数学甲子園2018本選Math Battle(マスバトル)、問題と解き方1(英語の問題)
(☆追記: 第2弾も暫定版でアップ。
数学甲子園2018マスバトル2
問題1~6 )
(☆追記:第3弾、第4弾もアップ。
マスバトル3(第7問、白黒タイル)
本選、解き方4(問題8~12))
☆ ☆ ☆
今、連休中で不自由な状況だけど、先日
フレッシュ動画でライブ中継された数学
甲子園2018のマスバトル(普通の
テスト)の解説記事を始めてみよう。
予選で既に公開された問題3つは、
すぐに記事をアップしてある。
放送時間内だけ問題が公開されて、答は
発表されてないから、単なる参考記事。
放送時間内だけ問題が公開されて、答は
過去間違えたことは(ほとんど)無い
けど、一部の問題は解きにくい。
今回はまず、英語の問題6問の和訳と
解き方、感想を書く。式は少ししか入力
しないし、答が間違ってる可能性も一応
あるので、ご注意あれ。今使ってる端末
はiPadで、スマホ用に1行を短く
入力する。PCの方、悪しからず。
☆ ☆ ☆
では、全18問中の13問から。
まず簡単な3元連立方程式。
第13問
Find the values of a for which
the following system of
equations has infinitely many
solutions.
xー2y+z=2
x+yー3z=a
2xーyー2z=a²
以下の連立方程式が無限に多くの解を
持つようなaの値を求めよ。
解答(略解)
式1と式2からzを消去して、
4xー5y=a+6
式1と3からzを消去して、
4xー5y=a²+4
よって、無数の解を持つ条件は
a+6=a²+4
∴ a=ー1,2 ・・・答
感想 大学レベルの線形代数の知識とか
使うまでもない数 I の基本問題。時間と
点数を稼ぎたい所。
☆ ☆ ☆
次も数 I の基本、円の方程式と接線。
第14問
For the circle
x²+y²+6xー8y=0,
find the range of values of m
for which the family of lines
y=mxー1/3
do not meet the circle.
円x²+y²+6xー8y=0
に対し、直線y=mxー1/3
が共有点を持たないようなmの
値の範囲を求めよ。
略解
接する時、m= 7/24,4/3
∴ 7/24<m<4/3 ・・・答
感想 接線の傾きは、判別式より、点と
直線の距離の公式の方がちょっと楽。
出て来るmの2次方程式の因数分解
で焦るかも。不等号の下の等号は不要
だと思う(私が調べた限り)。
☆ ☆ ☆
次は、英語問題で唯一の難問。時間内に
「解けなかった」参加者が多かったと思う
けど、「答の推測だけ」なら綺麗な図で可能♪
第15問
Point E lies on side CD of rectangle
ABCD. Circle O is inscribed in
trapezoid ABCE. Circle P is tangent
to AB, AE, and Circle O externally.
Circle Q is inscribed in △ADE.
Find the radius of Circle O if the
radii of circles P and Q are both 3.
点Eが長方形ABCDの辺CD上に
ある。円Oは台形ABCEに内接する。
円PはAB、AEに接し、円Oに外接。
円Qは三角形AEDに内接。円P、Qの
半径が共に3の時、円Oの半径を求めよ。
略解
円Pと辺ADの距離をpとし、円Oの
半径をrとする。
まず、円P、Oと中心点2つ、辺ABに
ついて、三平方の定理と直角三角形の
相似を用いて、
2√(3r)=(rー3)p/3
また、直角三角形AEDの面積を2通りに
表して等号でつなぐと、
(p+3)r
=3(2p+3r+2√(3r)
2式から√ を消して整理すると
p=3r/(rー3)
この式を用いてpを消すと、
r=12 ・・・答
感想 最初、座標計算したら、惜しい所
まで行って挫折。大変な計算になる。
方針変更して図形的に解くとすぐだった。
☆ ☆ ☆
続いて空間のベクトル方程式の基本問題。
第16問
Line L has equation (→r)=
(ー1,4、0)+λ(1,1,ー1)
and point A has coordinates
(3,ー2,7). Find the
coordinates of the reflection of
the point A in L.
