「分割数」の計算、数学者ラマヌジャンとスープ豆２０粒の分け方６２７通り（朝日新聞・天声人語）

マニアック・ブログというものは、毎日１２年半続けても書くネタには

困らないが、記事にする際に挫折することは時々ある (^^ゞ　お目当て

の情報が見つからなかったり、見つかり過ぎてまとまらなかったり。

あるいは、計算があまりに面倒で挫けたり♪

今日は、近所の騒音攻撃で寝不足の中、朝日新聞・朝刊（１７年

１２月１８日）の名物コラム・天声人語について記事を書くことに決定。

冒頭のコネタに飛びついたのだ。

　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

　インド出身の数学者ラマヌジャン（１８８７～１９２０）は 

　英国滞在中、台所で豆のスープを作ろうとして挫折した。 

　並外れた数字好き。豆２０粒を何通りに分けられるか 

　気になり、調理を忘れる。豆粒の数が何であっても使える 

　公式を求めて没頭したという

この種の問題は、一般的な公式どころか、２０粒に限ったとしても、

解くのは面倒（人間にとっては）。高校数学の問題なら、普通は５つ

前後だろう。５個のりんごを分けるやり方とか。

ただ、３０分もあれば２０粒問題の答を出せそうだと誤解してしまった

から、豆の話を軽くトッピングして記事を書くことに決定。

ところが、そもそも豆の話が、いくら英語で検索しても出て来ない。

「Ramanujan soup beans 20」とか、色々試しても

ダメ。映画『奇蹟がくれた数式』（The Man Who Knew

Infinity）の英語シナリオにも英語原作にも発見できず。日本語で

検索すると、上の天声人語関連のページばかりがヒットしてしまう。

「どの『評伝』に載ってるんですか？」と、朝日新聞に電話して聞く

のも面倒だ。昔、不愛想なオヤ・・じゃなくて中高年男性が応答して

来たし♪

　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

仕方ないから、とりあえず豆のエピソードは諦めて、２０粒の分け方

を考え始めた。

しらみつぶしの場合分けで書き並べて、たかが３０分だろうと思った

けど、早くも２０分でうんざりして来る (^^ゞ　高校時代なら、夢中に

なって一気に書き上げただろうけど、大人は途中でつい、他の事に

目が行ってしまうのだ。集中力減退か！

一応やった範囲だけでも書いとこう。何枚かのお皿に分ける方法で、

どの皿にも１粒以上の豆があるとする。それぞれの皿は区別せず。

個数が少ない順に、左から並べて集合を作ってみた。１枚もあり。

多少の規則性は利用できる。例えば「４粒の分け方」なら、最も

少ない皿は１粒か２粒。１粒の時には、残り３粒だから、「３粒の

分け方」を参考にできる。

しかし、最も少ない皿が２粒の時には、残り２粒だけど、「２粒の

分け方」をそのまま使えるわけではない。最少が２粒という条件

が付くからだ。重複組合せとか、何か上手い技を使えるのかも

知れないけど、まだ思いつかないし、探し回ることもしてない。

あっ！、「分割数」（ｎｕｍｂｅｒ　ｏｆ　ｐａｒｔｉｔｉｏｎ）の

解説と計算公式（分割関数：ｐａｒｔｉｔｉｏｎ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ）を

英語版ウィキペディアで発見☆　ラマヌジャンの研究も載ってる！

やっぱり、数が大きくなるとコンピューター計算するわけね。

とりあえず、答が分かった。２０粒の分け方は、６２７通りとのこと。

ｐ（２０）＝６２７。後ほど補足する予定。分割数だと、１皿だけの場合

もカウントするようなので、私もその考えに合わせた。

　　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

では、やった所まで書いてみよう。まだ真面目にチェックしてない

から、数えもらしがあるかも。。

2粒　2通り　(2)；　(1,1)

3粒　3通り　(3)；　(1,2)　；　(1,1,1)

4粒　5通り　(4)；　(1,3) (2,2)；　(1,1,2)；　(1,1,1,1)

5粒　7通り

　　　(5)；　(1,4) (2,3)；　(1,1,3) (1,2,2)；　 (1,1,1,2)；　(1,1,1,1,1)

　　　
　　
6粒　11通り　(6)；　(1,5) (2,4) (3,3)；　(1,1,4) (1,2,3) (2,2,2)；

　　　　(1,1,1,3) (1,1,2,2)；　(1,1,1,1,2)；　(1,1,1,1,1,1)

7粒　15通り

　　　(7)；　(1,6) (2,5) (3,4)；　 (1,1,5) (1,2,4) (1,3,3) (2,2,3)；

　　　(1,1,1,4) (1,1,2,3) (1,2,2,2)；　 (1,1,1,1,3) (1,1,1,2,2)；

　    (1,1,1,1,1,2)；　 (1,1,1,1,1,1,1)
   
8粒　22通り

　　　(8)；(1,7) (2,6) (3,5) (4,4)；(1,1,6) (1,2,5) (1,3,4) (2,2,4) (2,3,3)

