『頭脳王２０１８』計算解説２～ブラックホールの直径＆小平奈緒選手の山手線一周タイム

（１９年２月１６日、翌年の本選記事アップ。

　『頭脳王２０１９』決勝戦解説

　　～水素原子の大迫選手＆クジラと関取の綱引き　）

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日本テレビ『頭脳王２０１８』の放送終了直後、昨日０時過ぎに、

第一弾記事をアップした。

　日テレ『頭脳王２０１８』決勝戦の計算解説

　～大声怪獣の体長、１００回転ロボットのジャンプの高さ

今日は第二弾として、ブラックホール問題と山手線問題の

解き方を具体的に説明してみよう。

テレビ番組ではほとんど答だけになってるけど、ここでは途中

の式や考え方も示してある。スマホの場合は、画面を横向き

にした方が見やすいかも知れない。

　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

ではまず、準決勝のブラックホール問題。東大・京大の天才

たち４人がチャレンジ。正解は東大医学部の「神（かみ）脳」・

河野玄斗のみだった。今年の出演者の中では飛び抜けてた

から、優勝はもっともだ。

ただ、数理系の問題は全て、テレビのクイズ番組のレベル。

計算や暗記の速さ、正確さが問われるけど、考え込む難問

はない。

一応、今年一番解きにくかったのはブラックホール問題だと

思う。高校物理の教科書レベルの知識が必要だし、高校や

大学受験ではあまり出ないタイプの問題だった。

大学以上の物理学だと、「シュワルツシルト半径」とか

「シュヴァルツシルト半径」として有名で、公式も簡単だ。

万有引力定数Ｇ、星の質量Ｍ、光速ｃを使って、

　（半径） Ｒ ＝ ２ＧＭ ／ ｃ²

以下では、上の公式は使わず、普通に計算する。まず

複雑な条件の画面を示しておこう。非営利の個人ブログ

の記事における、出典を明示した限定的引用なので、

著作権法の許容範囲だと考える。

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ブラックホールの半径の定義は、要するに、いくらスピード

を上げても重力によって引き戻されてしまう範囲という

意味だ。光速でさえ脱出できないから、あらゆるものが

脱出できない。では、計算していこう。

（重力源となる星の質量）

　Ｍ ＝ 太陽の質量の２１０億倍

　　＝（１．９９×１０³⁰）×（２１０×１０⁸）

　　＝１．９９×２１×１０³⁹

中心からＲ（ｍ）離れた所で、質量Ｎ（ｋｇ）の物体を

光速ｃ（ｍ／ｓ）で放つ時、

　（運動エネルギー） ＝ Ｎｃ² ／ ２　

　（位置エネルギー）

　　＝ －（万有引力定数Ｇ）×（星の質量）

　　　　　×（物体の質量Ｎ） ／ Ｒ

　　＝ －ＧＮ×（星の質量） ／ Ｒ

ちなみに位置エネルギーがマイナスなのは、半径が

中心から伸びていく向き（つまり外向き）とは逆に、

中心へと引きつけるからだ。

上の２つのエネルギーの総和がゼロだから、

　Ｎｃ²／２－ＧＮ×（星の質量）／Ｒ＝０

　∴　Ｎｃ²／２ ＝ ＧＮ×（星の質量）／Ｒ

Ｎはゼロでないから、両辺をＮで割って整理すると

　Ｒ＝２Ｇ×（星の質量）／ｃ²　　・・・（これが公式）

　　＝２×（６．６７×１０⁻¹¹）×（１．９９×２１×１０³⁹）

　　　　　　 ／ （３×１０⁸）²

　　＝１３．３４×１３．９３×１０¹² ／ ３

　　＝１．８５８２６２×１０¹⁴ ／ ３

　∴　（直径）＝２Ｒ

　　　　　　＝３．７１６５２４×１０¹⁴ ／ ３

　　　　　　＝１．２３８・・・×１０¹⁴　（ｍ）

　　　　　　≒１．２４×１０¹¹　（ｋｍ）　・・・答

割り算するのはなるべく遅らせて、四捨五入は最後

に行う。最後の有効数字が３桁だから、もし途中で

小数を省略する時は４ケタ以上書く。

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続いて、スピードスケートの小平奈緒選手が世界記録

ペースで山手線を一周すると、何分何秒かかるか？

「不可能！」とか答える人は、クイズには向かない♪

１０００ｍで１分１２秒０９だから、

１ｋｍで７２．０９秒。

∴　（山手線一周３４．５ｋｍのタイム）

　　　　＝７２．０９×３４．５

　　　　＝２４８７．１０５　（秒）

　　　　＝４１分２７．１０５秒

　　　　≒４１分２７．１１秒　・・・答

時間がないので、今日はこの２問にしとこう。数日先に、

もう第三弾記事を書くかも知れないけど、後はほとんど

去年と同じような問題だったから、去年の記事だけでも

十分のような気もしてる。下のリンクを参照。

今週は合計１４１８２字で終了となった。

ではまた来週。。☆彡

ｃｆ．『頭脳王２０１６』、太陽にスマッシュしたシャトルが届く時間

　　　　　　　　　　＆立方体の体積の解説

　『頭脳王２０１６』問題・解説２～大谷のホームランの

　　　　　　　飛距離、数列８パズル、ジグソー不足ピース

　『頭脳王２０１６』問題・解説３

　　　～立体三目並べの先手必勝法＆テレビの対局内容

　　　・・・・・・・・・・

　頭脳王２０１８、１次予選・謎解き問題の解き方＆短距離ラン

　『頭脳王 ２０１７』実力テスト「謎解きクイズ」、問題と考え方

　『頭脳王２０１６』１次予選クイズの問題、解き方、感想

　　　　　　　　　　　（計　１７９２字）

　　（追記６０字　；　合計１８５２字）