直線Lのベクトル方程式は、
(→r) = (ー1,4,0)+λ(1,1,ー1) 、
点Aの座標は(3,ー2,7)。点A
の、直線Lに対する鏡映点を求めよ。
略解
L上で、点Aの正射影を点Mとする。
Mの座標はLの方程式を満たし、さらに
ベクトルAMとLの方向ベクトルの内積
が0だから、Mは(ー4,1,3)。
よって、鏡映点をBとすると、
(→OB)=(→OA)+2(→AM)
=(ー11,4,ー1)・・・答
感想 英語の前置詞「in」につられて
正射影を求めたくなるけど、鏡映のこと
らしい。直線を1次元の鏡と考えて、その
鏡の中に鏡映点があるという発想かも。
☆ ☆ ☆
次は複素数平面と3次方程式の
標準的な問題。
第17問
The cubic equation
z³ーaz²+ 3az+b =0
has real root ー1 and complex
roots x±yi, where a, b, x
and y are real numbers and y>0.
Note that i represents the imaginary
unit. If the three points -1, x+yi,
and x-yi in the complex plane are
the vertices of an equilateral triangle,
find all pairs of a and b.
3次方程式z³ーaz²+ 3az+b =0
が、実数解ー1と複素数解x±yi
を持ち、a、b、x、yは実数、y>0
である。ここでiは虚数単位。複素数平面上
の3点ー1、x+yi、xーyiが
正三角形をなす時、a、bの組を全て求めよ。
略解
ー1が実数解であることより、
b=4a+1
解と係数の関係より、
a=ー1+2x
x²+y²=b
正三角形をなすための条件より
x+1=±(√3)y
以上4つの方程式の連立を解いて、
(a,b)
=(0,1),(9,37)・・・答
感想 簡単な4元連立方程式で、計算
ミスだけがポイント。第2式と第4式を
用いてx、yを消去。a、bに絞り込む。
☆ ☆ ☆
最後は整数(自然数)の標準〜発展問題。
第18問
Find all three-digit numbers that are
equal to the sum of the factorials
of their digits.
3ケタの数の内、各ケタの数の階乗の和に
等しいものを全て求めよ。
略解
ケタの数字3つの内、最大の自然数を
考える。
7以上だと、7!=5040で
4ケタになってしまうから不適。
6だと、元の数は699以下なのに、
6!=720だから不適。
4以下だと、元の数は最大でも444で、
各ケタの数の階乗の和が3ケタに届かない。
よって、ケタの数字3つの内、最大は5。
5!×3=360だから、元の数はこれ以下。
よって、元の数は355以下で、数字5の
使用回数は1回か2回。
後はしらみつぶしに計算で調べて、
条件を満たす例は
145=1!+4!+5!のみ。
したがって求める数は145のみ。・・・答
感想 1つしか見つからないのが不安
だけど、しらみつぶしの計算は簡単。数字
1を1つだけ含むなら元の数は奇数とか
考えてもよい。
残った日本語の問題は、また後ほど扱う予定。
今週は僅かに制限オーバーで計15302字。
今日のところはこの辺で☆彡
cf. 数学甲子園2018予選、
正答率の低い3つの問題
数学甲子園2017予選、
全20問の問題、解き方、感想
同・本選Math Battle、
問題と解き方(abema動画)
同・問題と解き方2
同・問題と解き方3
2016本選1st Stage、全問題
16予選、全20問の解き方、感想
16(Abemaライブ)、前半感想
2015準々決勝、全問コメント
15予選、全20問の解き方、感想
14準々決勝、全問コメ&問題10
13予選ポイント、問題15解説
12、予選問題&3日ぶりのラン
数学選手権にチャレンジ (11)
(計 3185字)
(追記91字; 合計3276字)
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