数学甲子園２０１７本選Ｍａｔｈ Ｂａｔｔｌｅ、問題と解き方（ａｂｅｍａ動画）

（☆１８年９月の追記： 翌年の記事アップ。

数学甲子園２０１８予選、正答率の低い

　　　３つの問題の解き方と感想　）

（☆１８年４月２１日の追記： ３日前、全問題と答のみが公開された。

　　以下の答はすべて正しいことを確認。

　　残りの問題の解説はとりあえず半分、別記事でアップした。

　　　Ｍａｔｈ　Ｂａｔｔｌｅ（マスバトル）、問題と解き方２

　　　　☆　　　　　　　☆　　　　　　　☆

数学甲子園２０１７は、去年と違って動画配信の告知が無かったから、

早くも放送中止かと思ってたら、配信されてた。

公式ＨＰを見ると、３日前の９月１４日にニュースが掲示されたらしい。

台風１８号のせいではないだろうから、単に放映の決定が遅れたと

いうことか。あるいは過去問の公開と同じく、サイト運営が全般的に

遅くなってるのか。去年まではもっと早かったのだ。

　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

とにかく、ａｂｅｍａの録画で序盤だけ見ると、去年は会場の様子を

風景みたいに映すだけだった第１ステージ（Ｍａｔｈ Ｂａｔｔｌｅ

＝マス・バトル）が、実況付きになってた。

サイエンスナビゲーター・桜井進と、ジャズピアニスト・中島さち子の

２人が担当。この世界だとどちらも有名人のようで、私は朝日新聞の

記事で知ってた。

マス・バトルは、日本語１２問、英語６問、計１８問をチームで６０分

で解くステージで、去年より難易度がレベルアップ。終わった後の

感想でも、複数の選手が難しかったとか言ってた。

英語の問題で、実況２人が最初の１分間、誤解してたのが象徴的。

視聴者コメントの助けを借りてた。

「周長」という英単語（ｐｅｒｉｍｅｔｅｒ）を「直径」と混同しただけ

なら、文脈の解釈ですぐカバーできたはず。正多面体を面に平行な

平面で切断すると、特徴的な多角形ができるという話だ。やはり問題

が難しかったというべきか。

前から指摘してるように、プロもわりと普通の問題で間違えたり解け

なかったりするのは確かなこと。外国語が苦手な人も結構いる。これ

は学問や教育だけでなく、人間にとって本質的に重要な事実だと思う。

「有限性」の問題。コンピューター、ＡＩ、ロボットについても同様。

　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　

とりあえず、私が見た序盤の放送できっちり紹介された８問と、画面

から読み取れた１問について、問題文と解き方、考え方、感想を紹介

しよう。正答は１ヶ月後くらいに追記するので、実力試しにどうぞ♪

他の問題がその後の放送で紹介されたかどうか、正答発表があった

かどうかは知らないので悪しからず。長過ぎて全部見る余裕はない。

残りの問題は、また公開され次第、別記事で扱う予定。

ちなみに、優勝（文部科学大臣賞）は灘高校・バンジー改チーム。

準優勝は南山女子部、敢闘賞（３位）は大阪星光学院。詳しくは

数学検定ｆａｃｅｂｏｏｋをご覧あれ。いずれもマス・バトルは

１５０点だから、満点なのか、あるいは１８問中の１５問正答か。

灘が優勝したのは、競技ルールを変更したからだと思う。今までと

比べると、普通に学力優秀な生徒が有利な大会になったのだ。

　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

問題１　次の式を整数係数の範囲で因数分解しなさい。

　　　　　ｘ⁸－２ｘ⁶－ｘ⁴－２ｘ²＋１

解き方　最初の問題だから、簡単にしてくれたのかも。

　　　　係数と次数が対称的になってるから、いきなり

　　　　第一段階の因数分解ができる人もいるだろう。

　　　　普通はまず、ｘ⁴（ｘ⁴－２ｘ²－１－２／ｘ²＋１／ｘ⁴）

　　　　として、カッコ内で ｘ²＋１／ｘ² をＸとおくところか。

　　　　途中で終わりにせず、最後まで因数分解しないと、

　　　　減点かバツになる。

（☆１０月２５日の追記：

　答　（ｘ²＋ｘ＋１）（ｘ²＋ｘ－１）（ｘ²－ｘ＋１）（ｘ²－ｘ－１）　）

問題３　ａをもっとも小さい数とする、連続するｎ個の正の整数

　　　　があります。これらの和が１０００であるとき、（ａ，ｎ）

　　　　の組として考えられるものをすべて求めなさい。ただし、

　　　　ｎは２以上の整数とします。

解き方　等差数列の和の公式を使うと、ａとｎの方程式が出る。

　　　　さらに整数という条件に着目。因数分解と素因数分解、

　　　　積の形への分解、不等式による変域の制限などを使う

