気体の状態方程式、熱気球、ピストンと仕事～物理の問題と解き方８

問題文を書き写すのが面倒で、なかなか進まない『物理重要問題

集』シリーズ、第８弾。何と４ヶ月も間が空いてしまったが、今回も

数研出版が集めた過去の大学入試問題を解説してみよう。

今回、ずいぶん間が空いたのは、この単元の内容がどうもピンと

来ないからだ。熱気球の上昇と下降、ピストン運動、断熱膨張など、

何の値が固定されてて何が変化するのか、どうやって変化させてる

のか、自分で実験したこともないし問題文でも説明が不十分。まあ、

それが自分で想像できるのも物理の実力ということか。

これまでの７本は次の通り。他にも物理カテゴリーの記事は色々あ

るし、数学カテゴリーには多数の記事がある。相変わらずアクセス

は地味に続いてるので、受験生その他の需要はあるようだ。

　等加速度直線運動、放物線、モンキー・ハンティング～物理１

　運動の法則、浮力、物体の連結と分離～物理２

　動滑車、摩擦力（静止・動）、バネの弾性力～物理３

　等速円運動、円すい振り子、万有引力と人工衛星～物理４

　単振動、ばね振り子、水平ばね２本～物理５

　物体の衝突、運動量保存法則、はねかえり係数～物理６

　温度と熱量、熱容量、比熱～物理７

今回は第８章、気体分子の運動（ｐ．４８～）のＡ問題から３問。化学

に近い分野でもあるので、私自身も含め、化学があまり好きでない

人は苦手意識を持ちやすいと思う。

いつものように、式や説明は私が書いたもの。読みやすさと入力

環境のため、小文字を大文字に変えたり、添え字を小文字に変え

たりしてるが、言葉遣いは元のままだ。

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　７６　（気体定数の計算）　関西学院大

　１ｍｏｌの理想気体は、標準状態でその体積は２２．４Ｌと

　なる。この事実から気体定数を〔Ｊ／ｍｏｌ・Ｋ〕の単位で

　導け。有効数字は２桁まで計算せよ。１ａｔｍでは一端を

　封じた長さ約１ｍのガラス管に水銀を満たし、そのガラス

　菅を水銀の入った容器に、開口部を下にして鉛直に

　立てると、ガラス管の上部に空間を生じる。ガラス管内

　の水銀面は水銀容器の水銀面からの距離、すなわち

　水銀柱の高さは７６ｃｍである事を利用せよ。また水銀

　の比重は１３．６であり、重力の加速度を９．８ｍ／ｓ²

　とせよ。

　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

　（解答）

　（大気圧）＝（ガラス管内の水銀の重さがもたらす圧力）

　　　　　　＝（管内の水銀の重力）／断面積Ｓ（ｍ²）

　　　　　　＝（体積）×（単位体積あたりの質量）×

　　　　　　　　　×（重力加速度）／Ｓ

　　　　　　＝０．７６×１３６００×９．８

　　　　　　≒１０１３００ （Ｎ／ｍ²）

　この値を、気体の状態方程式に代入すると、

　　１０１３００×０．０２２４＝１×Ｒ×２７３

　　∴　Ｒ≒８．３ （Ｊ／ｍｏｌ・Ｋ）　・・・答

　（解説・感想）

　非常に有名な実験だから、ほとんどの人は知ってる

　だろうし、結果の値も有名で、受験生なら暗記してる

　のが普通。

　ということは、途中の式で単位の換算ができてるか

　どうかが採点のポイントになる。すべてｍｋｓ単位系

　で揃えればよい。長さはメートル、質量はｋｇ。

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　７７　（熱気球）　電気通信大

　圧力ｐ₀、温度Ｔ₀の大気中に容積Ｖ、質量ｍの変形

　しない容器がある。

　（１）　まず大気の密度ρ₀を求めよ。ただし、大気を

　　　理想気体とみなし、その１ｍｏｌの質量をＭ₀、

