数学甲子園２０１７予選、全２０問の問題、解き方、感想

（☆１８年９月の追記： 翌年の記事アップ。

数学甲子園２０１８予選、正答率の低い

　　　３つの問題の解き方と感想　）

　　　　☆　　　　☆　　　　☆

情報公開が遅くなったとかボヤいてたら、予選の公開は
まあまあ早かった。と言っても、以前よりはまだ遅い。
    
とにかく例年通り、今年（２０１７年）も数学
甲子園の予選を解説しとこう。この記事はいつも以上に
スマホからのアクセスの割合が高いだろうから、１行
を短くして入力する。パソコンの方、悪しからず。
    
あと、たまたまこの記事はｉＰａｄ入力だから、
レイアウトがちょっと不自然になってる。
ちなみに、過去の関連記事は以下の通り。ここだけは
以前のＰＣ入力のコピペ。
    

ｃｆ．　２０１７本選Ｍａｔｈ　Ｂａｔｔｌｅ、

　　　　問題と解き方（ａｂｅｍａ動画）

数学甲子園２０１６本選１ｓｔ　Ｓｔａｇｅ、全問題の解き方

　　 ２０１６予選、全２０問の問題、解き方、感想

　　２０１６（Ａｂｅｍａライブ配信）、前半感想

　　２０１５準々決勝、全問コメント＆解き方

　　２０１５予選、全２０問の問題、解き方、感想

　　２０１４準々決勝、全問コメント＆問題１０解答・別解

　　２０１３予選のポイント、問題１５の解説＆解答

    

　　２０１２、予選問題＆３日ぶりのラン、まだ暑い・・

　　数学の甲子園、全国数学選手権の問題にチャレンジ （２０１１）

    ☆ここからしばらく、表示が崩れてしまって、

　　なぜか直せない。後でパソコンで修正する。

　　　　☆　　　　☆　　　　☆
それでは本題に入ろう。全体的に難しめになってた。
答を出すだけとはいえ、６０分で完答して満点を
とるのは大変だろう。出題者や審査員にとっても♪
   
   
問題１。簡単。
（ｘ²ー３ｘー９）（ｘ²ー３ｘ＋１）＋１１
  の因数分解。
   
   
まず、ｘ²ー３ｘ＝Ｘとおいて展開して因数分解。
さらに細かく、ｘで因数分解。解答は、
（ｘ＋２）（ｘー１）（ｘー２）（ｘー５） 。
   
   
問題２。普通だけど、正確に。
放物線ｙ＝ｘ²＋４ｋｘー2ｋ²＋１１ｋー４
がｘ軸と共有点を持ち、その全てがｘ＜ー２の
範囲にあるような、定数ｋの範囲。
    
平方完成して、グラフを書いて解く。
頂点がｘ軸の上か下側で、ｘ＜ー２の範囲にある。
さらに、ｘ＝ー２の点がｘ軸の上側。
これらより答は ４/３ ≦ ｋ ＜ ３/２ 。
   
   
問題３。簡単だけど、スピードが問われる。
１０５７８／１１５６２ を既約分数で表せ。
   
１ー （９８４／１１５６２）
と変形すると、分母・分子が２、３、４１
で割れるのが分かる。
答は、  ４３／４７ 。
   
   
問題４。普通か、やや難。
ＡＢ＝８、ＢＣ＝１５、ＣＡ＝１７の
三角形ＡＢＣで、内接円とＡＢ、ＢＣの
交点をそれぞれＤ、Ｅとする。
ＡＥとＣＤの交点をＦとするとき、
ＣＦ：ＦＤを求めよ。
      
まず、内接円とＣＡの接点をＧとして、
３頂点から接点までの距離を求めると、
ＡＤ＝ＡＧ＝５。ＤＢ＝ＢＥ＝３。
ＥＣ＝１２。あとはどうやってもいいけど、
メネラウスの定理でＤＦ／ＦＣ＝５／３２
と求めるのが最速。答は、３２：５ 。
   
   
問題５。簡単というより、一瞬♪
ａ、ｂは正。ａｂ＝６の時、
５ａ＋２ｂの最小値は？
   
相加・相乗平均の定理より、
５ａ＋２ｂ ≧ ２√（５ａ・２ｂ）
∴ ５ａ＋２ｂ ≧ ２√60＝４√１５・・・答
   
       
   
　　　　☆　　　　☆　　　　☆
問題６。簡単だからスピード勝負。
｛２／（√３＋ｉ）｝³ の計算。
      
普通に計算してもいいけど、極形式を使えば暗算。
分母・分子を入れ替えると、
（ｃｏｓ３０°＋ｉ・ｓｉｎ３０°）³
＝ｃｏｓ９０°＋ｉ・ｓｉｎ９０°＝ｉ
∴ （与式）＝１／ｉ＝ ーｉ ・・・答
   