　　　　と絞り込める。偶数と奇数にも注目したけど不要だった。

（☆１０月２５日の追記：

　答　（ａ，ｎ）＝（２８，２５），（５５，１６），（１９８，５）　）

　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

問題４　１個の白球と２個の赤球が入っている袋があります。

　　　　この袋の中から中身を見ずに球を１個取り出します。

　　　　取り出した球が白球なら、取り出した球に赤球を１個

　　　　加えて袋に戻します。取り出した球が赤球なら、取り

　　　　出した球に白球を１個加えて袋に戻します。この試行

　　　　を繰り返すとき、ｎ回めの試行で白球が取り出される

　　　　確率Ｐnを求めなさい。　

　　　　　　　　　（注．　原文ではＰは小文字）

解き方　球の個数に注目。漸化式を立てて変形して解く。

　　　　ｋ回目に白の確率がＰkとすると、この記号を使って、

　　　　ｋ回目の直前の白と赤の個数を表せる。

　　　　すると、ｋ＋１回目の直前の白と赤の個数も表せて、

　　　　Ｐ k＋1 をＰkで表す漸化式が出る。

　　　　この後、たまに見るテクニカルな変形をちょっと

　　　　使うと、複雑に見える漸化式がキレイに解ける。

（☆１０月２５日の追記：

　答　ｎ（ｎ＋３）／２（ｎ＋１）（ｎ＋２）　）

問題６　次の関数の最小値、およびそのときのｘの値を求めなさい。

　　　ｙ＝２・{ ３の(３ｘ－１)乗 }＋２・{ ３の(－３ｘ－１)乗 }

　　　　－(１／２)・{ ３の(２ｘ＋１)乗 }

　　　　－(１／２){ ３の(－２ｘ＋１)乗 }－２

解き方　これはわりと簡単。まず、３のｘ乗を Ｘ とおく。

　　　　さらに Ｘ＋１／Ｘ を ｔ と置き換えればよい。

　　　　自分で導入した文字の変域に注意。

（☆１０月２５日の追記：

　答　－１１／３，ｘ＝０　）

　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

問題８　ベクトルｎを単位ベクトルとします。点Ａ（ベクトルａ）

　　　　を通り、ベクトルｎに垂直な平面をαとし、点Ｂ（ベクトルｂ）

　　　　平面α上にないものとします。このとき、平面αに関して

　　　　Ｂと対称な点Ｃの位置ベクトル「ベクトルｃ」を、ベクトルｎ、

　　　　ベクトルａ、ベクトルｂを用いて表しなさい。

解き方　ＢＣと平面の交点をＨとすると、Ｈは垂線の足で、

　　　　ベクトルｃ＝ベクトルｂ＋ベクトルＢＣ

　　　　　　　　　＝ベクトルｂ＋２（ベクトルＢＨ）

　　　　ここで、ベクトルＢＨをベクトルｎのｔ倍とおいて、

　　　　ＡＨとＢＨが垂直という条件からｔを決定すればよい。

　　　　ベクトルその他は成分表示せず、そのまま使う方が

　　　　速いしハイレベル。内積を用いる。

　　　　慣れてる人にとっては簡単というか、やったことのある

　　　　問題だろう。司会の桜井進は答を覚えてると力説してた。

　　　　情報バラエティなら、お笑い系の司会者が「何ですか？」

　　　　と聞いて、間違いを誘って突っ込むパターンがお約束♪

（☆１０月２５日の追記：　Ｈを使わない方が少し速いかも。

　答　ｂ＋２{（ａ－ｂ）・ｎ} ｎ　　内積は丸点の箇所のみ　）

問題９　次の確率密度関数ｆ（ｘ）を考えます。

　　　ｆ（ｘ）＝（２／３）ｘ　（０≦ｘ＜１）

　　　　　　＝１－(１／３）ｘ　（１≦ｘ≦３）

　　　　　　＝０　（ｘ＜０，３＜ｘ）

　　　これをグラフで表したとき、右の図のように

　　　三角形状になります。ｆ（ｘ）が定める確率分布

　　　は三角分布とよばれ、自然現象や社会現象

　　　を説明する統計モデルとしてしばしば登場

　　　します。

　　　　ｆ（ｘ）を確率密度関数にもつ確率変数Ｘに

　　　ついて、その分散を求めなさい。

解き方　　まず、ｘｆ（ｘ）の積分で平均ｍを求めた後、

　　　　　（ｘ－ｍ）²ｆ（ｘ）の積分で分散Ｖを求める。

　　　　　ー∞＜ｘ＜∞の区間を、ｆ（ｘ）の定義域に

　　　　　合わせて分割して定積分。単純計算だが

　　　　　意外と面倒。

　　　　　私は全く知らなかったけど、三角分布の

　　　　　平均や分散を求める公式もあったから、

　　　　　検算に使って、答が合ってるのを確認した。

　　　　　無限区間の積分だから、本来は大学の

　　　　　問題で、慣れてない生徒が多いと思う。

（☆１０月２５日の追記：　答　７／１８　）

　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

問題１２　右の枠内は、あるプログラムを言葉で表現したもの