　　　気体定数をＲとする。

　（２）　器内の圧力をｐ₀に保って器内の温度を上げて

　　　いくと、ある温度Ｔで器が宙に浮き始める。その

　　　温度Ｔを求めよ。ただし、器は熱を伝えないもの

　　　とする（熱気球の原理）。

　（３）　器内の温度をＴ₀に保って器内の圧力を下げて

　　　いくとある圧力ｐで器が宙に浮き始める。その

　　　圧力ｐを求めよ。

　（４）　はじめ、器内を真空にし、のち、温度をＴ₀に

　　　保ちながら、ヘリウム・ガスを詰めていくとある

　　　圧力ｐで器が宙に浮かなくなる。その圧力ｐを

　　　求めよ。ただし、ヘリウムも理想気体とみなし、

　　　その１ｍｏｌの質量をＭとする。

　（５）　ｐ₀＝１ａｔｍ、Ｔ₀＝２７３Ｋ、Ｖ＝４４．８Ｌ、

　　　ｍ＝１４ｇ、Ｍ₀＝２８ｇ／ｍｏｌ、Ｍ＝４ｇ／ｍｏｌ、

　　　Ｒ＝０．０８２ａｔｍ・Ｌ／ｍｏｌ・Ｋとおいて

　　　（１）のρ₀、（２）のＴ、（３）のｐ、（４）のｐ

　　　を計算せよ。

　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

　（解答）

　（１）　大気の１ｍｏｌあたりの体積をＶ₀とすると、

　　　　ｐ₀Ｖ₀＝１ＲＴ₀より、　Ｖ₀＝ＲＴ₀／ｐ₀

　　　　∴　ρ₀＝Ｍ₀／Ｖ₀

　　　　　　　　＝Ｍ₀ｐ₀／ＲＴ₀　・・・答

　（２）　温度を上げると、器内の気体分子は外に

　　　逃げる。器内の新たなモル数をｎとすると、

　　　ｐ₀Ｖ＝ｎＲＴ　　∴　ｎ＝ｐ₀Ｖ／ＲＴ

　　　よって器内の大気の質量は、　ｐ₀ＶＭ₀／ＲＴ

　　　器の質量はｍだから、重力加速度をｇとすると、

　　　（容器全体の重力）＝（ｐ₀ＶＭ₀／ＲＴ＋ｍ）ｇ。

　　　浮き始める時には、この重力が浮力と一致。

　　　∴　（ｐ₀ＶＭ₀／ＲＴ＋ｍ）ｇ＝ρ₀Ｖｇ

　　∴　ｐ₀ＶＭ₀／ＲＴ＋ｍ＝Ｍ₀ｐ₀Ｖ／ＲＴ₀

　　∴　Ｔ＝ｐ₀Ｍ₀Ｔ₀Ｖ／（ｐ₀Ｍ₀Ｖ－ＲＴ₀ｍ）　答

　（３）　器内のモル数がｎになったとすると、

　　　ｐＶ＝ｎＲＴ₀　　∴　ｎ＝ｐＶ／ＲＴ₀

　　　∴　（容器全体の重力）

　　　　＝（ｐＶＭ₀／ＲＴ₀＋ｍ）ｇ

　　　これが浮力と一致するから、（２）と同様に

　　　ｐＶＭ₀／ＲＴ₀＋ｍ＝Ｍ₀ｐ₀Ｖ／ＲＴ₀

　　　∴　ｐ＝ｐ₀－（ＲＴ₀ｍ／ＶＭ₀）　・・・答

　（４）　器内のヘリウムのモル数がｎとすると、

　　　ｐＶ＝ｎＲＴ₀　　∴　ｎ＝ｐＶ／ＲＴ₀

　　　（２）（３）と同様に考えて、

　　　ｐＶＭ／ＲＴ₀＋ｍ＝Ｍ₀ｐ₀Ｖ／ＲＴ₀

　　　∴　ｐ＝（Ｍ₀ｐ₀Ｖ－ｍＲＴ₀）／ＭＶ　・・・答

　（５）　代入して計算すると、

　　　ρ₀＝１．３（ｇ／Ｌ），　Ｔ＝３．６×１０²（Ｋ）

　　　{（３）のｐ}＝０．７５（ａｔｍ）

　　　{（４）のｐ}＝５．３（ａｔｍ）　・・・　答

　（解説・感想）

　（２）は地上から浮き始める時。（３）はかなりの

　上空で、大気圧が下がった時の話だと思う。

　（４）は下降する時だと思うが、真空にすると

　いう設定の意味は不明。大気を追い出して、

　ヘリウムだけ満たすということか。

　最後の計算の過程は省略したが、約分と近似

　を上手く使ってもちょっと面倒だった。完答した

　受験生はかなり少ないだろう。

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　８３　（ボイル・シャルルの法則と

　　　　　　外気のする仕事）　　熊本大

　図のように１ｍｏｌの単原子理想気体の入った

　断面積Ｓ〔ｍ²〕の円筒容器が軸を鉛直にして

　固定されている。この容器にはなめらかに動く

　ピストンがあり、外気の温度がＴ〔Ｋ〕、その圧力

　がＰ〔Ｎ／ｍ²〕のときに容器の上の内面から

