「大学入学共通テスト」試行調査（プレテスト）、数学ⅡＢ・第３問（数列、薬を飲む量と時間間隔）の解説

「大学入学共通テスト」第１回試行調査（プレテスト）については、

既に国語の記事、数学ⅠＡの記事を書いた。今日は、数学ⅡＢ

の記事を書いてみよう。

問題・解答その他、情報はすべて大学入試センターＨＰで公開

されてる。以下で扱う第３問は一応、選択問題だが、実際はほぼ

全員が選択。

要するに、これだけ統計とかビッグデータの重要性が強調される

時代になっても、相変わらず大部分の高校生は正規分布などの

統計を避けるわけだ。高校教育のあり方や授業の進め方、大学

入試問題の傾向が問われるべきかも知れない。

　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

この問題には数値記入があるが、文章の記述は入ってない。ただ、

内容的にも難易度的にも良問だと思う。少し難しめといった感じで、

誘導も適切。あえて注文を付けるなら、薬の名前のＤという文字は

紛らわしいだけだろう。無い方が親切だ。

正答率は、簡単な前半は高いが、難しくなる後半は低い。選択肢

が一部に付いてることなどを考慮すると、後半は実質的に正答者

ゼロに近いが、数ⅠＡほど極端な不出来にはなってない。

日常的な実用性もある問題で、要するに、薬を毎回飲むのは面倒

だが、まとめ飲みは効率が悪い、ということ。ただし、２回まとめて

飲むくらいなら大丈夫なように、安全性も配慮して作られてるのだ。

もちろん、まとめ飲みはしないのが原則なので、念のため。間が

空き過ぎると、途中で薬の効果が不足することになるし、まとめて

飲んだ直後には副作用が強まってしまうから。

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（１）　ａ(1)、つまり１回目の服用直後の血中濃度はＰ。すなわち、５。

　　　　ａ(1)＝５　・・・アの答

　　薬の濃度が１／２になる１２時間ごとに、濃度が５増えるのだから、　　

　　ａ(n＋1) ＝ （１／２）ａ(n)＋５　・・・イ、ウ、エ

公式より、各項から引くと等比数列になるような定数は、

　ｄ＝（漸化式の定数項）／〔１－{ａ(n)の係数}〕

　　＝５／（１－１／２）

　　＝１０　・・・オ、カ

　ａ(n)－１０＝（１／２）{ａ(n)－１０}

　よって{ａ(n)－１０}は公比１／２の等比数列。　・・・キ、ク

階差数列をとるなら、

　ａ(n＋2)－ａ(n＋1)＝（１／２）{ａ(n＋1)－ａ(n)}

　　∴　（公比）＝１／２　・・・ケ、コ

考え方１の方を使うと、

　ａ(n)－１０＝（１／２）（ｎ－１乗）{ａ(1)－１０}

　　　　　　　＝（１／２）（ｎ－１乗）（－５）

　∴　ａ(n)＝１０－５（１／２）（ｎ－１乗）

　　　　　　　・・・サ、シ、ス、セ、ソ

（２）

（１）で求めた一般項ａ(n)の式より、ａ(n)の値は常に１０未満。

つまり、常にＬ＝４０を下回る。

よって、０番と１番は誤りで、２番は正しい。

また、２回目の服用直前、濃度が最も下がってる時でさえ、

　ａ(2)－５＝（１０－５×１／２）－５＝２．５

よって、常に濃度はＭ＝２を上回るので、

３番は正しくて、４番と５番は誤り。

したがって答は、２番と３番。　・・・タ

（３）

（１）と同様に考えると、２４時間ごとに濃度が１／４になるから、

　ｂ(n＋1)＝（１／４）ｂ(n）＋５

　∴　ｂ(n)－２０／３＝（１／４）{ｂ(n)－２０／３}

　∴　ｂ(n)＝（１／４）（ｎ－１乗）{ｂ(1）－２０／３}＋２０／３

　　　　　　＝２０／３－５／３（１／４）（ｎ－１乗）

　∴　ｂ(n＋1)－Ｐ＝５／３－５／３（１／４）（ｎ乗）

一方、ａ(2n＋1)－５＝５－５（１／２）（２ｎ乗）

　　　　　　　　　　　　＝５－５（１／４）（ｎ乗）

　∴　{ｂ(n＋1)－Ｐ}／{ａ(2n＋1)－Ｐ}

　　　　　＝１／３　・・・チ、ツ

（４）

２４時間ごとにｋ錠飲む場合の、ｎ回目の服用直後の濃度を

ｃ(n)とすると、（１）（３）と同様に考えて、

　ｃ(n＋1)＝（１／４）ｃ(n)＋５ｋ

　∴　ｃ(n)＝

　　　　（１／４）（ｎ－１乗）（－５ｋ／３）＋２０ｋ／３

　∴　（２４ｎ時間経過後の服用直前の濃度）

　　　＝（ｎ＋１回目の服用直前の濃度）

　　　＝ｃ(n＋1)－５ｋ

　　　＝５ｋ／３－５ｋ／３（１／４）（ｎ乗）

（３）より、これは１２時間ごとに１錠飲む場合の（ｋ／３）倍。

　これが１倍になる時、　ｋ＝３　・・・テ

この時、

　（ｎ回目の服用直後の濃度）

　　　＝ｃ(n)

　　　＝２０－５（１／４）（ｎ－１乗）

これは常に２０未満なので、Ｌ＝４０を超えることはない。

したがって、正しいのは３番。　・・・ト

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２回分のまとめ飲みをする場合は、「ある意味」、３倍の量が必要

になるというのは面白い結果だ。

ちなみに私は、基本的に２回以上のまとめ飲みはしない。飲み

忘れた時はそのままにするか、次回に１．５回分くらい飲む。

効き目が強い場合は、少し時間を空けて、１回分＋０．５回分に

分けて飲むとか。もちろん、お勧めはしないので念のため。

最後のテとトは、真面目に計算しなくても、直前の（３）から想像が

つく。元の量のままだと３分の１の濃度になってしまうから、３倍飲む

ということだし、その程度で許容範囲を超えるとは常識的に思えない。

もっと言うなら、（３）とも無関係に、単なる勘でも正答できるだろう。

それはそれで、高い評価に値する能力だと思う。　　

では、今日のところはこの辺で。。☆彡

　　　　　　　　　　　　　　　（計　２１０８字）