　　　です。とくに指示がない場合は、①から順に処理をします。

　　　　①でＭに２００００、Ｎに１０、Ｒに１を入力したときに

　　　出力される値を求めなさい。

　　　（以下、枠内）

　　　①　正の整数Ｍ、Ｎ、Ｒを入力する。

　　　②　Ａの値を１とする。

　　　③　Ｒに０．０１をかけた後、１を加えた値を

　　　　　新しいＲの値とする。

　　　④　ＭにＲをかけた値をＰの値とする。

　　　⑤　Ａの値とＮの値が等しいとき、有効数字３桁

　　　　　で表したＰの値を出力して処理を終了する。

　　　　　Ａの値とＮの値が異なるとき、⑥へ進む。

　　　⑥　ＭとＰの値の和にＲの値をかけた値を

　　　　　新しいＰの値とする。

　　　⑦　Ａに１を加えた値を新しいＡの値として、

　　　　　⑤へ戻る。

解き方　自分でブログラム通りに少し計算してみると、何の話か

　　　　すぐ分かる。大会の協力団体となってる日本公認会計士

　　　　協会、日本アクチュアリー会に配慮したような、ビジネス

　　　　の実用的問題。

　　　　ポイントは、面倒な単純計算を正確にこなすこと。電卓

　　　　とか使えば簡単だけど、人力だから「有効数字３桁」

　　　　という条件を上手く活用する。

（☆１０月２５日の追記：　答　２．１１×１０⁵　）

問題１３　Ｔｈｅ　ｇｒａｐｈ　ｏｆ　ｙ＝－２ｘ³＋４ｘ　ｉｓ

　　　　ｔｒａｎｓｌａｔｅｄ　３　ｕｎｉｔｓ　ｉｎ　ｔｈｅ

　　　　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｖｅｒｔｉｃａｌ　ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ａｎｄ

　　　　２　ｕｎｉｔｓ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｌｅｆｔ，ａｎｄ　ｉｓ　ｔｈｅｎ

　　　ｒｅｆｌｅｃｔｅｄ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｘ－ａｘｉｓ．Ｆｉｎｄ　ｔｈｅ

　　　　ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ　ｔｈｅ　ｒｅｓｕｌｔｉｎｇ　ｇｒａｐｈ

　　　　ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｏｒｍ　ｙ＝ａｘ³＋ｂｘ²＋ｃｘ＋ｄ．

解き方　３次関数のグラフを、ｙ軸の正の向きに３、

　　　　左向きに２、平行移動して、さらにｘ軸で

　　　　折り返す。英語さえ読めれば、教科書の

　　　　章末問題くらいの簡単なレベル。

　　　　確か、参考書持ち込み可だから、チャート

　　　　式とかに似た問題が載ってそうだ。

（☆１０月２５日の追記：

　答　ｙ＝２ｘ³＋１２ｘ²＋２０ｘ＋５　）

　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

問題１８　Ａ　ｒｅｇｕｌａｒ　ｏｃｔａｈｅｄｒｏｎ　ｏｆ　ｅｄｇｅ

　　　　　ｌｅｎｇｔｈ　ａ　ｉｓ　ｃｕｔ　ｂｙ　ａ　ｐｌａｎｅ

　　　　　ｐａｒａｌｌｅｌ　ｔｏ　ｏｎｅ　ｏｆ　ｉｔｓ　ｆａｃｅｓ．

　　　　　Ｆｉｎｄ　ｔｈｅ　ｐｅｒｉｍｅｔｅｒ　ｏｆ　ｔｈｅ

　　　　　ｓｅｃｔｉｏｎ．

解き方　辺の長さａの正八面体を、一つの面に平行な

　　　　平面で切る。切り口の周の長さを求めよ。

　　　　どこで切るのか、指示が何も書いてないから、

　　　　どこで切っても同じ定数だろうと予想できる。

　　　　最後の答しか採点基準に入ってないのなら、

　　　　八面体の面すれすれに切れば答が出る♪

　　　　マジメに解くのなら、展開図に切り口を表す

　　　　線を書くのが普通。

（☆１０月２５日の追記：　答　３ａ　）

それでは、正答その他の追記はしばらく後回しにして、

今日はこの辺で。選手や引率の先生、スタッフの皆さん、

どうもお疲れさま。。♪☆彡

ｃｆ．　数学甲子園２０１６本選１ｓｔ　Ｓｔａｇｅ、全問題の解き方

　　 ２０１６予選、全２０問の問題、解き方、感想

　　２０１６（Ａｂｅｍａライブ配信）、前半感想

　　２０１５準々決勝、全問コメント＆解き方

　　２０１５予選、全２０問の問題、解き方、感想

　　２０１４準々決勝、全問コメント＆問題１０解答・別解

　　２０１３予選のポイント、問題１５の解説＆解答

　　２０１２、予選問題＆３日ぶりのラン、まだ暑い・・

　　数学の甲子園、全国数学選手権の問題にチャレンジ （２０１１）

　　　　　　　　　　　　　（計　３９８０字）

　　　（追記４３７字　；　合計４４１７字）