三角形の相似から四角形の面積比へ~開成中学2018入試・算数・問題1(7)
(☆追記: 2019入試の新記事アップ。
カードゲームと背理法による証明
~開成中学2019入試・算数 )
☆ ☆ ☆
2月6日の朝日新聞の朝刊に、2018年開成
中学校の入試問題(算数)が出てました。解答
例(最後の答だけ)はSAPIXの提供です。
試験は2月1日にあったようで、四谷大塚HP
も問題と正解(最後の答)を公開してました。
問題1(7)の図形の問題が面白かったので、
計算や解き方、考え方をブログの記事にして
みます。小学生(5、6年)でも読めるように
書いてるつもりですが、解き方は小学校や
塾と少し違ってるかも知れません。文は
スマホ向けに短く改行してます。
去年も図形の問題で記事を書いてます。
三角形の相似と比の応用
~開成中学2017入試・算数・問題3
今年の方が単純だと思いますが、受験生が
どう思ったかは分かりません。ただ、算数は
85点満点で、合格者の平均は73.9点。
合格した人のほとんどは、下の問題を3分
くらいで解いてると思います。
☆ ☆ ☆
入試問題を見る前に、基本的な考え方や
コツを例題で見ておきましょう。すぐ分かる
人はスクロールで飛ばしてください。
上図で、△ABEと△ACDの面積比は
どうなるでしょうか?
△ABE=(3/5)×△ABD
=(3/5)×{ (1/2)×△ACD }
=(3/10)×△ACD
よって、 3:10 になります。この面積
計算を2回使うのが下の試験問題です。
☆ ☆ ☆
図だけは朝日新聞をそのまま引用します。
「∴」という記号は、「よって」とか「ゆえに」
を表します。「△」は「三角形」を表します。
図において、四角形ABCDは正方形で、
BE=EF=FC、CG=GDです。
(i) 三角形AIJと四角形ABCDの面積比
を最も簡単な整数の比で答えなさい。
(ⅱ) 四角形HIJKと四角形ABCDの
面積比を最も簡単な整数比で答え
なさい。
☆ ☆ ☆
(解答) (ⅰ)
点Fを通ってCDに平行な線FLを引くと、
△BLFと△BGCは相似で、
△JLFと△JBAも相似。
∴ LF=(2/3)×GC
=(2/3)×{(1/2)×AB}
=(1/3)×AB
∴ AJ : JF = 3 : 1
同様に考えて、
AI : IE = 6 : 1
∴ △AIJ
=(3/4)×(6/7)×△AEF
=(9/14)×△AEF
=(3/14)×△ABC
=(3/28)×四角形ABCD
∴ △AIJ : 四角形ABCD
= 3 : 28 ・・・答
(ⅱ)
点Fを通ってCDに平行な線FMを引くと、
△BMFと△BDCは相似で、
△KMFと△KBAも相似。
∴ MF=(2/3)×DC
=(2/3)×AB
∴ AK : KF = 3 : 2
同様に考えて、
AH : HE = 3 : 1
∴ △AHK
=(3/5)×(3/4)×△AEF
=(9/20)×△AEF
=(3/20)×△ABC
=(3/40)×四角形ABCD
(1)の結果と合わせて、
四角形HIJK
=△AIJ-△AHK
={(3/28)-(3/40)}
×四角形ABCD
=(9/280)×四角形ABCD
∴ 四角形HIJK : 四角形ABCD
= 9 : 280 ・・・答
☆ ☆ ☆
(ⅰ)は、(ⅱ)のヒントになってます。
上の解答で「同様に考えて」と書いてる
2ヶ所は、同じような線を自分で書いて
考えてください。
その時々の計算で不要なことを消した図
を自分で描くと分かりやすくなります。
下図の赤線(または青線)を引いても
解けます。
中学なら、上の解答のような証明の文章を
自分で書くことがあります。高校なら「座標
計算」や「ベクトル」(矢印)という道具を
使う方法も習います。
それでは今日はこの辺で。。☆彡
cf. ランニング(5人のリレー)の距離計算
~桜蔭中学2015入試・算数
3人の移動(徒歩・ラン・自転車)、距離と時間
~桜蔭中学2016入試・算数
(計 1504字)
(追記52字 ; 合計1556字)
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コメント
正面突破は凄く面倒・・と思っていました、
赤い線LとM、思いつきませんでした。
流石、、
投稿: gauss | 2018年2月14日 (水) 00時51分
> gauss さん

こんにちは。コメントどうもです。
補助線の引き方としては、あと2通り自然なものが
あるので、図を追加しときました。
僕が「中学生」なら、反射的に赤線を引きます。
小学生なら、すぐ諦めて飛ばします♪
補助線をどう引けばいいのか、一般的な理論が欲しいと
思ってますが、大まかな経験則とか直感しか見つかってません。
その辺りが数学の難しさだし、面白さでもありますね
投稿: テンメイ | 2018年2月15日 (木) 16時06分