三角形の相似から四角形の面積比へ～開成中学２０１８入試・算数・問題１（７）

（☆追記：　２０１９入試の新記事アップ。

　カードゲームと背理法による証明

　～開成中学２０１９入試・算数　）

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２月６日の朝日新聞の朝刊に、２０１８年開成

中学校の入試問題（算数）が出てました。解答

例（最後の答だけ）はＳＡＰＩＸの提供です。

試験は２月１日にあったようで、四谷大塚ＨＰ

も問題と正解（最後の答）を公開してました。

問題１（７）の図形の問題が面白かったので、

計算や解き方、考え方をブログの記事にして

みます。小学生（５、６年）でも読めるように

書いてるつもりですが、解き方は小学校や

塾と少し違ってるかも知れません。文は

スマホ向けに短く改行してます。

去年も図形の問題で記事を書いてます。    　　

　三角形の相似と比の応用

　～開成中学２０１７入試・算数・問題３

今年の方が単純だと思いますが、受験生が

どう思ったかは分かりません。ただ、算数は

８５点満点で、合格者の平均は７３．９点。

合格した人のほとんどは、下の問題を３分

くらいで解いてると思います。

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入試問題を見る前に、基本的な考え方や

コツを例題で見ておきましょう。すぐ分かる

人はスクロールで飛ばしてください。

上図で、△ＡＢＥと△ＡＣＤの面積比は

どうなるでしょうか？

△ＡＢＥ＝（３／５）×△ＡＢＤ

　　＝（３／５）×{ （１／２）×△ＡＣＤ }

　　＝（３／１０）×△ＡＣＤ

よって、 ３：１０ になります。この面積

計算を２回使うのが下の試験問題です。

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図だけは朝日新聞をそのまま引用します。

「∴」という記号は、「よって」とか「ゆえに」

を表します。「△」は「三角形」を表します。

図において、四角形ＡＢＣＤは正方形で、

ＢＥ＝ＥＦ＝ＦＣ、ＣＧ＝ＧＤです。

（ｉ）　三角形ＡＩＪと四角形ＡＢＣＤの面積比

　　を最も簡単な整数の比で答えなさい。

（ⅱ）　四角形ＨＩＪＫと四角形ＡＢＣＤの

　　面積比を最も簡単な整数比で答え

　　なさい。　

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（解答）　（ⅰ）

点Ｆを通ってＣＤに平行な線ＦＬを引くと、

△ＢＬＦと△ＢＧＣは相似で、

△ＪＬＦと△ＪＢＡも相似。

∴　ＬＦ＝（２／３）×ＧＣ

　　　＝（２／３）×{（１／２）×ＡＢ}

　　　＝（１／３）×ＡＢ

∴　ＡＪ ： ＪＦ ＝ ３ ： １

同様に考えて、

　ＡＩ ： ＩＥ ＝ ６ ： １

∴　△ＡＩＪ

　＝（３／４）×（６／７）×△ＡＥＦ

　＝（９／１４）×△ＡＥＦ

　＝（３／１４）×△ＡＢＣ

　＝（３／２８）×四角形ＡＢＣＤ

∴　△ＡＩＪ ： 四角形ＡＢＣＤ

　　　＝ ３ ： ２８　・・・答

（ⅱ）

点Ｆを通ってＣＤに平行な線ＦＭを引くと、

△ＢＭＦと△ＢＤＣは相似で、

△ＫＭＦと△ＫＢＡも相似。

∴　ＭＦ＝（２／３）×ＤＣ

　　　＝（２／３）×ＡＢ

∴　ＡＫ ： ＫＦ ＝ ３ ： ２

同様に考えて、

　ＡＨ ： ＨＥ ＝ ３ ： １

∴　△ＡＨＫ

　＝（３／５）×（３／４）×△ＡＥＦ

　＝（９／２０）×△ＡＥＦ

　＝（３／２０）×△ＡＢＣ

　＝（３／４０）×四角形ＡＢＣＤ

（１）の結果と合わせて、

　四角形ＨＩＪＫ

　　＝△ＡＩＪ－△ＡＨＫ

　　＝{（３／２８）－（３／４０）}

　　　　　×四角形ＡＢＣＤ

　　＝（９／２８０）×四角形ＡＢＣＤ

∴　四角形ＨＩＪＫ ： 四角形ＡＢＣＤ

　　＝ ９ ： ２８０　・・・答

　　　☆　　　　　☆　　　　　☆

（ⅰ）は、（ⅱ）のヒントになってます。

上の解答で「同様に考えて」と書いてる

２ヶ所は、同じような線を自分で書いて

考えてください。

その時々の計算で不要なことを消した図

を自分で描くと分かりやすくなります。

下図の赤線（または青線）を引いても

解けます。

中学なら、上の解答のような証明の文章を

自分で書くことがあります。高校なら「座標

計算」や「ベクトル」（矢印）という道具を

使う方法も習います。

それでは今日はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．　ランニング（５人のリレー）の距離計算

　　　　～桜蔭中学２０１５入試・算数

　３人の移動（徒歩・ラン・自転車）、距離と時間

　　　～桜蔭中学２０１６入試・算数

　　　　　　　　　（計　１５０４字）

　　（追記５２字　；　合計１５５６字）