    
問題７。普通だけど細かいミスで減点されやすい。
０≦θ＜２πで、
√６ｃｏｓ２θー√２ｓｉｎ２θ＝２ の解。
      
ｃｏｓの加法定理を使って三角関数を合成すると、
√８ｃｏｓ（２θ＋π／６）＝２
∴ ｃｏｓ（２θ＋π／６）＝１／√２
一方、π／６≦２θ＋π／6＜４π＋π／6。
答は、 θ＝π／２４，１９π／２４，
２５π／２４，４３π／２４ 。
   
   
問題８。簡単。あぁっ！、通信エラーで
入力が ２問分消えてしまったから、もう手抜き！
ｌｏｇ（10）２＝ａの時、
ｌｏｇ（5）１０をａで表せ。
   
対数の底を１０に揃えて、真数の ５は１０／2。
答は、１／（１ーａ）。
   
   
問題９。簡単。
Ａ1＝１， Ａ（n＋1）＝ー２Ａn＋６
    
Ａ（n＋1）ー２＝ー２（Ａnー２）
Ａn＝２ー｛（ー２）のnー1乗｝ ・・答

問題１０。フーッ、気を取り直して。。 簡単。
２０人に５点満点のテストをした。結果は、
０点１人、１点３人、２点３人、
３点５人、４点４人、５点４人。標準偏差を
小数第２位まで求めよ。
      
平均は３点。普通に標準偏差の定義（分散の√）で
計算すると、√（１１／５）。つまり（√５５）／５。
√５５は７．４２より僅かに小さい数だから、
求める数は、 １．４８ ・・・答

　　　　☆　　　　☆　　　　☆
問題１１。普通だけど、プレッシャーがかかるかも。
平面上に半径ｒの球があり、中心を通って平面に
垂直な直線上の点（高さｈ）から光が放射状に出る。
平面上の球の影が球の表面積に等しい時、
ｈをｒで表せ。
    
直線を含む断面図を書くと、斜辺の長さｈーｒ、
他の２辺がｒと√（ｈ²ー２ｈｒ）の割合
の直角三角形が２つ出来る。
三角比で、影の円の半径を求めると、
ｈｒ／√（ｈ²ー２ｈｒ）。
よって条件より ｈ＝８ｒ／３ ・・・答
   
   
問題１２。簡単だけど注意。ベン図で確実に。
生徒２００人が、Ｅ検定、Ｋ検定、Ｓ検定を受験。
各合格者は９３人、１１７人、１１０人。
ＫとＳの合格者５５人。ＳとＥは３３人。
３つとも合格は１２人。３つとも不合格は０人。
ＥとＫのみ合格した人数は？
    
３集合の要素の個数に関する加法定理で、
２００ー０
   ＝９３＋１１７＋１１０ー（ＥＫ合格者数）
      ー５５ー３３＋１２
∴  （ＥＫ合格者）＝４４
∴ （ＥＫのみ合格者）
  ＝（ＥＫ合格者）ー（３つとも合格した者）
  ＝４４ー１２
  ＝３２（人）・・・答
   
   
問題１３。簡単。
ａは正の定数。ａ、ａ＋２、ａ＋４を３辺の
長さとする鈍角三角形が存在するとき、
ａの範囲は？
   
まず、三角形ができるための条件は、
ａ＋（ａ＋２）＞ａ＋４    ∴ ａ＞２
また、鈍角になるための条件は、
ａ²＋（ａ＋２）²＜（ａ＋４）²
∴ ー２＜ａ＜６
以上より、 ２＜ａ＜６ ・・・答
   
   
問題１４。超簡単。
９人を２人、２人、２人、３人の４グループに
分ける方法は何通りか。
   
まず、その順で普通にグループを作ると、
9Ｃ2 × 7Ｃ2 × 5Ｃ2
  ＝３６×２１×１０＝７５６０（通り）。
それらは、２人ずつの３グループの順を入れ替えた
６通りを重複して数えてしまってるので、実際は、
７５６０／６＝１２６０（通り）・・・答
   
   
問題１５。唯一の難問。最後に回して捨てる
イメージ♪  時間が２０分あったとしても不安。
      
ある国には３つの航空会社Ａ、Ｂ、Ｃがあって、
１１の都市を結ぶ。どの会社が全便欠航しても、
他の２つの会社を乗り継いで、全ての都市間を
移動できるようにする。最小の全路線数は？
      
