二項分布と正規分布、標本による母集団の推測、信頼区間～２０１８センター試験・数学ⅡＢ・第５問

今年（２０１８年）の大学入試センター試験も無事終了。ムーミン問題、

携帯バイブ問題、試験官の居眠りなど、多少のトラブルや不祥事は

生じたが、志願者だけで全国６０万人近くだから仕方ないだろう。

どれほど努力しても、ミスやエラーの確率は決してゼロにはならない。

例えば、１人当たりのトラブル発生率が０．１％で独立とするなら、

　６０万人×０．１％＝６００人

実際は問題作成者やスタッフも大勢関係するし、独立ではなく従属

だから、トラブルに巻き込まれる人数はさらに増えることになる。

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自分については正常な出来事が起こるはず、と考えるような楽観的

発想については、先日のドラマ『ＢＧ～身辺警護人～』第１話だと、

「正常性バイアス」と呼んでた。私だけは大丈夫という主観的な判断・

心理を正しいと思い込む、確証バイアスの一例とも考えられる。

もちろん、「ケセラセラ」（なるようになるさ）と達観するのも、一つの

生き方だろう。しかし一般的な正論としては、確率と統計を冷静に

把握し、可能性の低いリスクにもそれなりに考慮する必要がある。

例えば、意外と起伏に富む首都圏で数年ぶりの大雪が降った時、

車を運転すると、一部で何が起きるのか。昨日、今日のニュースを

見てれば実感できる。自分の車が大丈夫でも、他の車に問題が

生じたら巻き込まれてしまうのだ。スリップとか坂道を登れないとか。

今日は、草津国際スキー場で白根山の噴火も起きてる。世界遺産

ブームでにぎわう夏の富士山なら、遥かに大きな騒動だったはず。。

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というわけで、前置きがやや長くなったが、地道に確率・統計を解説

