円と正方形、１０個重ねて作る図形の面積～桜蔭中学２０１８入試・算数

２月４日の朝日新聞の朝刊に、２０１８年桜蔭

中学校の入試問題（算数）が出てました。解答

例（最後の答だけ）はＳＡＰＩＸの提供です。

試験は２月１日にあったようで、四谷大塚ＨＰ

も問題と正解（最後の答）を公開してました。

桜蔭の問題はどれも面白いのですが、この

ブログ記事では、問題Ⅱ（１）の図形の問題

の解き方、考え方を解説します。小学生

（５、６年）でも読めるように書いてるつもり

ですが、解き方は小学校や塾と違ってるかも

知れません。文はスマホ向けに短く改行

してます。

桜蔭学園は入試結果をほとんど公表して

ませんが、日本でトップクラスの女子校

なので、合格者の多くはこの問題を６分

くらいで解いてるのだろうと思います。

普通の高校生や大学生なら、１０分でも

解きにくい難問でしょう。

ちなみに、桜蔭については過去２本の

記事を書いてます。大人向け、ＰＣ向け

の書き方ですが、参考までに。

ｃｆ．３人の移動（徒歩・ラン・自転車）、

　距離と時間の計算～桜蔭２０１６算数

　ランニング（５人のリレー）の距離計算

　　～桜蔭中学２０１５入試・算数

　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

図だけは朝日新聞をそのまま引用します。

（問題）　半径が３ｃｍの円Ａと、１辺の長さ

　が６ｃｍの正方形Ｂを用いてできる次の

　３つの図形をＡ＋Ａ、Ａ＋Ｂ、Ｂ＋Ｂと

　呼ぶことにします。

このとき、次の問いに答えなさい。

①　Ａ＋Ａ、Ａ＋Ｂ、Ｂ＋Ｂの面積は

　　それぞれ何ｃｍ² ですか。

②　同じように、ＡとＢを合わせて１０個

　　用いて、下のような図形を作ります。

　　両端にＡを使うとき、Ｂをできるだけ

　　少なく使って面積が２５０ｃｍ² 以上の

　　図形を作るには、Ｂを何個使いますか。

　　また、作った図形の面積は何ｃｍ²

　　ですか。

　　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

（解答）

　Ａ＋Ａ、Ａ＋Ｂ、Ｂ＋Ｂで、重なった 

　部分の面積をそれぞれ、ａａ、ａｂ、

　ｂｂと呼ぶことにする。

　ａａ＝（Ａの４分の１）×２

　　　　－（小さい正方形）

　　＝（３×３×３．１４×１／２）－９

　　＝５．１３

　ａｂ＝（Ａの４分の１）

　　　＝３×３×３．１４×１／４

　　　＝７．０６５

　ｂｂ＝９

①　Ａ＋Ａ＝（円２コ）－ａａ

　　　　＝３×３×３．１４×２－５．１３

　　　　＝５１．３９ （ｃｍ²）　・・・答

　　Ａ＋Ｂ＝円＋正方形－ａｂ

　　　　＝３×３×３．１４＋３６－７．０６５

　　　　＝５７．１９５ （ｃｍ²）　・・・答

　　Ｂ＋Ｂ＝（正方形２コ）－ｂｂ

　　　　　＝３６×２－９

　　　　　＝６３ （ｃｍ²）　・・・答

②　円Ａだけ１０個組み合わせてみると、

　（面積）＝（円１０コ）－ａａ×９

　　　＝３×３×３．１４×１０－５．１３×９

　　　＝２８２．６－４６．１７

　　　＝２３６．４３

　よって、２５０ｃｍ²以上にするには、

　１４ｃｍ²ほど増やせばよい。

　Ｂを１個入れてＡ＋Ｂ＋Ａの形を作ると

　（面積）＝（円２コ）＋正方形－ａｂ×２

　　　＝５６．５２＋３６－７．０６５×２

　　　＝９２．５２－１４．１３

　　　＝７８．３９

　それに対して、Ａ＋Ａ＋Ａの形だと、

　（面積）＝（円３コ）－ａａ×２

　　　　＝２８．２６×３－５．１３×２

　　　　＝８４．７８－１０．２６

　　　　＝７４．５２

　つまり、Ｂを１個はさみ込むと、面積は 

　４ｃｍ² くらい大きくなる。

　よって、Ｂを４個はさみ込めばよい。

　ａｂ＝７．０６５、ｂｂ＝９だから、

　ＡとＢだけ重ねて、ＢとＢは重ならない

　ようにした方がムダが少なくて、Ｂの

　数も少なくできる。

　たとえば、ＡＢＡＢＡＡＢＡＢＡの順。

　他の同様の順でも面積は同じになる。

したがって、

　（作った図形の面積）

　　＝（円６コ）＋（正方形４コ）

　　　　　－ａｂ×８－ａａ

　　＝２８．２６×６＋３６×４

　　　　－７．０６５×８－５．１３

　　＝１６９．５６＋１４４－６１．６５

　　＝２５１．９１ （ｃｍ²）　・・・答

　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

「２５０ｃｍ²以上」というような問題を

解くとき、特に小学生なら、大まかな

計算を使うと良いでしょう。

上の解答では、１４ｃｍ² ほど増やせばとか、

正方形Ｂを１個はさむと４ｃｍ² くらい大きく

なる、という話を使ってます。正確に３．８７

大きくなるとか考えてもいいのですが、面倒

だし、逆に間違えやすくなります。

中学、高校になると、大小を表す不等号を

使った「不等式」も使います。ただ、最後の

答を出すだけのとき、あるいは、みんなに

分かりやすく説明するときは、大学以上

でも大まかな計算（近似）が役立つのです。

理科や社会の分野でも、実際の世の中で

役に立つ数字のかなりの部分は大まかな

ものです。

それでは今日はこの辺で。。☆彡

　　　　　　　　　　　　（計　１７７０字）