数学甲子園２０１８本選Ｍａｔｈ Ｂａｔｔｌｅ（マスバトル）、問題と解き方２（問題１～６）

（☆１８年１１月２日の追記：

　第３弾、第４弾記事をアップ。

　数学甲子園２０１８マスバトル３

　（第７問、白黒タイル）　

　本選、解き方４（問題８～１２））

　　　☆　　　　☆　　　　☆

残念ながら未完成の暫定版にすぎない

けど、今さら代わりの記事を書く余裕も

ない。今日の分の記事として、数学

甲子園２０１８本選マス・バトルの

記事の２本目をアップしとこう。

スマホ閲覧用に１行の字数を少なく

してあるので、ＰＣの方、悪しからず。　　　　

ちなみに１本目（問題１３～１８）は

下の通り。

　数学甲子園２０１８本選Ｍａｔｈ

　Ｂａｔｔｌｅ（マスバトル）、問題と

　解き方１（英語の問題）

　　　☆　　　　☆　　　　☆

第１問

次の式を整数係数の範囲で

因数分解しなさい。

（２ｘ²－１）²＋｛２（ｘ＋１）²－１｝²

解答（略解）

展開して整理すると、

２（４ｘ⁴＋８ｘ³＋８ｘ²＋４ｘ＋１）

＝２（２ｘ²＋２ｘ＋１）²　・・・答

感想

単なるサービス問題だけど、与式の形

が規則的だから、図形的な意味と解法

があるのかも。

無料版も公開中のＡＩ、Ｗｏｌｆｒａｍ

　Ａｌｐｈａ（ウルフラム・アルファ）の

日本語版に入力して検算すると、

１秒ほどで答を確認できた。

　　　☆　　　　☆　　　　☆

第２問

すべての内角が１８０°未満の四角形

ＡＢＣＤにおいて、ＡＢ＝３、ＢＣ＝４、

ＣＤ＝４、ＤＡ＝１です。

このとき、四角形ＡＢＣＤの面積をＳと

して、Ｓの範囲を求めなさい。

略解　（☆見落としの可能性あり）

四角形を、△ＡＢＤ＋△ＢＣＤと考え、

辺ＢＤの長さを少しずつ伸ばしてみる。

僅かに内角１８０°未満にならない

時は、下図の通り。直角三角形

だから、面積Ｓ＝６はすぐ分かる。

上図からＢＤを伸ばして行くと、ＡＤとＡＢ

が直角になるまでは、三角形２つの

面積が共に増加する。

その後、△ＡＢＤの面積は減少するが、

それよりも△ＢＣＤの面積の増加の方が

大きい。ＢＤ＝２ｘとおき、さらにｘ²＝ａ

とおいて微分すれば分かる。２次関数

のグラフを見比べるだけでも明らか。

上図のように、ＤＡとＡＢが一直線になる

時が面積の限界値を与える（これ未満）。

正三角形だから、

Ｓ＝（４×２√３）／２＝４√３

∴　６ ＜ Ｓ ＜ ４√３　・・・答

感想　きっちりした値が出ないし、微分が

面倒。さらに凸四角形成立条件もあるから、

不安になる。ただ、直角三角形と正三角形

が限界を与えるのは美しい。

　　　　☆　　　　☆　　　　☆

問題３

関数ｙ＝

（ｘ²ー２ｘ＋３）²＋２（ｘ²ー２ｘ）＋４

の最小値と、そのときのｘの値を

求めなさい。

略解

ｘ²ー２ｘ＋３＝（ｘー１）²＋２

　　　　　　　＝ａ

とおく。

ａ≧２で、等号はｘ＝１の時。

ｙ＝ａ²＋２（ａ－３）＋４

　＝（ａ＋１）²－３

よって、ａ＝２の時にｙは最小。

（最小値）＝６　（ｘ＝１のとき）・・答

感想　問題のレベルにムラがあると

いうか、簡単な問題を見抜く選球眼を

問うということか。ウルフラムなら

１秒。いずれスマホ使用可になって、

この種の単純な問題は無くなるかも。

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問題４

３桁の正の整数ＡＢＣについて、その

累乗　

（ＡＢＣ）²，（ＡＢＣ）³，（ＡＢＣ）⁴，・・・

を計算したところ、どの数も百の位が

Ａ、十の位がＢ、一の位がＣになりました。

このような３桁の正の整数ＡＢＣを

