数学甲子園２０１７本選Ｍａｔｈ Ｂａｔｔｌｅ（マスバトル）、問題と解き方３

（☆１８年９月の追記： 翌年の記事アップ。

数学甲子園２０１８予選、正答率の低い

　　　３つの問題の解き方と感想　）

　　　　☆　　　　☆　　　　☆

数学甲子園２０１７本選については、

既に３本の記事を書いてる。

　予選、全２０問の問題、解き方、感想

　本選Ｍａｔｈ Ｂａｔｔｌｅ、

　　　　問題と解き方（ａｂｅｍａ動画）

　本選Ｍａｔｈ Ｂａｔｔｌｅ、問題と解き方２

これから書くこの記事が最後で、本選マス

バトルの３本目。残った英語の問題４問を

簡単に紹介、英文和訳＆解説する。全体

的に、日本語の問題よりは難易度レベル

が低め。

全問題と模範解答（最後の答のみ）は、

公式サイトで公開中。以下、スマホ用に

１行の字数を減らすので、読みにくい面

もある。悪しからず。

　　　　☆　　　　☆　　　　☆

問題１４　In how many different

　ways can a convex heptagon be

　decomposed into triangles by

　diagonals which do not intersect

　within the heptagon?

　凸七角形を、内部で交差しない対角線

　によって三角形へと分解する方法は、

　何通りあるか。

解き方　個人的にはこれが二番目に

　難しい問題だった。場合の数は多くない

　けど、意外と数えにくい。以下の多角形

　は全てウィキメディアで公開されてる物。

　まず凸四角形だと、明らかに２通り。

　凸五角形だと、ある特定の辺がどの頂点

　と三角形をなすかを考えて場合分けする

　と、５通りだと分かる。

　上図だと、赤い辺がピンクの三角形を

　作る場合、２通り（残った右下部分は

　四角形になることに注目）。赤い辺が

　緑の三角形を作る場合も２通り。青の

　三角形だと１通り。合計で５通り。

　凸六角形でも同様に、赤い辺が作る

　三角形で場合分け。ピンクと紫が５通り

　ずつ。青と緑が２通りずつ。計１４通り。

　四角形や五角形の分け方を利用する。

　最後に、凸七角形。ピンクと茶色が１４通り

　ずつ。青と紫が５通りずつ。緑の場合、左

　の四角形で２通り、右の四角形で２通り

　分解できるから、２×２＝４通り。

　したがって合計は、

　１４×２＋５×２＋４＝４２通り　・・・答

問題１５　The coefficient of x² in the

　expansion of (1＋ａx)ⁿ is 63 and

　the coefficient of x is 12. Find

　the values of ａ and n, where ａ

　is a real number and ｎ is a

　positive integer.

　（１＋ａｘ）ⁿの展開において、ｘ²の

　係数は６３で、ｘの係数は１２。

　実数ａと、正の整数ｎの値を求めよ。

解き方　これは完全にサービス問題。

　二項定理で展開すると、条件より、

　（ｘ²の係数）＝ｎ（ｎ－１）ａ²／２＝６３

　（ｘの係数）＝ｎａ＝１２

　∴　ａ＝３／２，　ｎ＝８　・・・答

問題１６　For △ABC with AB＝12

　and AC＝16, a point D lies on

　the side BC such that BD：DC

　＝2：3.　Points E and F are taken

　on sides AB and AC, respectively,

　and two lines EF and AD intersect

　at G.　If 2 AE＝AF, find EG：GF.

　ＡＢ＝１２、ＡＣ＝１６である三角形

　ＡＢＣにおいて、ＢＣを２：３に内分

　する点をＤとする。ＡＢ、ＡＣ上に

　それぞれ点Ｅ、Ｆを取り、２直線

　ＥＦとＡＤの交点をＧとする。

　２ＡＥ＝ＡＦの時、

　ＥＧ：ＧＦを求めよ。

解き方　これもサービス問題。ベクトルの

　１次独立とか使うより、補助線と

　メネラウスの定理で解くのが速い。

　図形ＡＨＦＧにおいて、

　（FI/IH）（HA/AE）（EG/GF）＝１

　∴　(3/2)・(1.5/1)・(EG/GF)＝１

　∴　ＥＧ／ＧＦ＝４／９

　∴　ＥＧ：ＧＦ ＝ ４：９　・・・答

問題１７　Let D be the region bounded

　by y＝1-x² and y＝0.　Find the

　volume of the solid obtained by

　revolving D about the line y＝-3.

　ｙ＝１－ｘ²とｙ＝０で囲まれた領域

　をＤとする。Ｄを、直線ｙ＝－３の

　まわりに回転させて出来る立体

　の体積を求めよ。

解き方　これも簡単。ｙ軸方向に＋３

　平行移動して、ｙ＝４－ｘ²、ｙ＝３

　で囲まれる領域を、ｘ軸のまわりに

　回転させればよい。定積分の区間

　は０≦ｘ≦１で計算して、２倍する。

　（体積）＝

　２π∫{（４－ｘ²）²－３²}ｄｘ

　＝２π×６８／１５

　＝１３６π／１５　・・・答

以上ですべて終了。マスバトル全体

だと、適度な難しさになってた。今年

は統計の分野から出題されるかも。

それでは今日はこの辺で。。☆彡

ｃｆ．２０１６本選１ｓｔ　Ｓｔａｇｅ、全問題

　１６予選、全２０問の解き方、感想

　１６（Ａｂｅｍａライブ）、前半感想

　２０１５準々決勝、全問コメント

　１５予選、全２０問の解き方、感想

　１４準々決勝、全問コメ＆問題１０

　１３予選ポイント、問題１５解説      

　１２、予選問題＆３日ぶりのラン

　数学選手権にチャレンジ （１１）

　　　　　　　　　　（計　２００２字）

　（追記５４字、合計２０５６字）