数学甲子園２０１８予選、正答率の低い３つの問題の解き方と感想

（☆追記：　マスバトルの記事の１本目をアップ。

　　数学甲子園２０１８本選Ｍａｔｈ Ｂａｔｔｌｅ、

　　　問題と解き方１（英語の問題）　）

　　　　☆　　　　☆　　　　☆

数学甲子園２０１８の本選（９月１６日）の

様子を、FRESH LIVEの動画が中継。

初の試みとして（？）、ライブ中継中だけ、

参加者が挑戦したMATH BATTLE

（マス・バトル）の全問題が公開された。

ところが予選の２０問については、中継の

途中に３問解説しただけ。正答率が低い

問題の代表のようで、残り１７問について

はまだ分からない。

一昨年は簡単だったけど、去年は難化。

今年はさらに難化して、平均点が大幅に

下がったとのこと。ひょっとすると、女子

選手がかなり減った（らしい）ことと関係

してるかも（単なる統計的な一般論）。

全体（２４２５人）の平均点は、４．３点。

本選出場者（１５９人）の平均は１１．８点。

２０点満点は０人、１９点が２人。最も多い

点数（４００人近く）は１点。来年は多少、

易しくなると予想する。

予選問題がすべて公開されるのがいつに

なるのか分からないけど、順番として先に

予選を３問だけ解説しとこう。以下の解答

は、数学検定協会の（？）スライドの略解

を参考に、私が少しアレンジしたものだ。

入力に使用してるのはＰＣだけど、スマホ

によるアクセスが多いと思われるので、

１行の字数を少なくしてある。

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番号順ではなく、ライブ中継の紹介順に

見て行こう。まず、全体の正答率７．６％、

予選通過者の正答率２２．６％の問題。

問題１０

すべての辺の長さがａである正四角錘と、

１辺の長さがａである正四面体があります。

この２つの立体の正三角形の面をぴったり

とくっつけてできる立体は、何面体ですか。

解答

１辺の長さは１として一般性を失わない。

まず正四面体の２面がなす角α

（０°＜α＜１８０°、図の∠ＯＭＣ）

について、余弦定理より、

ｃｏｓ α ＝ 〔｛(√3)／2}²＋｛(√3)／2}²

　　　－1²〕 ／ 2・｛(√3)／2}²

　　　＝ 1／3

∴　ｓｉｎ α ＝ (2√2)／3

次に正四角錘の正三角形の面同士が

なす角β（同上、図の∠ＡＭＣ、前の図

と頂点の名前は合ってない）について、

余弦定理より、

ｃｏｓ β ＝ 〔｛(√3)／2}²＋｛(√3)／2}²

　　　－(√2)²〕 ／ 2・｛(√3)／2}²

　　　　＝ －1／3

∴　ｓｉｎ β ＝  (2√2)／3

よって、対応する正三角形をくっつけた

時、新たに隣接する正三角形のなす面

の角α＋βについて、加法定理より、

ｃｏｓ （α＋β） ＝ （－1/3）×1/3

　　　　　　　　ー  {(2√2)／3}×{(2√2)／3}

　　　　　　　＝ ー１

０°＜α＋β＜３６０°より、

　α＋β＝１８０°

よって正四面体において、くっつけた

面の両隣の２面は、正四角錘の２面

（共に正三角形）と平らにつながって

一体化。一つの面へと統合される。

それ以外にも、元の２立体それぞれ

から、くっつけた１面が消滅。

∴　（くっつけて出来た立体の面の数）

　　＝（正四角錘の面の数ー１）

　　　＋（正四面体の面の数ー１）－２

　　＝５

したがって新たな立体は五面体。・・・答

感想　　

実はわりと有名な話のようで、検索する

とあちこちに類題や解説がある。上図は

岐阜大学のｐｄｆファイルより。幾何学的

（図形的）な議論を詳しく書いてた。

私が参加者なら、簡単すぎて

　（５ー１）＋（４ー１）＝７面

はあり得ないと考えると思う。

その後、飛ばして別の問題に行くか、

直感的に６面とか５面と記入して、

チェックは後回しにするか。

正四面体を「２つ」合体させた立体を

２個作って、片方は９０°回転させて

正方形の面でくっつけると、１辺２ａの