　ピストンまでの距離はＬ〔ｍ〕であった。ビストン

　の重さは無視できるものとし、重力加速度を

　ｇ〔ｍ／ｓ²〕として次の問いに答えよ。ただし、

　答えは気体定数Ｒ〔Ｊ／Ｋ・ｍｏｌ〕を用いずに

　表せ。

　（１）　このピストンに質量Ｍ〔ｋｇ〕のおもりを

　　　つるすとピストンは下の方へ動く。十分

　　　時間がたって気体の温度が外気と同じに

　　　なったとき、ピストンはもとの位置からいくら

　　　下がっているか。

　（２）　次に、ピストンがもとの位置へもどるまで

　　　容器内の気体を冷やした。このとき気体の

　　　温度はいくら下がったか。

　（３）　（２）において外気がした仕事はいくらか。

　（４）　（２）において容器の中の気体が失った

　　　熱量はいくらか。

　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

　（解答）

　（１）　ピストンが下がることで増した分の浮力が、

　　　　おもりの重力とつり合う。　　　　

　　　　ピストンが動く前後で、ボイル・シャルルの

　　　　法則（温度一定）を使用。圧力をＰ₁、

　　　　下がった長さをｘ（ｍ）とすると、

　　　　Ｐ（ＳＬ）＝Ｐ₁Ｓ（Ｌ＋ｘ）

　　　　∴　Ｐ₁＝ＰＬ／（Ｌ＋ｘ）

　　　「増した分の浮力＝おもりの重力」より、

　　　{Ｐ－ＰＬ／（Ｌ＋ｘ）}Ｓ＝Ｍｇ

　　∴　ｘ＝ＬＭｇ／（ＰＳ－Ｍｇ） （ｍ）　・・・答

　（２）　冷やした後の容器内の圧力をＰ₂、温度を

　　　Ｔ₂とすると、ボイル・シャルルの法則より、

　　　　Ｐ／Ｔ＝Ｐ₂／Ｔ₂　　∴　Ｐ₂＝Ｔ₂Ｐ／Ｔ

　　　「初期状態より増した浮力＝おもりの重力」

　　　より、（１）と同様に、

　　　（Ｐ－Ｔ₂Ｐ／Ｔ）Ｓ＝Ｍｇ

　　　∴　Ｔ₂＝Ｔ－（ＭｇＴ／ＰＳ）

　　　よって、元の温度Ｔから下がった温度は、

　　　　ＭｇＴ／ＰＳ　（Ｋ）　・・・答　

　（３）　外気は圧力Ｐのまま、体積Ｓｘだけ

　　　　ピストンを押してるから、

　　　（外気がした仕事）

　　　　＝ＰＳｘ

　　　　＝ＰＳＬＭｇ／（ＰＳ－Ｍｇ） （Ｊ）・・・答

　（４）　まず、気体定数を求める。

　　　初期の容器内の状態方程式は、

　　　Ｐ（ＳＬ）＝１×ＲＴ

　　　∴　Ｒ＝ＰＳＬ／Ｔ

　　　よって、

　　　内部エネルギーの減少は、

　　　　（３／２）（ＰＳＬ／Ｔ）（ＭｇＴ／ＰＳ）

　　　＝３ＬＭｇ／２

　　　外気が容器内の気体に対してした仕事は、

　　　　（外気がした仕事）－（おもりに対する仕事）

　　　＝ＰＳＬＭｇ／（ＰＳ－Ｍｇ）

　　　　　－Ｍｇ{ＬＭｇ／（ＰＳ－Ｍｇ）}

　　　＝ＬＭｇ

　　　熱力学の第一法則より、

　　　　（内部エネルギーの変化量）

　　　　　＝（外から加えた熱量）＋（外からされた仕事）

　　　∴　（外から加えた熱量）

　　　　　　＝－３ＬＭｇ／２－ＬＭｇ

　　　　　　＝－５ＬＭｇ／２

　　　∴　（中の気体が失った熱量）

　　　　　　　＝５ＬＭｇ／２ （Ｊ）　・・・答

　（解説・感想）

　最初から気体定数Ｒを求めて解いてもいいが、

　出題者としてはボイル・シャルルの法則を使う

　ように誘導したつもりだと思う。

　最後、熱力学の第一法則は、書き方や読み方

　が色々細かく分かれるので、その場に応じて

　適当な形を使うことが必要。

　「外からされた仕事」にマイナスをつけると、

　「外に対してする仕事」。

　「外から加えられた熱量」にマイナスをつけると、

　「外に加えた熱量」。あるいは「失った熱量」。

次回は２ヶ月以内に書きたいと思うが、年末年始と重なるので、

年明けの１月下旬になるかも。今日のところはこの辺で。。☆彡

　　　　　　　　　　　　　　　（計　３７３１字）