　　　 (1,1,1,5) (1,1,2,4) (1,1,3,3) (1,2,2,3) (2,2,2,2)；

  　   (1,1,1,1,4) (1,1,1,2,3) (1,1,2,2,2) ；

　　　 (1,1,1,1,1,3) (1,1,1,1,2,2)　；

　　　 (1,1,1,1,1,1,2)　；　(1,1,1,1,1,1,1,1)
   
9粒　30通り

　　　(9)；　(1,8) (2,7) (3,6) (4,5)　；

　     (1,1,7) (1,2,6) (1,3,5) (1,4,4) (2,2,5) (2,3,4) (3,3,3)；

　     (1,1,1,6) (1,1,2,5) (1,1,3,4) (1,2,2,4) (1,2,3,3) (2,2,2,3)；

　　　(1,1,1,1,5) (1,1,1,2,4) (1,1,1,3,3) (1,1,2,2,3) (1,2,2,2,2)；

　　　(1,1,1,1,1,4) (1,1,1,1,2,3) (1,1,1,2,2,2)；

　　　(1,1,1,1,1,1,3) (1,1,1,1,1,2,2)

　　　(1,1,1,1,1,1,1,2)；　(1,1,1,1,1,1,1,1,1)

　・・・・・・中略・・・・・・

20粒

　　1皿　1通り　(20)　

　　2皿　10通り　（粒数を２で割って、小数点以下は切り捨て）

　　　(1,19) (2,18) (3,17)・・・・・・ (10,10)

　　3皿　 33通り　9＋8＋6＋5＋3＋2

　　　(1,1,18) (1,2,17) (1,3,16) (1,4,15) (1,5,14) (1,6,13) (1,7,12) (1,8,11) (1,9,10)

　　  (2,2,16) (2,3,15) (2,4,14) (2,5,13) (2,6,12) (2,7,11) (2,8,10) (2,9,9)

      (3,3,14) (3,4,13) (3,5,12) (3,6,11) (3,7,10) (3,8,9)

      (4,4,12) (4,5,11) (4,6,10) (4,7,9) (4,8,8)

　　(5,5,10) (5,6,9) (5,7,8)  ;

　　 (6,6,8) (6,7,7)

　　4皿　63通り

　　　　{9＋7＋6＋4＋3＋1}＋{7＋5＋4＋2＋1}＋

　　　　{5＋3＋2}＋{3＋1}

　　　(1,1,1,17) (1,1,2,16) (1,1,3,15)・・・(1,1,9,9)

      (1,2,2,15) ・・・(1,2,8,9)

　　　(1,3,3,13)・・・(1,3,8,8)

　　　(1,4,4,11)・・・(1,4,7,8)

　　　(1,5,5,9)・・・(1,5,7,7)

　　　(1,6,6,7)
   
　　　(2,2,2,14)・・・(2,2,8,8)　；(2,3,3,12)・・・(2,3,7,8)；

      (2,4,4,10)・・・(2,4,7,7)　；(2,5,5,8) (2,5,6,7)；　(2,6,6,6)

　　　(3,3,3,11)・・・(3,3,7,7)　；(3,4,4,9) (3,4,5,8) (3,4,6,7)

　　　(3,5,5,7) (3,5,6,6)

　　　(4,4,4,8) (4,4,5,7) (4,4,6,6)； (4,5,5,6)

　　5皿　84通り？？

      {8＋7＋5＋4＋2＋1}＋{6＋5＋3＋2}＋{4＋3＋1}＋{2＋1}

　　　＋{6＋4＋3＋1}＋{4＋2＋1}＋2

　　　＋{3＋2}＋1

　　　＋1　？？

　　　(1,1,1,1,16) (1,1,1,2,15)・・・(1,1,1,8,9)

　　　(1,1,2,2,14) (1,1,2,3,13)・・・(1,1,2,8,8)

　　　(1,1,3,3,12) (1,1,3,4,11)・・・(1,1,3,7,8)

　　　(1,1,4,4,10) (1,1,4,5,9) (1,1,4,6,8) (1,1,4,7,7)

　　　(1,1,5,5,8) (1,1,5,6,7)　；　(1,1,6,6,6)

　　　(1,2,2,2,13) (1,2,2,3,12)・・・(1,2,2,7,8)

　　　(1,2,3,3,11) (1,2,3,4,10)・・・(1,2,3,7,7)

　　　(1,2,4,4,9) (1,2,4,5,8) (1,2,4,6,7)

　　　(1,2,5,5,7) (1,2,5,6,6)

　　　　・・・

　　　(2,2,2,2,12) (2,2,2,3,11)・・・(2,2,2,7,7)

　　　(2,2,3,3,10) (2,2,3,4,9) (2,2,3,5,8) (2,2,3,6,7)

　　・・・途中は断念・・・

　 15皿　5粒の場合の数＋1通り？

　　　(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,6) (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,5)

      (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,4)  ;  ？

  16皿　5通り

　　　 (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,5) (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,4)

      (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3,3) (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,3)

      (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2) 

　 17皿　3通り

　　　 (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,3) (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,4)

      (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2)

　 18皿　2通り

　 (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2) (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,3)

   19皿　1通り　 (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2)

　 20皿　1通り　 (1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)

面倒すぎるので、途中は断念した。いずれ、プログラミングして

コンピューターに書かせたい♪

とりあえず、正解も解説も見つけたことだし、今日はこの辺で。。☆彡

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