すべて求めなさい。

略解

２乗が条件を満たせば、３乗以上も

条件を満たす。

まず、１ケタ目の数Ｃの２乗の１ケタ目

が元通りＣになるための条件は、

Ｃ＝１，５，６。

後はしらみつぶしに調べて、求める数は

　３７６，６２５　・・・答

感想　理屈を考えてもあまりメリットが

ないから、機械的計算の方が効率的。

ただ、何か上手い工夫があるのかも。

　　　　☆　　　　☆　　　　☆

問題５

文字Ａ、Ｂを並べて、次の２条件を

満たす文字列をつくります。

条件１：　全体としてＡとＢが同数である。

条件２：　文字と文字の間に１つ仕切り

　　を入れたとき、その仕切りより左に

　　あるＡの数はＢの数より多い。

たとえば、ＡとＢを３個ずつ使うとき、

できる文字列は

　ＡＡＡＢＢＢ、ＡＡＢＡＢＢ

の２通りです。

ＡとＢをｎ個ずつ使うとき、このような

文字列は何通りできますか。階乗

記号！を用いて表しなさい。ただし、

ｎは正の整数とします。

略解

左端は必ずＡ、右端は必ずＢ。

残ったＡ、Ｂ、ｎ－１コずつ、合計

２（ｎ－１）コは、仕切りの左側で

「Ｂの数が上回ることがない」ように

作ればよい。ただし同数なら可。

この文字列の数は、「カタラン数」

（Catalan number）と

呼ばれ、次の分数で表される。

Ｃａｔ（ｎ－１）

　＝｛２（ｎ－１）｝！

　　／  ｎ！（ｎ－１）！　・・・答

感想　カタラン数の説明や証明は、

ネット上に多数あるが、どれも分かり

やすくはないのでここでは省略した。

上の略解で利用した、問題と少し

だけ違う文字列は、有名らしい。

ちなみに『大学への数学　解法の

探求　確率』に載ってる巧妙な

図形的証明は、海外の数学者が

考案。英語版ウィキペディア参照。

ただし１対１対応で正しく数えてる

かどうか、確認は簡単ではない。

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問題６

１０²²⁰／（１０¹⁰－２）　を小数で

表したときの一の位の数を求めなさい。

略解　

（☆不安だけど答の数値は合ってそう。）

分母を法とする合同式を用いる。

ｍｏｄ（１０¹⁰－２）において、

　１０¹⁰≡２

∴　１０²²⁰＝（１０¹⁰）²²

　　　　　　≡２²²

　　　　　　≡（２¹⁰）²×２²

　　　　　　≡４²×４

　　　　　　≡４

よって、１０²²⁰－４＝（１０¹⁰－２）ｎ

とおける（ｎは整数）。

ｍｏｄ１０で考えると、

　－４≡－２ｎ

　∴　ｎ≡２　（ｍｏｄ ５）

ここで、ｎ≡７（ｍｏｄ １０）だと、

ｎを設定した等式が成り立たない

（左辺＝・・・９６、

　右辺＝・・・９８×ｎ）。

したがって、ｍｏｄ１０で

　ｎ≡２

∴　１０²²⁰－４≡（１０¹⁰－２）×２

∴　１０²²⁰／（１０¹⁰－２）

　≡２＋４／(１０¹⁰－２)

右辺の分数は１より小さく正なので、

問題の分数を小数で表した時の

一の位は、２。　・・・答

感想　正直、合同式は慣れてないので

怖い。割り算する時に「法（モード）」が

変わる点は忘れずに考慮してあるが、

論理的なミスが混ざってるかも。

ただし、ウルフラムで計算してみると、

確かに２のようだ。分数の計算結果は

下の近似値×１０²¹⁰だから、小数第

２１０位を見ると、２になってる（青線）。

ウルフラムのミスまでは責任持てない

ものの、凄い時代になったと感心した。

既に時間切れなので、今日はそろそろ

この辺で。。☆彡

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