『頭脳王2018』計算解説2~ブラックホールの直径&小平奈緒選手の山手線一周タイム
(19年2月16日、翌年の本選記事アップ。
『頭脳王2019』決勝戦解説
~水素原子の大迫選手&クジラと関取の綱引き )
☆ ☆ ☆
日本テレビ『頭脳王2018』の放送終了直後、昨日0時過ぎに、
第一弾記事をアップした。
日テレ『頭脳王2018』決勝戦の計算解説
~大声怪獣の体長、100回転ロボットのジャンプの高さ
今日は第二弾として、ブラックホール問題と山手線問題の
解き方を具体的に説明してみよう。
テレビ番組ではほとんど答だけになってるけど、ここでは途中
の式や考え方も示してある。スマホの場合は、画面を横向き
にした方が見やすいかも知れない。
☆ ☆ ☆
ではまず、準決勝のブラックホール問題。東大・京大の天才
たち4人がチャレンジ。正解は東大医学部の「神(かみ)脳」・
河野玄斗のみだった。今年の出演者の中では飛び抜けてた
から、優勝はもっともだ。
ただ、数理系の問題は全て、テレビのクイズ番組のレベル。
計算や暗記の速さ、正確さが問われるけど、考え込む難問
はない。
一応、今年一番解きにくかったのはブラックホール問題だと
思う。高校物理の教科書レベルの知識が必要だし、高校や
大学受験ではあまり出ないタイプの問題だった。
大学以上の物理学だと、「シュワルツシルト半径」とか
「シュヴァルツシルト半径」として有名で、公式も簡単だ。
万有引力定数G、星の質量M、光速cを使って、
(半径) R = 2GM / c²
以下では、上の公式は使わず、普通に計算する。まず
複雑な条件の画面を示しておこう。非営利の個人ブログ
の記事における、出典を明示した限定的引用なので、
著作権法の許容範囲だと考える。
☆ ☆ ☆
ブラックホールの半径の定義は、要するに、いくらスピード
を上げても重力によって引き戻されてしまう範囲という
意味だ。光速でさえ脱出できないから、あらゆるものが
脱出できない。では、計算していこう。
(重力源となる星の質量)
M = 太陽の質量の210億倍
=(1.99×10³⁰)×(210×10⁸)
=1.99×21×10³⁹
中心からR(m)離れた所で、質量N(kg)の物体を
光速c(m/s)で放つ時、
(運動エネルギー) = Nc² / 2
(位置エネルギー)
= -(万有引力定数G)×(星の質量)
×(物体の質量N) / R
= -GN×(星の質量) / R
ちなみに位置エネルギーがマイナスなのは、半径が
中心から伸びていく向き(つまり外向き)とは逆に、
中心へと引きつけるからだ。
上の2つのエネルギーの総和がゼロだから、
Nc²/2-GN×(星の質量)/R=0
∴ Nc²/2 = GN×(星の質量)/R
Nはゼロでないから、両辺をNで割って整理すると
R=2G×(星の質量)/c² ・・・(これが公式)
=2×(6.67×10⁻¹¹)×(1.99×21×10³⁹)
/ (3×10⁸)²
=13.34×13.93×10¹² / 3
=1.858262×10¹⁴ / 3
∴ (直径)=2R
=3.716524×10¹⁴ / 3
=1.238・・・×10¹⁴ (m)
≒1.24×10¹¹ (km) ・・・答
割り算するのはなるべく遅らせて、四捨五入は最後
に行う。最後の有効数字が3桁だから、もし途中で
小数を省略する時は4ケタ以上書く。
☆ ☆ ☆
続いて、スピードスケートの小平奈緒選手が世界記録
ペースで山手線を一周すると、何分何秒かかるか?
「不可能!」とか答える人は、クイズには向かない♪
1000mで1分12秒09だから、
1kmで72.09秒。
∴ (山手線一周34.5kmのタイム)
=72.09×34.5
=2487.105 (秒)
=41分27.105秒
≒41分27.11秒 ・・・答
時間がないので、今日はこの2問にしとこう。数日先に、
もう第三弾記事を書くかも知れないけど、後はほとんど
去年と同じような問題だったから、去年の記事だけでも
十分のような気もしてる。下のリンクを参照。
今週は合計14182字で終了となった。
ではまた来週。。☆彡
cf.『頭脳王2016』、太陽にスマッシュしたシャトルが届く時間
&立方体の体積の解説
『頭脳王2016』問題・解説2~大谷のホームランの
飛距離、数列8パズル、ジグソー不足ピース
『頭脳王2016』問題・解説3
~立体三目並べの先手必勝法&テレビの対局内容
・・・・・・・・・・
頭脳王2018、1次予選・謎解き問題の解き方&短距離ラン
『頭脳王 2017』実力テスト「謎解きクイズ」、問題と考え方
『頭脳王2016』1次予選クイズの問題、解き方、感想
(計 1792字)
(追記60字 ; 合計1852字)
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