｈ　ｃｏｍｍｏｎ

　　　　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｄ　ｍ．Ｉｆ　ｔｈｅ　ｓｈｏｒｔｅｓｔ

　　　　ｐｉｅｃｅ　ｉｓ　１ｍ　ｌｏｎｇ　ａｎｄ　ｔｈｅ

　　　　ｌｏｎｇｅｓｔ　ｐｉｅｃｅ　ｉｓ　２３ｍ　ｌｏｎｇ，

　　　　ｆｉｎｄ　ｔｈｅ　ｖａｌｕｅ　ｏｆ　ｄ．

１８０ｍの長さを、１ｍから２３ｍまで、等差数列

をなす長さに分けるとき、公差は何ｍか。

項数をｎとすると、　ｎ（１＋２３）／２＝１８０

∴　ｎ＝１５

公差をｄとすると、　２３＝１＋（１５－１）ｄ

∴　ｄ＝１１／７　・・・答

等差数列という英語が分からなくても、公差ｄを

求める問題だと想像できる。

問題１２　Ｔｈｅ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ　ｂｅｔｗｅｅｎ

　　　　ｔｈｅ　ｚｅｒｏｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｑｕａｄｒａｔｉｃ

　　　　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ　ｘ²＋ｋｘ＋３　ｉｓ　√１０９．

　　　　Ｆｉｎｄ　ｔｈｅ　ｐｏｓｓｉｂｌｅ　ｖａｌｕｅｓ　ｏｆ　ｋ．

２次方程式ｘ²＋ｋｘ＋３＝０の２解の差が√１０９。

∴　{－ｋ＋√（ｋ²－１２）}／２

　　　　－{－ｋ－√（ｋ²－１２）}／２＝√１０９

∴　√（ｋ²－１２）＝√１０９

∴　ｋ²－１２１＝０　　　∴　ｋ＝±１１　・・・答

「２次方程式の解」と書かず、「２次式の値をゼロにする

ような数」と書いてるが、気づかないまま解く人が多いかも♪

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問題１３　Ｆｉｎｄ　ｔｈｅ　ｃｏｎｓｔａｎｔ　ｔｅｒｍ

　　　　ｉｎ　ｔｈｅ　ｅｘｐａｎｓｉｏｎ　ｏｆ　

　　　　{ ｘ²－（２／ｘ）}⁹．

９乗の展開式で、定数項を求める。

{（ｘ²）の３乗} （－２／ｘ）⁶の項だから、

9Ｃ3×２⁶＝（９・８・７／３・２・１）×６４

　　　　　＝８４×６４

　　　　　＝５３７６　・・・答

最後、２の６乗を掛け合わせるのを忘れないように。

問題１４　Ｗｈａｔ　ｂａｓｅ－１０　ｆｒａｃｔｉｏｎ　ｉｓ

　　　　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｂａｓｅ－５

　　　　ｄｅｃｉｍａｌ　０．３₅（３の上に水平横棒）？

５進法の循環小数０．３３３・・・は、１０進法の分数だと何か。

３×（１／５）＋３×（１／５）²＋３×（１／５）³＋・・・

＝３×{（１／５）／（１－１／５）}

＝３／４　・・・答

問いも書き方も珍しいが、基本通りに計算するだけ。無限等比

級数の和の公式を適用。ここでのｂａｓｅは、位取り記数法

の底（てい）の意味。

問題１５　Ｔｈｅｒｅ　ａｒｅ　ｆｏｕｒ　ｐｏｉｎｔｓ　ｉｎ

　　　　ｓｐａｃｅ，ｎｏｔ　ａｌｌ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｓａｍｅ

　　　　ｐｌａｎｅ．Ｈｏｗ　ｍａｎｙ　ｐｌａｎｅｓ

　　　　ｃａｎ　ｂｅ　ｄｒａｗｎ　ｓｕｃｈ　ｔｈａｔ

　　　　ｔｈｅｙ　ａｒｅ　ｅｑｕｉｄｉｓｔａｎｔ　ｆｒｏｍ

　　　　ｔｈｅｓｅ　ｐｏｉｎｔｓ？

空間に４つの点があり、同一平面上ではない。

これらの点から等距離の平面はいくつ描けるか？。

両側に３点と１点が分かれる平面は、

１点の選び方で４つ。

平面の両側に２点と２点が分かれるものは、特定の

１点が他のどの点と組になるかを考えて、３つ。

∴　４＋３＝７　・・・答

２点と２点に分ける平面がいつでも描けるかどうか、迷う所。

四面体の図を書いて、各辺の中点を結ぶ線分を引くと分かる

（ような気がする♪）。ただ、証明するのはやや面倒だ。　　

個人的には、問題４の計算と問題９の理論、問題１５の

図形的イメージにちょっと苦しんだ。

とりあえず、今日のところはこの辺で。。☆彡

　　　　　　　　　　　　　　（計　４７３９字）

　　　　　（追記　６２字　；　合計　４８０１字）