各会社の路線数をａ、ｂ、ｃとする。
１１の都市を結ぶ最低路線数は１０（帰納法）。
一直線タイプでも、中心の１点から放射状に
引いても同様。
ａ＋ｂ≧10，ｂ＋ｃ≧１０，ｃ＋ａ≧１０
∴ ａ＋ｂ＋ｃ≧１５
また、ａ＋ｂ＋ｃ＝１５の場合は
確かに存在する。
底辺がＡ、左上がＢ、右上がＣの三角形を
底辺側で５個つなげばよい。あるいは、
同じパターンの三角形を、ある頂点を中心と
して、放射状に５個つないでもよい。
よって最小の全路線数は１５本。・・・答

   
　　　　☆　　　　☆　　　　☆
問題１６。普通か、やや難。
４個のサイコロＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄを振って、出た目の
数の積が合成数（素数の積）になる確率は？
   
合成数にならない場合は、全て１の場合か、
３個が１で１個が素数（２、３、５）の場合。
∴ （合成数にならない確率）
    ＝（１／６）⁴＋４×（１／６）³×１／２
    ＝１３／１２９６
∴ （合成数になる確率）
   ＝１ー１３／１２９６
   ＝１２８３／１２９６ ・・・答
   
   
問題１７。やや簡単。
分母・分子がｘの１次式である分数式ｆ（ｘ）で、
ｆ（２）＝０、 ｆ（６）＝４、 ｆ（８）＝９。
このとき、ｆ（１８）は？
      
ｆ（ｘ）＝ａ（ｘー２）／ｂｘ＋ｃ
とおいて、
ｆ（６）＝４ａ／（６ｂ＋ｃ）＝４
ｆ（８）＝６ａ／（８ｂ＋ｃ）＝９
これらより、
ｆ（ｘ）＝ー６（ｘー２）／（ｘー１２）
∴ ｆ（１８）＝ ー１６ ・・・答
   
   
問題１８。やや難。
ｘｙ平面上に、次の連立不等式で表される
領域Ｄがあり、点Ｐ（ｘ，ｙ）が動く。
ｘ²＋ｙー３≦０
ｘ²＋２ｙー４≧０
ｙ／（ｘ＋２）の最大値と最小値を求めよ。
    
ｙ／（ｘ＋２）＝ｋとおくと、
ｙ＝ｋ（ｘ＋２） （ｘ≠ ー２）
この直線（１点を除く）が、 D内を通るという
条件のもとで、傾きｋの最大・最小を求める。
最大値は、放物線ｘ²＋ｙー３＝０と接する
ときで、判別式０より、ｋ＝２。・・答
最小値は、２つの放物線の右側の交点
（√２，１）を通るときで、
ｋ＝（２ー√２）／２。 ・・・答

問題１９。やや簡単。ベクトル記号は省略。
三角形ＡＢＣの内部に点Ｐがあり、
ベクトル方程式
２ＰＡ＋３ＰＢ＋４ＰＣ＝０。
三角形ＡＰＢ、ＢＰＣ、ＣＰＡの面積比を
最も簡単な整数で表すと？
   
ー２ＡＰ＋３（ＡＢーＡＰ）
     ＋４（ＡＣーＡＰ）＝０
∴ ＡＰ
   ＝（７／９）｛（３ＡＢ＋４ＡＣ）／７｝
よって、辺ＢＣを４：３に内分する点をＤと
すると、Ｐは線分ＡＤを７：２に内分する点。
したがって面積比は、
４×７：｛（４×２）＋（３×２）｝：３×７
   ＝２８：１４：２１
   ＝４：２：３ ・・・答

問題２０。普通だけど、時間と点数で差がつく。
放物線ｙ＝ーｘ²＋４ｘとｘ軸で囲まれる領域を
直線ｙ＝ａｘが２等分する。定数ａの値は？
    
放物線とｘ軸の交点のｘ座標は、０と４。
１／６公式を使うと、領域の面積は
（４ー０）³／６＝３２／３。
よって２等分した面積は、１６／３。
放物線と直線の交点のｘ座標は０と４ーａ。
よって、再び１／６公式を用いると、条件は
（４ーａー０）³／６＝１６／３
∴ （４ーａ）³＝３２
∴ ａ＝４ー２³√４ ・・・答
    
    
以上でとりあえず終了。これは不自由なｉＰａｄ入力
の記事なので、後で色々と修正するつもり。
今週の合計字数のカウントもまた後ほど

（☆追記　１６５３３字）。

ではまた来週。。☆彡

Ｐ．Ｓ．　翌年の春、本選記事の続編を追加。

　　数学甲子園２０１７本選

　　　　Ｍａｔｈ　Ｂａｔｔｌｅ、解き方２

　　　　　　　　　　　　　（計　３９３９字）

　　　（追記１３２字　；　合計４０７１字）