正四面体になるとか解説。興味深い。

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続いて、最も難しかった問題。全体の

正答率はわずか１％。通過者８．２％。

全体の「無答」率は７０．４％。

問題６

ｘ＝ω＋２ｉ を解にもつ整数係数の

ｎ次方程式のうち、次数が最小でｘの

最高次数の係数が１であるものを

求めなさい。ただし、ωはω³＝１を

満たす虚数、ｉは虚数単位を表します。

解答　（記述式なら不完全）

ω³＝１より、

（ωー１）（ω²＋ω＋１）＝０。

ωは虚数だから、ω²＋ω＋１＝０。

ω＝xー2ｉを代入してωを消すと、

（ｘ－２ｉ）²＋（ｘー２ｉ）＋１＝０

ｉで整理して、 ｘ²＋ｘー３＝（４ｘ＋２）ｉ

両辺２乗でｉを消すと、

（ｘ²＋ｘー３）²＝ー（４ｘ＋２）²

∴　ｘ⁴＋２ｘ³＋１１ｘ²＋１０ｘ＋１３＝０・・・答

感想

ある程度以上の数学好き、理屈好きなら、

直ちに論証不足だと気付くはず。実際、

私は動画を見ながらすぐ突っ込んだ♪

「次数が最小」ということの説明がない。

ただ、予選は最後の答だけ出せばいいし、

ωでさえ３次方程式の解だから、４次で

十分低いと考えて済ませるのが実戦的。

本選での解説では、美人教師っぽい（笑）

田中さん（？）が（わざと）間違えて、６次式

を提示。ω³＝１を利用してωを消したもの。

男性が突っ込んで、「最小」の解説をしてた

けど、あれでは不十分。とりあえず求めた

候補の方程式を因数分解したりして考察

しても、「他に」もっと低い次数の方程式が

ないことまでは示せてない。

「モニック多項式⇒整数解以外の

有理数解を持たない」という話を付け

加えてたけど、使い方などの説明は無し。

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では最後の３問目。全体の正答率は

５．３％。通過者３９．６％。これはわりと

普通の問題で、もう少し時間があれば

解けた人が多かったと思う。

問題１０

１からｎ（ｎ≧２）までの相異なるｎ個の

整数の中から無作為に２個選びます。

大きい数をＸ、小さい数をＹとするとき、

Ｘの期待値を求めなさい。

解答

まず、２個の選び方は全部で nＣ₂通り。

つまりｎ（ｎー１）／２通りで、これらは

同様に確からしい。

その内、Ｘ＝ｋ （２≦ｋ≦ｎ）である

組合せは、Ｙ＝１，・・・，ｋー１の時

だから ｋー１通り。

∴　（Ｘ＝ｋである確率）

　　＝Ｐ（Ｘ＝ｋ）

　　＝（ｋー１）／｛n（ｎー１）／２｝

　　＝２（ｋー１）／ｎ（ｎー１）

∴　（Ｘの期待値）

　＝ Ｅ（Ｘ）

　＝∑ｋ・Ｐ（Ｘ＝ｋ）　（ただし１≦ｋ≦ｎ）

　＝{２／ｎ（ｎー１）}∑ｋ（ｋー１）

　＝{２／ｎ（ｎー１）}×

　　{n(n＋1)(2n＋1)/6ーn(n＋1)/2}

　＝２（ｎ＋１）／３　・・・答

感想

私の第一感だと、大きい数と小さい数と

言っても、ほんの少しの差でいいから、

ＸもＹもｎ個の自然数の平均値

（ｎ＋１）／２に近いと考えたくなるけど、

Ｘはかなり大きくなってる。

ちなみにＹの期待値は（ｎ＋１）／３で、

Ｘの期待値の半分。大きく離れた２つの

期待値の平均が、全体の平均に一致。

要するに、２つの数の差の平均が

（ｎ＋１）／３で、その半分だけ全体平均

より大きいのがＸの期待値、半分だけ

全体平均より小さいのがＹの期待値か。

なお、この話は、「順序統計量」とか

「ベータ分布」へと一般化されるとのこと。

自然数、整数みたいな離散的な確率変数

だけでなく、連続的なものも考える。

ともあれ、今日のところはこの辺で。

参加者とスタッフの皆さん、どうも

お疲れさま。。☆彡

ｃｆ．　数学甲子園２０１７予選、

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　２０１５準々決勝、全問コメント

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