数学甲子園２０１７本選Ｍａｔｈ Ｂａｔｔｌｅ（マスバトル）、問題と解き方２

（☆１８年９月の追記： 翌年の記事アップ。

数学甲子園２０１８予選、正答率の低い

　　　３つの問題の解き方と感想　）

　　　　☆　　　　☆　　　　☆

数学甲子園２０１７本選については、既に７ヶ月前に簡単な

解説記事をアップしてある。

　本選Ｍａｔｈ　Ｂａｔｔｌｅ、問題と解き方（ａｂｅｍａ動画）

ただ、その時は動画で確認できた９問しか扱ってない。実際のマス・

バトルでは、日本語１２問、英語６問、合計１８問の出題だった。

すべて、最終的な答のみを求める客観的問題。

３日前（２０１８年４月１８日）になってようやく、全問題と模範解答

（最後の答のみ）が公式サイトで公開されたので、続編記事を書く

ことにしよう。ただ時間が無いので、今日は日本語の残りの問題

５つのみ。英語の残りの問題はたぶん来週、３本目の記事で扱う。

なお、去年の予選については既に去年、記事をアップしておいた。

　数学甲子園２０１７予選、全２０問の問題、解き方、感想

　　　　　　☆　　　　　　　　☆　　　　　　　　☆

それでは、日本語の残りの問題を見てみよう。

問題２　三角形ＡＢＣにおいて、ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂ、ＡＢ＝ｃ

　　　とします。右の図のように、各頂点から向かい合う

　　　辺に直線を引き、頂点Ａから引いた直線と頂点Ｂ

　　　から引いた直線との交点をＡ´、頂点Ｂから引いた

　　　直線と頂点Ｃから引いた直線との交点をＢ´、頂点

　　　Ｃから引いた直線と頂点Ａから引いた直線との

　　　交点をＣ´とするとき、

　　　三角形ＡＢＣ ∽ 三角形Ａ´Ｂ´Ｃ´となりました。

　　　このとき、比ＡＡ´：ＢＢ´：ＣＣ´をａ、ｂ、ｃを

　　　用いて表しなさい。

解き方　今回、私が一番難しいと思ったのはこの問題だった。

　　　やり方は色々思いつくけど、どれも面倒。もっと鮮やかな

　　　解法はないかと考えたけど、まだ思いついてない。三角形

　　　の相似とメネラウスの定理を使って解いておこう。

　　上図で、青い小さな角３つが等しいことはすぐ示せる。

　　また条件より、三角形Ａ´Ｂ´Ｃ´の３辺の長さを

　　上のように ｐａ、ｐｂ、ｐｃ とおける（ｐ＞０）。

　　ここで、三角形ＡＢＱ ∽ 三角形Ａ´ＡＱより、

　　ＡＢ／ＡＱ ＝ Ａ´Ａ／Ａ´Ｑ

　　∴　Ａ´Ａ ＝ ＡＢ×Ａ´Ｑ／ＡＱ

　　　　　　　＝ ｃ Ａ´Ｑ／ＡＱ　・・・①

　　一方、図形ＡＡ´Ｂ´Ｃでメネラウスの定理を使うと、

　　（ｐａ／ＣＣ´）（ｂ／ＡＱ）（Ａ´Ｑ／ｐｃ）＝１

　　∴　ＣＣ´＝（ａｂ／ｃ）Ａ´Ｑ／ＡＱ　・・・②　　

　　①②より、 ＡＡ´ ＝ （ｃ²／ａｂ）ＣＣ´　・・・③

　　同様のやり方で、三角形ＣＡＰと図形Ａ´ＢＣＣ´

　　について考えると、

　　ＢＢ´ ＝ （ｃａ／ｂ²）ＣＣ´　・・・④

　　③④より、 ＡＡ´： ＢＢ´： ＣＣ´

　　　＝（ｃ²／ａｂ）： （ｃａ／ｂ²）： １

　　　＝（ｃ／ａ）： （ａ／ｂ）： （ｂ／ｃ）　・・・答

　　　　☆　　　　　　　☆　　　　　　　☆

問題５　ｘ ＝ ³√（２＋√３）＋³√（２－√３）

　　　が方程式 ｆ（ｘ）＝０ の解の１つとなるような

　　　整数係数の３次多項式ｆ（ｘ）を求めなさい。

　　　ただし、ｘ³の係数は１であるとします。

解き方　特殊な定理や知識を使うとすぐ解けるのかも

　　　知れないけど、ここでは普通に計算する。

　　求める多項式を ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ＋ｃとおき、

　　方程式に与えられた解を代入して整理すると、

　　{³√（７＋４√３）＋２＋³√（７－４√３）}ａ

　　　＋{³√（２＋√３）＋³√（２－√３）}（ｂ＋３）

　　　＋ｃ＋４＝０

　　∴　ａ＝０，ｂ＝－３，ｃ＝－４

　　よって求める多項式は、

　　　ｘ³－３ｘ－４　・・・答

　　　　　　☆　　　　　　　☆　　　　　　　☆

問題７　[x]をx以下の最大の整数とします。このとき、

　　　第n項が An ＝ [n]・{（－１）の n-1乗}

