「大学入学共通テスト」試行調査（プレテスト）、数学ⅠＡ・第３問（高速道路の確率）の解説

先日は国語について記事を書いたので、今日は数学Ⅰ・数学Ａに

ついて書くことにしよう。大学入試センターの公式サイトで公開中。

私自身の感覚だと、どれも面白くてよく考えられた問題だ。現代性

や日常性も考慮されてて労作だと思う。しかし、全国の普通の高校

２年生、３年生は、難しい、あるいは大変だと感じただろう。

まだマークシート部分の採点だけなので、いずれ記述式の設問の

採点が終わると事態はますます明らかになると思う。「共通テスト」

なのに、「上級テスト」のような結果になってる。

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必答２問、選択２問、合計４問で７０分という時間は、あの問題文だと

かなり短い。特に、問題１（１０ページ）と問題２（８ページ）は文章が

長いから、読むだけでも大変。それぞれ４分の１の時間（１７分３０秒）

だと、肝心の考える時間が足りなくなってしまう。

だから、最初で時間を使ってしまって、後の方の問題にしわ寄せが

来るのではないか。第２問（Ｔシャツと２次関数、統計・データ分析）

の中盤以降の正答率はかなり低いし（１０％前後が４ヶ所）、以下で

扱う第３問（選択率６８％）の正答率も、最初以外１０～２０％（上図）。

特に最後の設問は、四択（四者択一）だから、でたらめに選んでも

正答率２５％のはずなのに、実際は１２％。ということは全滅に近い

わけで、流石に「良問すぎた」ということか。

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とにかく、私が一番面白いと思った第３問（場合の数と確率・統計）

を見てみよう。高速道路の渋滞をなるべく少なくする話で、システム

工学とか応用数学の分野だ。似たような話に、道路の信号の制御

などがある。

図の下のＡ地点から上のＢ地点に向かう高速道路では、中央を

真っ直ぐ行く経路（Ａ→Ｃ→Ｄ→Ｂ）がメインだが、３ヶ所に分岐点

がある。渋滞の表示がなければ、上のような確率で選択される。

分岐点で片方の道路だけに渋滞の表示がある時には、そちらを

選択する確率がもとの２／３へと減少する。

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おそらく、そう書けば多少は正答率が上がると思うが、実際の問題

文はわざと読みにくい表現で書かれてるのだ。もちろん、図に確率

の書き込みはないし、やや凝り過ぎで複雑過ぎる出題かも知れない。

例えば、３地点の調査日を別にする必要はないし、書く必要もない。

「いずれにも渋滞中の表示がある場合」という説明も、むしろ無い

方が生徒の誤解が減るかも。

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それでは、解答と解説、感想を書いていこう。

（１）は、渋滞中の表示がない場合に、Ａ地点で道路①を選択する

確率。私が図に書き込んだように、答は１２／１３。問題文を読み

取って、約分する。

（２）は、渋滞中の表示がない場合、Ｄ地点を通過する確率。

　（Ａ→Ｃ→Ｄと進む確率）＝（12/13）×（7/8）

　　　　　　　　　　　　　＝ 21/26

　（Ａ→Ｅ→Ｄと進む確率）＝（1/13）×（1/2）

　　　　　　　　　　　　　＝ 1/26

　∴　（Ｄを通過する確率）＝ 21/26 ＋ 1/26

　　　　　　　　　　　　　＝　１１／１３　・・・答

（３）は、渋滞中の表示がない場合、Ｄ地点を通過した車がＥ地点

を通過していた確率。原因の確率の公式（ベイズの定理）より、

　（Ｄ地点を通過した車が、Ｅ地点を通過していた確率）

　　　＝　（Ｅ→Ｄと進む確率）

　　　　　　　÷{（Ｃ→Ｄと進む確率）＋（Ｅ→Ｄと進む確率）}

　　　＝　（1/26）÷（21/26＋1/26）

　　　＝　１／２２　・・・答

もちろん、原因の確率の公式は苦手な生徒が多いので、直感的に

　（２１／２６）：（１／２６）＝２１：１　　∴　１／２２

と出す方が実戦的だと思う。

最後に１と２１を足すのを忘れて、「１／２１」と答えてしまう生徒が

少なくないだろうが。

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（４）は、道路①のみ渋滞中の表示がある時、Ｄ地点を通過する確率。

　（道路①を選択する確率）＝（12/13）×2/3

　　　　　　　　　　　　　　＝ 8/13

　∴　（道路④を選択する確率）＝1-8/13

　　　　　　　　　　　　　　＝ 5/13

　∴　（Ｄを通過する確率）

　　　　＝（Ａ→Ｃ→Ｄと進む確率）＋（Ａ→Ｅ→Ｄと進む確率）

　　　　＝ （8/13）×（7/8）＋（5/13）×（1/2）

　　　　＝ 7/13 ＋ 5/26

　　　　＝　１９／２６　・・・答

道路①を選択する確率が減る時、道路④を選択する確率が増す

のを忘れないのがポイント。

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そして最後の（５）、（６）。問題設定が難しくなる。

ある日（５月１３日）の車を計１５６０台と想定。各道路の通過台数

は１０００台以下に留めたい。

（５）は、まず渋滞中の表示がない場合、道路①を通過する台数。

　1560×12/13 ＝ １４４０（台）　・・・答

そこで、道路①に渋滞の表示を出すと、①を通過する台数は、

　1440×2/3 ＝ ９６０（台）　・・・答

（６）は、選択肢となる図が４つ与えられてる。

直感的に考えると間違えそうなので、真面目にすべて計算する方

がいいだろう。実戦的には、とりあえず勘で何か答えた後、最後に

余った時間で取り組むべき所だ。

０番と１番は、道路③で１０００台制限を超えるので失敗。

２番と３番を比較すると、答は３番になる。

（道路①でＡ→Ｃと進む車）＝960（台）

（道路②でＣ→Ｄと進む車）＝960×（7/8）×（2/3）

　　　　　　　　　　　　＝ 560（台）

（道路④でＡ→Ｅと進む車）＝1560-960＝600（台）

（道路⑤でＥ→Ｂと進む車）＝600×（1/2）×2/3

　　　　　　　　　　　　＝ 200（台）

（道路⑥でＥ→Ｄと進む車）＝600－200＝400（台）

（道路③でＤ→Ｂと進む車）＝560＋400＝960（台）

∴　（道路①②③を通過する車の合計）

　　　　＝ 960＋560＋960

　　　　＝　２４８０（台）

計算自体は小学校レベルだが、問題文を理解して、４つの図で

この計算をするのは面倒。実質的に全滅状態に近くなったのも

うなづける。

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念のため、公式サイトの正解も引用。基本的には良問だから、

文章をもう少し簡潔にして、計算量を少し減らせばいい。

この問題、よく読むと、本当は渋滞してないのに「渋滞」と表示する

場合があるような内容になってるのが気になる♪

それでは今日はこの辺で。。☆彡

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　　数学ⅡＢ・第３問（数列、薬を飲む量と時間間隔）の解説

　　　「大学入学共通テスト」試行調査、

　　　　　　国語・第１問（部活動）の解説・感想

　　　　　　　　　　　　　　　（計　２５３６字）