することにしよう。今年は既にセンター数学記事を１本アップしてある。

　陸上選手の体格指数ＢＭＩ（散布図と補助線の傾き、箱ひげ図）

　　　～２０１８センター試験・数学ⅠＡ・第２問

上の記事で扱ったのは数学ⅠＡの必答問題だが、これから書くのは

数学ⅡＢの選択問題。つまり、理解してる人がかなり少ない分野の

話だ。だからこそと言うべきか、難易度レベルは低くて、教科書の

章末問題Ａといった感じ。発展問題ではない。河合塾の分析でも、

標準とされてた。

以下、解き方はもちろん、問題文もコピペではなく私が簡単にまとめ

直したもの。原文は河合塾その他、大手予備校などで公開されてる

ので、そちらを参照。下図のようなｐｄｆファイルで無料配布されてる。

ちなみに、大学入試センターの公式発表はなぜかいつも遅い。

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第５問　必要に応じて、正規分布表を用いてもよい。

　（１）　ａは正の整数。２，４，６，・・・，２ａの数字が１つずつ

　　　書かれたａ枚のカードが箱に入っている。１枚を無作為

　　　に取り出す時、書かれた数字を表す確率変数をＸとする。

　　　Ｘ＝２ａとなる確率を求めよ。

　　　次に、ａ＝５とする。Ｘの平均（期待値）と分散を求めよ。

　　　また、ｓＸ＋ｔの平均が２０、分散が３２となるように、定数

　　　ｓ（＞０）、ｔを定めよ。さらにその時、ｓＸ＋ｔが２０以上で

　　　ある確率を小数で求めよ。

　（解答）　まず、　確率 Ｐ（Ｘ＝２ａ）＝１／ａ　・・・ア、イ

　　　次に、ａ＝５の時、

　　　平均 Ｅ（Ｘ）＝（２×１／５）＋（４×１／５）＋・・・

　　　　　　　　　　＝（２＋４＋６＋８＋１０）／５

　　　　　　　　　　６　・・・ウ

　　　∴　分散 Ｖ（Ｘ）

　　　　　　　　＝（２－６）²×１／５＋（４－６）²×１／５＋・・・

　　　　　　　　＝（１６＋４＋０＋４＋１６）／５

　　　　　　　　＝８　・・・エ

　　　さらに、（ｓＸ＋ｔの平均）＝ｓ・（Ｘの平均）＋ｔ、

　　　（ｓＸ＋ｔの分散）＝ｓ²・（Ｘの分散）だから、

　　　与えられた条件を連立方程式に直すと、

　　　　ｓ×６＋ｔ＝２０　

　　　　ｓ²×８＝３２

　　　ｓ＞０より、　ｓ＝２　・・・オ、　ｔ＝８　・・・カ。

　　　∴　（ｓＸ＋ｔが２０以上の確率）

　　　　　　＝Ｐ（２Ｘ＋８≧２０）

　　　　　　＝Ｐ（Ｘ≧６）

　　　　　　＝Ｐ（Ｘ＝６）＋Ｐ（Ｘ＝８）＋Ｐ（Ｘ＝１０）

　　　　　　＝０．６　・・・キ

　（２）　（１）でａ≧３とする。箱から３枚同時に取り出し、横１列に

　　　並べた時、左から小さい順に並んでいる事象をＡとして、

　　　Ａの起こる確率を求めよ。

　　この試行を１８０回繰り返す時、Ａが起こる回数を表す確率

　　変数をＹとする。Ｙの平均ｍ、分散σ²を求めよ。

　　さらに、回数が大きいので正規分布と考え、

　　Ｚ＝（Ｙ－ｍ）／σ とおいて標準化する。

　　Ｐ（１８≦Ｙ≦３６）を、Ｚの確率を利用して求めよ。

　（解答）　並び方は全部で、 3Ｐ3＝３×２×１＝６通り。

　　　これらは同様に確からしいので、

　　　Ｐ（Ａ）＝１／６　・・・ク、ケ

　　　Ｙは、１８０回中にＡが起こる回数だから、二項分布に従う。

　　　∴　平均 ｍ＝１８０×１／６

　　　　　　　　　　＝３０　・・・コサ

　　　　　分散 σ²＝１８０×（１／６）×{１－（１／６）}

　　　　　　　　　　＝２５　・・・シス

　　　よって Ｚ＝（Ｙ－ｍ）／σ＝（Ｙ－３０）／５ だから、

　　　　Ｙ＝５Ｚ＋３０

　　　∴　Ｐ（１８≦Ｙ≦３６）　　　

　　　　＝Ｐ（１８≦５Ｚ＋３０≦３６）

　　　　＝Ｐ（－２．４０≦Ｚ≦１．２０）　・・・セ、ソタ、チ、ツテ

　　　　＝Ｐ（０≦Ｚ≦２．４０）＋Ｐ（０≦Ｚ≦１．２０）

　　　　≒０．４９１８＋０．３８４９　（正規分布表の数値より）

　　　　≒０．８８　・・・トナ

　（３）　ある都市の世論調査で、無作為に４００人の有権者を選び、

　　　ある政策の賛否をたずねると、３２０人が賛成だった。全体の

　　　賛成者の割合（母比率）ｐを推測する。

　　　まず調査での賛成比率（標本比率）を求めよ。また二項分布

　　　の正規分布による近似を用いて、ｐに対する信頼度９５％の

　　　信頼区間を求めよ。

　　　続いて、その区間の幅をＬ₁とする。また、標本の大きさ４００、

　　　比率０．６の時の信頼区間の幅をＬ₂とし、大きさ５００、比率

　　　０．８の時の信頼区間の幅をＬ₃とする。Ｌ₁、Ｌ₂、Ｌ₃の不等式

　　　を求めよ。

　（解答）　標本比率は、  ３２０／４００＝０．８　・・・ニ

　　　　また、信頼度９５％の信頼区間は公式より、

　　　　０．８－１．９６×√０．８×０．２／４００

　　　　　≦ ｐ ≦ ０．８＋１．９６×√０．８×０．２／４００

　　　　∴　０．８－１．９６×０．０２

　　　　　　　≦ ｐ ≦０．８＋１．９６×０．０２

　　　　端数を四捨五入して、信頼区間は

　　　　０．７６ ≦ ｐ ≦ ０．８４　・・・ヌネ、ノハ

　　　　さらに、 Ｌ₁＝２×（１．９６×√０．０００４）＝０．０８。

　　　　また、標本の大きさ４００、比率０．６の時、同様の計算で

　　　　信頼区間の幅を求めると、

　　　　Ｌ₂＝２×（１．９６×√０．６×０．４／４００）

　　　　　＝２×（１．９６×√０．０００６）　＞　Ｌ₁

　　　　標本の大きさ５００、比率０．８の時、信頼区間の幅は、

　　　　Ｌ₃＝２×（１．９６×√０．８×０．２／５００）

　　　　　＝２×（１．９６×√０．０００３２）　＜ Ｌ₁

　　　　以上まとめると、　Ｌ₃ ＜ Ｌ₁ ＜ Ｌ₂　。

　　　　つまり、答は４番。　・・・ヒ

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なお、最後のＬ₂やＬ₃を真面目に計算すると時間の浪費になる。

また信頼区間の公式は、標準正規分布表などから近似的に求めた

もの。変数が０～１．９６の区間に入る確率が０．４７５だから、

－１．９６～１．９６の区間に入る確率が０．９５。

つまり９５％ということになる。

下の正規分布（ガウス分布）表で、色付きの数値を参照。

その変数を、ここでは

　（ｐ´－ｐ）／√ｐ（１－ｐ）／ｎ　（ｐ´は標本比率）

と考えると、９５％信頼区間は

－１．９６≦　（ｐ´－ｐ）／√ｐ（１－ｐ）／ｎ≦１．９６

∴　ｐ´－１．９６×√ｐ（１－ｐ）／ｎ

　　　　≦ ｐ ≦ ｐ´＋１．９６×√ｐ（１－ｐ）／ｎ

さらに、不等式の左と右のｐを標本比率で近似して、

９５%信頼区間の公式が完成。

　ｐ´－１．９６×√ｐ´（１－ｐ´）／ｎ 

　　　≦ ｐ ≦ ｐ´＋１．９６×√ｐ´（１－ｐ´）／ｎ

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上の覚えにくい不等式を暗記してそのまま使うのが、高校数学とか

大学受験数学ということになる。試験場で自分で導くのは困難。

しかし、この理論は近似だらけだし、説明も省略されてるので、他の

話と比べると説得力に乏しい。もし本格的に近似を正当化する証明

を行うと、完全に大学（以上）の数学のレベルになる。少なくとも中心

極限定理や確率密度関数が必要で、経験的正しさを主張するには

大数の法則という厄介な問題も絡んで来る。

というわけで、公式データは発見できてないが、この問題の選択者

は少ないはず。学研のサイトでは、「あまりおすすめはできません」

とアドバイスされてた。

だから逆に、マニアック・ブログが進んで扱うことになるわけだ。

それでは今日はこの辺で。。☆彡

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