　　　で表される数列 {Ａn} の初項Ａ₁から

　　　第２０１７項Ａ₂₀₁₇までの和を求めなさい。

解き方　初項から具体的に並べて行くと、すぐ

　　　単純な規則性が分かる。第ｎ群の和が

　　　ｎ{（－１）のn-1乗}である群数列で、

　　　第ｎ群の末項までの全項数は（ｎ＋１）²－１。

　　　和を書きくだしてみると、　　　　　　

　　　１－１＋１

　　　－２＋２－２＋２－２

　　　＋３－３＋３－３＋３－３＋３・・・・・・

　　　＝１－２＋３－４＋・・・・・・

　　　よって第４３群まで、つまり第１９３５項

　　　までの和は、

　　　１－２＋３－４＋・・・＋４３ ＝ ２２

　　　その後の第４４群で、第２０１７項までは、

　　　－４４＋４４－４４＋４４－・・・＋４４

　　　よって、この部分だけの和は０。

　　　∴　（第２０１７項までの和）

　　　　　＝２２＋０＝２２　・・・答

　　　　　　☆　　　　　　　☆　　　　　　　☆

問題１０　ｘｙ平面上の曲線

　　　１３ｘ²＋７ｙ²－６（√３）ｘｙ－１２ｘ

　　　　　－１２（√３）ｙ＋２０＝０

　　　を、原点を中心として５π／３だけ回転

　　　させた曲線の方程式を求めなさい。

解き方　高校の学習指導要領とかカリキュラムは

　　　　度々変わるので、本当に分かりにくい。

　　　　今だと、行列と一次変換が使えないから、

　　　　数学Ⅲの複素数平面を使うということか。

　　　　まあ、本戦出場者なら色々と知識がある

　　　　だろうし、正答さえ出せばいい。

　　　　５π／３だけ回転させるということは、

　　　　－π／３（つまり－６０度）だけ回転

　　　　させるということ。

　　　　回転後の曲線上の点（Ｘ，Ｙ）を６０度回転

　　　　させると、複素数の掛け算を利用しても、

　　　　行列の掛け算を利用しても、こうなる。

　　　　　（ｘ座標）＝Ｘ／２－（√３）Ｙ／２

　　　　　（ｙ座標）＝（√３）Ｘ／２＋Ｙ／２

　　　　これが元の曲線の式を満たすのだから、

　　　　与式に代入して長い式を整理すると、

　　　　（Ｘ－３）²／４＋Ｙ²＝１

　　　　最後に変数の文字だけ変えると、求める

　　　　曲線の方程式は、

　　　　　（ｘ－３）²／４＋ｙ²＝１　・・・答

　　　　　☆　　　　　　　☆　　　　　　　☆

問題１１　１辺の長さが６ｃｍの正方形の紙が

　　　　あります。右の図のように、この正方形

　　　　の四隅からそれぞれ ｘ ｃｍ（０＜ｘ＜３）

　　　　だけ離れた点をとり、正方形の中心と

　　　　結んでできる凧型の部分を切り取り、

　　　　残りの部分を側面とする四角錘の容器

　　　　を作ります（のりしろの部分を考える

　　　　必要はありません）。この容器の容積

　　　　を Ｖｃｍ³ とするとき、Ｖの最大値とその

　　　　ときの ｘ の値をそれぞれ求めなさい。

解き方　四角錘の底面は、１辺 ６－２ｘの正方形。

　　　斜辺は、√{（３－ｘ）²＋３²}。

　　　高さは √{９－（ｘ－３）²}となるから、

　　　Ｖ＝（４／３）（ｘ－３）²√{９－（ｘ－３）²}

　　　９－（ｘ－３）²＝ｔ² （０＜ｔ＜３）とおくと、

　　　Ｖ＝（４／３）（９－ｔ²）ｔ

　　　　＝（４／３）（－ｔ³＋９ｔ）

　　　微分すると、ｔ＝√３の時、

　　　最大値 ８√３　・・・答

　　　ｘの値は、３－√６　・・・答

それでは、続きはまた後ほど。。☆彡

Ｐ．Ｓ．　４日後に残りの記事をアップした。

　　本選Ｍａｔｈ Ｂａｔｔｌｅ、問題と解き方３

ｃｆ．数学甲子園２０１６本選１ｓｔ　Ｓｔａｇｅ、全問題の解き方

　　２０１６予選、全２０問の問題、解き方、感想

　　２０１６（Ａｂｅｍａライブ配信）、前半感想

　　２０１５準々決勝、全問コメント＆解き方

　　２０１５予選、全２０問の問題、解き方、感想

　　２０１４準々決勝、全問コメント＆問題１０解答・別解

　　２０１３予選のポイント、問題１５の解説＆解答      

　　２０１２、予選問題＆３日ぶりのラン、まだ暑い・・

　　数学の甲子園、全国数学選手権の問題にチャレンジ （２０１１）

　　　　　　　　　　　（計　２６６０字）

　（追記９４字　；　合計２７５４字）